《球的体积》教学

1、1“球的体积”教学编者按：马明先生的这篇用“祖暅原理”来推导“球的体积公式”的教案，风靡全国久矣。然现行高中立几教材对“球的体积公式” 已不用“祖暅原理”来推导，而采用“分割，求近似和转化为准确和”的方法。本书之所以再次转载，是因为这篇教案魅力不减，仍极具教学参考和鉴赏阶值。一、教案描述：通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习一一解几个一元方程：已知半径求体积；已知体积求半径，这是降低教学要求，把高中课降为初中课的做法师：（板书）已知球的半径为 R，求 V球=?（出示

2、小黑板- 图 23）思维从问题开始图 23师:为了计算半径为 R 球的体积，可以先计算半球的体积V半球.观察图 23,你一定能在 V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成）得V圆柱V半球V圆锥.提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程师:由于 是已知的，便得双重不等式（板书）：313V圆柱=二R、 V圆锥=R3向“量化”过渡2你能猜测 V半球=?引诱学生猜想猜想是发现的开始生:诱导一下师:（冗 R3的系数“ 1 改写为3”得3JiR3V-nR3333师:可以大胆一些，准许猜错.23生：V半球=R对吗？3此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者师

3、:有一定理由，因为 3/32/31/3 嘛燃而,这太冒险了 .既鼓励,又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地用行动支持敢于大胆猜想的学生师:我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想理、化有实验，数学也可以有实验，美国盛行数学实验教学法”这对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利取一个半径为 R 的半球面，再取半径和高都是R 的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成的容器将圆锥放入圆桶内（图 24），再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗？鼓励学生将实验结果量化”（构造一个等式）是十分重要的数学方法3中学理、化是建立在实验基础上的用数学工

4、具去证明实验结果，学生兴趣盎然生 1:板书V圆柱一 V圆锥=v半球31323生 2:板书V半球=V圆柱一 V圆锥=二R - R = R3343师:于是得（板书）V球=兀R3且 V圆柱：V半球：V圆锥=3:2:1师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否4师:我们现在的任务是证明这个实验结果，或者说，是要证明图 23 右边充满细沙的几何体的31323半球是等积形而右边几何体的体积是已知的板书该几何体的体积=:R3-二R3=R3.33如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件” 我们就可以将它做为半球的参照体；为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：它的计算公式是已知的它 符合祖暅原理

5、的条件；该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等符合以上两个条件的几何体可叫做原几 何体的参照体，在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系该几何体与半球同高（R），这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等用与底面平行的任一平面去截图24 的两个几何体，截面分别是圆面和圆环面（图 25）.如果截面与平面a的距离为 I,那么圆面半径r=JR2-12,圆环面的大圆半径为R，小圆半径为 I，因此5S圆=nr2= u（R2-2），62 .2 2 2S圆

6、环=冗 R冗1 = u(R-),所以 S圆=S环根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等，即V半球=二R2LR丄R2R=3_23R343所以 V球=R3由此，“猜想”得到证明,可以写成定理形式：从猜想到证明是 “质”的升华！是学习数学的最重要的素质定理:如果球的半径是 R,那么它的体积是师：你准备怎样记忆这个结论呢,在这里都是有效的，都是可行的根据各个学生的学习习惯,不必强求一律3V球=R3生 2:我保要记住 V圆柱:V半球:V圆锥=3:2:1 就行了 .师:还有其它的记忆方法吗？例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公工试试看.不管是意义识记或是机械识记生 1：根据细沙实V半球=V圆柱一 V圆

7、锥:R:R验2=Ji3R37数学教师要不要培养学生的记忆能力？这是有争议的看来，数学教师有可能，也有必要去8培养学生的记忆能力生:板演V拟柱体=2对于球，h = 2 R, S = S = 0, So=二R丄L2R(0+4兀R2+0)所以 V球6=随时复习与应用拟柱体公式 师:这能作为球体积公式的证明吗生:球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法师:还有其它的记忆方法吗？例如,将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点锥的底面不是平面，而是球面的一小部分（是曲面）请看图 26.是可贵的数学思想于是 V 球=许多小锥体之和，而这许多小锥的高可视为球半径R,又因为所有小锥体的底之和

8、=球面积=4 泯2,1SiS2川h3J_4二R2R3图26发展学生的空间想象能力同样，这也不能作为球体积公式的证明但是，使人感到兴趣的是，拟柱体小锥体与球体的这种“默契”这种内部的一致，给人们和谐的感觉，它不仅可以帮助人们记忆，还给人以和谐 美的所以 V球9感受!升华了 师:现在再请大家自己解答一个问题板书不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直接讲解要收效大些，不妨一试有一种空心钢球 連 142g,测得外径等于 5.0cm ,求它的内径（钢比重是 7.9g/cm3）.师:这是课本的例题，解完后自行对照课本.同时由一位学生板演议论：（略）师:今天这堂课的关键是构造

9、一个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体吗？代替小结，将课内效果引向课外一一直接构造参照体二、教案分析这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程就行了：1提出问题 V求=?2目测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系233 得猜想：V半球R33细沙实验一一验证“猜想”4构造参照体，证明“猜想”5得定理谈记忆6例题小结作业我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开.于是，过程 14 都可以省略.并且，“参照体”也是由教材直接给出的（不需要构造）.师生的任务只是

10、用演绎法推得V半球二2二R3.这就是“内化”过程.由于教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学3生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成.因此，这种做法的优点是直截了 当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生 .长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认知结 构,结果成绩分化，出现大量差生.反之，插入环节 14,则环节 5 的“构造参照体”（这是全课的关键）就十分自然.从“目 测”到“实验”，这是强化“发现”，而环节 5 则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教 师指导下进行的，教师的主导作用和学生的

11、学习积极性十分融洽10“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味；从“实验”到“构造参照体”，随流而下，直闯关键（出现参照体）,终达彼岸（得定理）.最后“谈记忆”，生动活泼，乃至升华；“小结提问”，余味不尽.11是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了教学思想的培养长此以往，学生的数学素质很难得到提高最后,还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采用了 “细沙实验”也就回避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班设计的，而“好班”就不应该回避构造困难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材（从柱体开

12、始）的关键所在因此，建议根据学生情况补充下述内容：参照体与祖暅原理为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体，此几何体必须符合两个条件（1）它的计算公工是已知的；（2）它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能 夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等为了下面的叙述方便起见，把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体，或简称参照体例 1 旋转体的母线是抛物线的一部分，其方程为 y=x2（owy H），y 轴为旋转轴，求该旋转体的体积解将此旋转体放在平面a上，用与平面a平行且相距 h 的平面去截，得截面圆的面积=二I. h= T h