九年级数学第一学期第三章二次根式教学案 苏教版

1、苏教版九年级第一学期数学第三章二次根式教学案一. 本周教学内容： 二次根式教学目标： （1）了解二次根式的概念。 （2）掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围问题。 （3）掌握根式的性质，二. 重点、难点： 重点：根式的定义及根式中的字母取值范围。 难点：根式中较复杂的字母的取值问题的分类探索。课堂教学：（一）知识要点： （1）二次根式的定义 一般地，式子（a0）叫做二次根式，a叫被开方数，a可以是数可以是单项式或多项式，如，判断一个式子是否为二次根式；要看它是否具备两个特征：一是根指数是2，二是被开方数为非负数，二者缺一不可。 （2）二次根式的性质1： （）文字语言是：非负数

2、的算术平方根是一个非负数。 （）数学语言为：0（a0），它的用途非常大，例如：若20，则a0，b0，若|b|0，则a0，b0，若b20，则a0，b0 思考：当a<0时，有意义吗?当a0时，可能为负数吗? （3）二次根式的性质2： （）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 （）数学语言为：()20（a0） （）证明：( a0)是a的算术平方根 ()2a （）作用()23，()2，（)2x（x0） 反过来：若a0则a，如：2，（)2 （4）二次根式的性质3： （）文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （）数学符号： |a| （）说明： 1. a的取值

3、范围是任意实数。 2. a的前提是a0，a的前提是a0 （5）()2与的异同点： （）区别：中a必须取非负数即a0，而中的a可以取任何实数。 （）相同点： 当被开方数都是非负数，即a0时，（）2 a<0时，（）2无意义而a【典型例题】 例1. 当a为实数时下列各式中哪些是二次根式。 ， 解：，是二次根式。 例2. x为何实数时，式子在实数范围内有意义？ 解：由x20得x2，当x时在实数范围内有意义。 例3. 计算： （1）（）2；（2）（3）2； （3）（2）2；（4）（）2 解：（1）（）2 （2）（3）232×（）29×218 （3）（2）2 （2）2×

4、（）24× （4）（）2x2y2 例4. 计算： （1）；（2）； （3）（a<）；（4）（x<） 解：（1）5 （2）|1.5|1.5 （3）|a3|（a3）3a（a<3） （4）|2x3|（2x3）32x （x<） 例5. 在实数范围内分解因式：x22x1 解：x22x1 x22x12（x1）22 （x1）2（）2（x1）（x1） 例6. 已知：|3a2b|（abc）20，求a、b、c的值 解：因为0，|3a2b|0，（abc）20 且|3a2b|（abc）20 所以 解得 例7. 在abc中，a、b、c是三角形的三边，化简2|cab| 解：a、b、c是a

5、bc的三边 abc>0 cab<0 2|cab|abc|2|cab| abc2c2a2b3ca3b 例8. 已知:ab，ab。求（）2006的值. 解： ，得 （）20062006（1）20061 例9. 已知：10化简2|x6| 解：由10 可得10 即|x4|x6|10 要|x4|x6|10成立，则|x4| x4，|x6|6x 所以x40，6x0（或x60） 4x6，2x80，x60 2|x6|2x82（6x）20 例10. 已知：x为实数，化简2 解：原式|x2|2|1x| 当x2时，x20，1x>0 原式x222x3x 当1x2时， x2<0， 1x0 原式2x

6、2（x1）x4 当x<1时， x2<0， 1x0 原式2x2（x1）3x 说明：解决此类问题时需确定好讨论的范围，然后按范围去掉绝对值计算出结果。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 在abc中，若a、b、c分别为a、b、c所对的边，则化简的结果是（ ） a. abcb. 2a2cc. 2aabd. 0 2. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示： 则化简|ac|bc|的结果是（ ） a. 2bb. 2cc. 2a2bd. 0 3. 若x1，则x的取值范围是（ ） a. x1b. x<1c. x1d. x1 4. 已知:x24x40则，xy的值是 4 5. 在，

7、（x0）， 中是二次根式的有 。 6. 若 （）2，则a必须满足条件 。 7. 已知:x、y都是实数，且满足y<，化简 8. 下列各式满足什么条件时，才能使根式成为二次根式? （1） （2） 9. 若m适合关系式×试确定的值。 10. 若化简|1x|的结果为2x5，求x的取值范围. 11. 已知:x<2，则的结果为多少. 12. （1）计算，（n为正整数） （2）计算（n为正整数） （3）你能通过（1），（2）的计算中从中找出规律吗？ （4）如果将根号内的10换成8，或者0.1，以至于任何实数，是否仍然保持这种计算规律？是否需要附加什么条件？【试题答案】 1. a2. b

8、3. c 4. 6 5. ， 6. a0 7. x、y为实数，且y< x10，1x0 x1，则y 1y0 1 8. 解：（1）由题意|a2b|0 ，得|a2b|0但是|a2b|0 a2b0，即a2b 当a2b，是二次根式。 （2）（m21）（mn）0 （m21）（mn）0 又m21>0，mn0 当mn时，是二次根式。 9. 解：由题意可知 m201 10. 解：|x4| 要使|1x|x4|2x5 |1x| x1，|x4| 4x 1x4 11. 解： x<2，x2<0 原式2x 12. 解：（1）10，102，103，104，10n （2）10，102，103，10n （

9、3）通过（1）的计算规律是：正数的平方的算术平方根是这个数。 通过（2）的计算规律是：一个数立方的立方根是这个数。 （4）将10换成8或0.1规律仍保持不变，若换成任意实数a则有|an|， 一. 本周教学内容： 二次根式的乘除 教学目标： （1）会利用积、商的算术平方根性质，化简二次根式，会简单的二次根式乘、除计算。 （2）会利用分母有理化的方法化简二次根式。二. 重点、难点： 重点：会利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式。 难点：分母有理化。 课堂教学：（一）知识要点 知识点1：二次根式的乘法法则 i. 文字语言：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 . 数学语言： . 知识解

10、读： （1） （2） （3） . 公式的条件说明： （1）a、b均为非负数时，上式才成立。 （2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则。 （3）公式可逆向应用，逆向应用时要特别注意符号。 知识点2：积的算术平方根的性质 i. 文字语言：两个非负数积的算术平方根等于两数算术平方根的积。 . 数学语言：（a0，b0） . 公式的说明：没有a0，b0这个条件，上述性质不成立，当a0，b0时，虽然有意义，而在实数范围内没有意义，总的来说等式不成立，如 知识点3：二次根式的除法法则 i. 文字语言：二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。 . 数学语言：（a0，b0） . 说明：这里

11、a0，b0，原因是b在分母上，所以b0，这个公式也可以逆用。 知识点4：二次根式商的算术平方根的性质 i. 文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 . 数学语言：（a0，b0） 知识点5：分母有理化 把分母中根号化去，叫做分母有理化。 知识点6：二次根式的化简结果要求 一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含有根号，被开方数中也不会有分母，不含能开得尽方的因数或因式。【典型例题】 例1. 计算 （1）（2）3 （3）（4） 分析：计算题的实质是利用来进行二次根式的乘法运算。 解：（1） （2） （3） （4） 例2. 化简 （1） （2） （3） （4） 分析：

12、化简题实质借助公式性质把根式化成最简根式。 解：（1） （2） （3） （4） 例3. 计算 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 例4. 化简 （1）（2） （3）（4） 解：（1） （2） （3） （4） 例5. 把下列各式化去分母中的根号 （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 例6. 计算 （1） （a0） （2） （x0，y0） （3） （x0，y0） 解：（1） （2） （3） 例7. 化简 （1）（a0，b0） （2）（x0，y0） （3）（ab0） 解：（1） （2） （3） 例8. 计算 （1） （a0，a+b>0） （2） （

13、a>0，b0） 解：（1） （2） 例9. 已知：a 解： 例10. 化简 （1） （2） 解：（1） 0 x3 x-2>0 原式 （2） 例11. 比较与、与、与的大小，猜想（n为正整数）的大小关系并证明你的结论。 解：， > 同理： 猜想：< 说明： > <【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 下列等式成立的是（ ） a. b. c. d. 2. 已知a<0，化简二次根式的正确结果是（ ） a. b. c. d. 3. 设a，b为实数，且，则等于（ ） a. ±b. ±3 c. d. 4. 化简的结果是（ ） a. b. c

14、. d. 5. 计算：（ 6. 当a b（填<、>、） 7. 已知：a>0，b>0 （1）若a+b2，则1； （2）若a+b3，； （3）若a+b6，则3； （4）若a+b10，则 ； （5）若a+bn，（n为大于1的整数），则 8. 若a、b分别表示的整数部分与小数部分，求a+的值。 9. 计算 （1） （2）（a0，b0） （3） （4）（a0，b0，c0） 10. 化简： 11. 一个长方体木盒的左右侧面是面积为12cm2的正方形，上、下底面的面积是18cm2，试求该长方体的长。 12. 有一架未调平的天平，某人用它称量一铁块，当把铁块放入天平的左盘时，称得其质量

15、为400克，当把铁块放入天平右盘时，称其质量为900克，求铁块的实际质量。【试题答案】 1. d 2. a 3. d 4. d 5. 6. 7. 5， 8. 解：设的整数部分为a，小数部分为b，a2，b-2 9. 解： 10. 解： 0，0，原式 11. 解：长方体的高为设长方体的长为cm，则题意可知2 解9 答：长方体的长是9cm。 12. 解：设铁块质量为m克，天平左臂长为1，右臂长为2， 由题意得 × 答：这块铁块实际质量为600克。一. 本周教学内容： 二次根式的加减 教学目标： （1）掌握同类二次根式的概念，会合并同类二次根式。 （2）能熟练地进行二次根式的加减运算。 （3

16、）会进行二次根式的混合运算。二. 重点、难点： 重点：二次根式的加减运算 难点：二次根式的化简 课堂教学：（一）知识要点： 知识点1：同类二次根式 （）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。 （）判断同类二次根式的方法：（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。 知识点2：合并同类二次根式的方法 合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被

17、开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。 知识点3：二次根式的加减法则 二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。 知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序 运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。 知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别 乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。【典型例题】 例1. 下面各组里的二次根式是不是同类二次根式？说说你的理由。 （1

18、）（2） （3）（4） 解：（1）是同类二次根式 （2） （3）不是同类二次根式 （4）不是同类二次根式 例2. 计算 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 注意：（3）中的不能写成 例3. 计算 （1） （2） 解：（1） （2） 例4. 计算 （1） （2） （3） 解：（1）431 （2）9+ （3） 例5. 计算 （1） （a>0） （2） （a>0，b>0） 解：（1）原式 （2）原式 例6. 若是同类根式，求m，n的值。 解： 例7. 已知：x。 解： 当x 例8. 已知。 解： （4+2 例9. 不求近似值比较。 解： 又> > 例10

19、. 已知,求代数式的值。 解：由题意，得 将x 例11. 是否存在正整数a，b（a<b），使其满足？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由。 解：存在 设bn m+n6 a，b为正整数，a<b m<n a139，b1975；a2156，b2624【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题： 1. 化简得（ ） a. (a1)b. (1a)c. (a+1)d. (a1) 2. 计算（ ） a. b. 3c. d. 3. 设x，则x与y的大小关系为（ ） a. x>yb. xyc. x<yd. xy二. 填空： 4. 下列二次根式：其中为非最简二次根式的有

20、（在横线上写题号） ，与是同类二次根式的有（写题号） 5. 合并同类二次根式 。 6. 已知 。三. 解答题： 7. 已知。 8. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 9. 条件求值： （1）已知：。 （2）已知：的值。 （3）已知：。 10. 已知菱形abcd的对角线ac，求菱形的边长和面积。【试题答案】 1. b2. a3. a4. , , 5. 06. 25 7.解： 原式结果为2 8. （1）原式 （2）原式 （3）2 （4）0 （5）3 9. （1）x+1 当 （2）解： 两边平方得x24x+10 （3）解：，4x24x10 1 10. 解：（菱形的边长）2 菱形的边长一

21、. 本周教学内容： 二次根式总结 教学目标： 1. 掌握二次根式的概念及体现其性质的重要公式。 2. 了解它们与算术平方根的关联。 3. 应用法则进行二次根式的计算与化简，进一步培养运用化归类比方法的能力和主动探究的学习习惯。二. 重点、难点： 重点：应用法则进行二次根式的计算与化简。 难点：二次根式的性质的应用及各概念之间的联系。 课堂教学：（一）知识要点： （1）知识结构 （2）二次根式的化简及运算的要求 根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽因数或因式，根号不含有分母，分母中不含有根号。 （3）分母有理化 把分母中的根号化去叫分母有理化。若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根

22、式，则称这两个代数式互为有理化因式，如：与是互为有理化因式。 （4）二次根式的化简及运算的题型 <1>二次根式的乘除法：依据二次根式的性质。要求：系数相乘除，被开方数相乘除，除法一般转化为分母有理化。运算结果要化成最简。 <2>二次根式的加减法：二次根式化成最简二次根式以后，合并同类二次根式与整式乘法中的合并同类项相似。合理运用去括号和运算律。<3>分母有理化：依据分式的其本性质。有理化因式概念要清楚。为了需要有时须分子有理化，如比较大小等。【典型例题】 例1. 化简： 解：观察原式根号里面0，而被开方数不能为负， 所以， 所以原式2 例2. 函数 解：二次

23、根式的意义知被开方数x2为非负数，分母x2x2不为0 即x20， x2x20， 所以答案是x2，且x1，x2 例3. 化简下列各式。 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 原式 例4. 化简（） 解： 当0<x<1时，原式 当1x<0时，原式| 当x<1时，原式 例5. 已知：的值。 解法1：， 解法2：由于 所以， 例6. 设。 解： a3，b 例7. 计算。 解：原式 例8. 已知：的值。 解： 例9. 计算的值。 解：原式 例10. 已知最简根式是同类根式，求x，y的值。 解： 例11. 比较下列两个数的大小。 （1） （2） 解：（1）| | 且<，> （2） 10<<11， <1， （5）， 而 【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题 1. 若有意义，则a的取值范围是（ ） a. a3 b. a>3 c. a3 d. a<3 2. 若（ ） a. a1 b. a1 c. a0 d. a1 3. 二次根式（ ） a. b. c. d. 4. 下列计算中正确的是（ ） a. b. c. d. 5. 下列各组根式其中属于同类二次根式的是（ ） a. b. c. d. 6. 当0<x<2时，化简（ ） a. b. c. d. 7