新北师大版八年级数学下册导学案（全册）

新北师大版八年级数学下册导学案（全册）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（一）

【学习目标】

1、理解证明基础的儿条公理的内容，用这些公理证明等腰三角形的性质定理；

2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。

难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、两边及其一对应相等的两个三角形全等（SAS）；

2、两角及其对应相等的两个三角形全等（ASA）；

3、对应相等的两个三角形全等（SSS）；

4、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；

5、全等三角形的对应边，对应角

6、有的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做一，两腰的夹角叫做,

腰与底边的夹角叫做,的三角形叫做等边三角形。

7,阅读教材：第1节《等腰三角形》。

"。二、教材精读

8、已知：4ABC是等腰三角形，AB=AC

求证：ZB=ZC（提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？）

归纳：1、等腰三角形性质定理：（简称”等边对等角”）;

推理格式：；AB=AC,二（等边对等角）

2、推论（三线合一）：；

推理格式：

①TABMAC,ADJ_BC,②•.•AB=AC,BD=DC,③；AB=AC,—平分,

.,.BD=DC,AD平分,:.―±—,—平分,:.

实践练习：1、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm,则周长为。

2、如图在aABC中，AB=AC,AD1AC,ZBAC=100°»求：ZKNB的度数。

模块二合作探究

9、如图，已知ND=ZC,ZA=ZB,且AE=BF。求证：AD=BC«

10、如图，在aABC中，D为AC上一点，并且AB=AD,DB=DC,若NC=29°，求NA。

模块三形成提升

A,

以

1、填空：

（1）如图，在4ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD。

请找出所有的等腰三角形。

（2）等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为。

（3）等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为。

（4）等腰三角形的一个角为100°,则另两个角为»

（5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于度。

2、如图，在aABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，且DE_LAB,DF±AC»

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”以

2、推论（三线合一）：；

二、本课典例：利用等腰三角形的性质和定理和三角形的全等，求角和边。

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（二）

【学习目标】

经历“探索一发现一猜想一证明”过程，用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。

借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：证明等腰三角形的一些线段相等。

难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）;

2、推论（三线合一）：;

3、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

4、证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等

己知：如图，AABC中，AB=AC,BD、CE是AABC的角平分线，求证：BD=CE

W：VAB=AC（）

七（等边对等角）

2又...BD、CE是AABC的角平分线，

ZDBC=ZABC,ZECB=,

二ZDBC=ZECB

.•.在4BCE与ACBD中，

5、推理论证：等腰三角形两腰上的中线（高）相等；（画图、写出已知、求证、证明过程）

已知：如图，

求证：

证明：

归纳：等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线

6、己知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC,求证：ZA=ZB=ZC

归纳：等边三角形的三个内角都,并且每个内角都等于

模块二合作探究

11

6、在如图的等腰三角形ABC中，（1）如果NABD=3/ABC,ZACE=3ZACB,

那么BD=CE吗？由此，你能得到一个什么结论?

25(2)如果八口=AC,AE=AB,那么BD=CE吗？由止匕你得至IJ什么结论？

如图，中，BD_LAC于D,CE_LAB于E,BD=CE。求证：△力8c

是等腰三角形。

模块三形成提升

如图，E是AABC内的一点，AB=AC,连接AE、BE、CE,且BE=CE,

延长AE,交BC边于点D。求证：ADIBCo

2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC±,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE

c

BD

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形两腰上的中线（高线）、两底角的平分线

2、等边三角形的三个内角都______,并且每个内角都等于一

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（三）

【学习目标】

能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。

2、运用等腰三角形的判定定理解决一些实际问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：等腰三角形的判定定理。

难点：灵活运用等腰三角形的判定定理和性质解决实际问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、等腰三角形性质定理：（简称“等边对等角”）;

2、推论（三线合一）：;

3、证明三角形全等的方法：SAS、______、_______、_______.

4、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

5、已知：如图，在4ABC中，/B=/C,求证：AB=AC（提示：构造两个全等三角

形证明）

归纳：1、有两个角相等的三角形是_____三角形。（简称“等角对等边“）

推理格式：：NB=NC,二（等角对等边）

2、反证法证明问题的一般步骤：

从结论的出发，先假设命题的结论,然后推出与定义、公理、已证定理或已

知条件相的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为.

实践练习：1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

2、如图，在AABC中，AB=AC,DE〃BC,求证：ZXADE是等腰三

角形。

如图，在中，NABC的平分线交AC于点D,DE〃BC。

求证：AEBI）是等腰三角形。

2、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、

B望灯塔C,测得NNAC=42°,ZNBC=84°o求B处到灯塔C的距离。

c

B

模块三形成提升

1、己知：如图，在三角形ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE

交BC于M.求证：MD=ME.

2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、等腰三角形的判定定理：（简称“等角对等边”）；

2、反证法：；

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第一节等腰三角形（四）

【学习目标】

1、能够用综合法证明等边三角形的判定定理，进一步学习证明的基本步骤和书写格式。

2、运用等边三角形的性质和判定定理证明直角三角形的有关性质。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质。

难点：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、三边都的三角形是等边三角形。

2、等边三角形的三个内角都_________，并且都等于______o

3、等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形（简称”等角对等边”）

仁等腰三角形的华质：等腰三角形两底角（简称“”）

~"5、阅读教材：第1节《等腰三角形》

二、教材精读

6、已知：如图，在△ABC中，/A=NB=/C。求证：aABC是等边三角形。

证明：：NA=NB,ZB=ZC

；.AC=____,AB=

7、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形？

1_

8、己知：如图△ABC是直角三角形，ZBAC=30°求证：BC=2

AB

证明：延长BC到D,使CD=BC,再连接AD...在aABC和aADC中,

VAABC是直角三角形,

.*.Z1=

又/l+N2=180°,所以N2=_____

归纳：1、等边三角形的判定

1）三条边都的三角形是等边三角形。

2）三个都相等的三角形是等边三角形。

3）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。

2、等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还

具有每个内角都是的特殊性质。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的o

模块二合作探究

9、填空：（1）如图1,BC=AC,若,则aABC是等边三角形。

（2）如图2,AB=AC,AD1BC,BD=4,若AB=,则AABC是等边三角形。

（3）如图3,在中，/B=30°,AC=6cm,则AB=:若AB=7,则AC=。

AAA

图3

10、己知：如图，Z\ABC是等边三角形，DE〃BC,交AB、AC于D、Eo

C求证：4ADE是等边三角形。

证明：：DE〃BC

11、如图，在Rt84BC中，/B=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长。

DC

模块三形成提升

1、已知：AAFC中，乙4cB=90°,CD1AB,乙4=30°,AB=40,求DB的长。

2、如右图，已知△ABC和4BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三条边都的三角形是等边三角形。

2、三个都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第二节直角三角形（一）

【学习目标】

了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定

成立。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：勾股定理及其逆定理。

难点：结合具体例子了解逆命题的概念。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、直角三角形：有一个角是的三角形叫做直角三角形。

2、边的关系：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

角的关系：直角三角形的两个锐角。

3、有两个角一的三角形是直角三角形。

4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的

a

b

5、阅读教材：第2节《直角三角形》

三、教材精读

26、用两种不同的方法表示右图梯形的面积。

解：①S"（上底+下底）乂高=

②S2=

因为Sl=S2,所以

归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

7、已知：如图，在△ABC,AB2+AC2=BC2,求证：Z^ABC是直角三角形。

证明：作出RtZ\A'B'C',使NA=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则

B，C，2=______________（勾股定理）

,A'B'=AB,A'C'=AC,

BC2=B'C'2

BC=_______

，在AABC和△ABC中,

...NA=NA，=90°（全等三角形的对应角相等）

.,.△ABC丝△A'B'C'（）

因此，^ABC是直角三角形。

归纳：1、勾股定理的逆定理：:ABZ+ACZuBCZ，，.•./_=90°（ZkABC是直角三角形）

2、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的

和,那么这两个命题称为,其中一个命题称为另一个命题的.

3、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却是真命题。如果一个定理的逆命题

经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为,其中一个定理称为

另一个定理的»

模块二合作探究

9

8、己知：如图，中，CDLAB于D,AO4,叱3,D靛。

（1）求比'的长；（2）求力〃的长；（3）求A?的长；（4）求证：△48。是直角三角形.

9、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，/4/=90°,4。=80

米，比'=60米，若线段必是一条小渠，且。点在边18上，已知水渠的造价为10元/米，

问〃点在距4点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角;

11、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。

（1）如果则/>y2（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

模块三形成提升

1、直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为；直角三角形的两边分别为13和5,

则另一条边为，如果三角形的三边长是6、10、8,则这个三角形是三角形。

2、如图，ABLBC,DCLBC,£是a'上一点，NBA拄NDEC=60°,AB=3,四=4,求：AD

D

模块四小结反思

一、本课知识：

1、勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的平方。

2、如果三角形两边的平方—等于第三边的_那么这个三角形是——三角形。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？

第一章三角形的证明

第二节直角三角形（二）

【学习目标】

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】直角三角形全等“HL”判定定理。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、一般三角形全等判定方法有：。

2、直角三角形的判定：①有一个角是的三角形叫做直角三角形。

②有两个角互余的三角形是____三角形。

③如果三角形两边的平方—等于第三边的,那么这个三角形是__三角形。

3、阅读教材：第2节《直角三角形》

二、教材精读

4、已知：如图，Z\ABC和4A'B'C'中/C=NC'=90°，且AB=A'B',BC=B'C',

求证：aABC丝AA'B'C

证明：RtaABC和RtZ\A'B'C'中,

AC2=,A'C，2=1（勾股定理）

VAB=A,B',BC=B'C','

AAC2=________AAC=

.♦.△ABC丝A'B'C'()

归纳:斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。(“斜边、直角边"或

革理格式：在RtZkABC和RSNBl中，NC=NC'=90°

I,:AB=A，B'

BC=B'C'

.♦.△ABC______A'B，CJ(HL)

实践练习：

如图，ZB=/E=90°,AC=DF,BF=EC。求证：BA=ED»

模块二合作探究

5、在RtAABC中,ZC90°,且DE_LAB,CD=ED,求证：AD是NBAC

的角平分线。

6、如图，ZACBZADB=90°,AC=AD,E是AB上的一点D,求证:

CE=DE。

M

7、用三角尺可以作角平线，如图，在已知NAOB的两边上分

别取点M、N,使OM=ON,再过点M作0A的垂线，过点N作0B的垂线，两垂线交于点P,

那么射线0P就是NAOB的平分线。

证明：

模块三形成提升

1、如图，和N0/足90°。

(1)若B(=EF,则Rt△四口n△〃哥,的依据是—

(2)若AODF,则RtZ\4?C^Rt△必尸的依据是—

⑶若AC=DF,CB=Fe.,则RtA49C%Rt△庞产的依据是—

2、如图，AD是NBAC的角平分线，DE1AB,DF±AC,BD=CD„

求证：EB=FC,

模块四小结反思

一、本课知识：

1、斜边和一条对应相等的两个_____三角形全等。(“斜边、直角边"或“")

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第三节线段的垂直平分线（一）

【学习目标】

1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。

2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用。

难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、段的垂直平分线：垂直且一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

2、线段垂直平分线上的一到这条线段两个端点的距离。

3、阅读教材.：第3节《线段的垂直平分线》

二、教材精读

B

4,已知：如图，直线MNJ_AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN

上的任意一点。

求证：PA=PB。

证明：VMN±AB,

NPCA==90°

V^EAPC^APCB中,

.•.△PCA^APCB（）

PA=PB（全等三角形的对应边相等）

归纳：线段垂直平分线上的—到这条线段两个端点的距离.

推理格式：AC=（点P在线段AB的垂直平分线MN上）,

:.=PB

B1------------lQ

5、这个定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点,

,它是命题。如果是真命题请证明。

已知:如图，AB=AC

求证：点A在线段BC的垂直平分线上

证明：（提示：利用等腰三角形三线合一）

归纳：定理：到一条线段两个端点距离的点，在这条线段的___________线上。

推理格式：：AB=AC,点在线段BC的o

模块二合作探究

6、已知：线段AB解：作图如下：

求作：线段AB的垂直平分线CD。

1

作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于2AB

AB的长为半径作弧，两弧相交于点C、D

（2）作直线CD。

即直线CD就是线段AB的垂直平分线。

归纳：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,

所以我们也用这种方法作线段的»

7、如图，在AABC中，ZC=90°,DE是AB的垂直平分线。

1）则BD=；

2）若/B=40°,则/BAC=°,ZDAB=°,

ZDAC=°,ZCDA=°；

3）若AC=4,BC=5,则DA+DC=,AACD的周长为。

8、如图，DE为aABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,AC=5,BC=8,

求：AAEC的周长。

A

模块三形成提升

在aABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D.AABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,

求AB、BCo

模块四小结反思

—■、本课知识：

1、线段垂直平分线上的.到这条线段两个端点的距离一。

2、到一条线段两个端点距离的点，在这条线段的线上。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第三节线段的垂直平分线（二）

【学习目标】

1、知道三角形三条边的垂直平分线的性质。

2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：用尺规作已知线段垂直平分线。

难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、尺规作图是指用作图。

2、线段垂直平分线上的点到。

3、到一条线段两个端点距离相等的点，在。

4、阅读教材•：第3节《线段的垂直平分线》

二、教材精读

5、已知：如图，在AABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P,

求证：AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且AP=BP=CP。

证明：连接AP、BP、CP,

•.•点P在线段AB的垂直平分线上，

，PA=—（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）

.•点P在线段BC的垂直平分线上,

归纳：三角形三条边的线相交于,并且这一点到三个的距离相等。

推理格式：•••点P是aABC的三条边的垂直平分线的交点，

PA==.

6、做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、h

求作：ZkABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.

ah

作法：

（1）作线段AB=a；解：作图如下:

（2）作线段AB的垂直平分线？，交BC于点D,

（3）在L上作线段DC,使DC=h

（4）连接AC,BCoaABC为所求的等腰三.角形。

模块二合作探究

7、如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B

提供牛奶，牛奶站建在什么地方，才能使它到A、B的距离相等？

8、已知直线AB和AB上（外）一点P,利用尺规作/的垂线，使它经过点P。

・P

A-------------------------B

A---------------->p-----B

模块三形成提升

1、4ABC的三条边的垂直平分线相交于点P,若PA=10,则PB=,PC=.

2^己知:线段。=3cm、C=5cm

求作：RtAABC,使斜边AB=C

作法：

3、已知：Z\ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD

T-Oo

求证：OA=OB=OC.

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三角形三条边的线相交于，并且这一点到三个的距离相等。

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第四节角平分（一）

【学习目标】

能够证明角平分线的性质定理、判定定理。

能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理。

难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、点到直线的距离：由这点向直线引—，这点到垂足间线段的—叫做这点到直线的距离。

2、角平分线性质定理：角平分线上的一到这个角的两边的距离________。

3、阅读教材P28—P29：第4节《角平分线》

二二教材精诙

―A4,已知：如图，0C是NA0B的角平分线，点P在0C上，PD1OB,PE±

0A,垂足分别为D,E,求证：PD=PE

证明：：PD，OB,PE_LOA,垂足分别为D,E,

二ZPD0==90°

：0C是NA0B的角平分线,

归纳：角平分线上的一到这个角的两边的距离。（证明两条线段相等）

推理格式：•.•点P在NAOB的角平分线上，PE_LOA,PD10B,

APD=

/一

EA5S已知：如图，点P为NAOB内一点，PE10A,PD±OB,且PD=PE,

求证：0P平分NAOB。

归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的—，在这个角的平分线上（证明角相等）

推理格式：VPE10A,PD±OB,且PD=PE,

:.点P平分O

实践练习：如图，在aABC中，/ACB=90°,BE平分/ABC,DELAB于D,如果AC=3cm,那

笛么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

模块二合作探究

6、如图，CD±AB,BE±AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于0,N1=N2,求证：OB=0C。

D

BC

B

7、如图，E是线段AC上的一点，ABJ_EB于B,ADLED于D,

且/I=/2,CB=CDo

求证：Z3=Z4»

8、如图，在AABC中，AC=BC,NC=90°,AD是aABC的角平分线，DE1AB,垂足为E。

(1)已知CD4cm,求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD。

模块三形成提升

1、如右图，已知BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD。

求证：AD平分/BAC。

2、如图，在AABC中，BEXAC,AD1BC,AD,BE相交于点P,AE=BD。

求证：P在/ACB的角平分线上。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、角平分线上的—到这个角的两边的距离。（证明两条线段相等）

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的—，在这个角的平分线上.（证明角相等）

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

第四节角平分线（二）

【学习目标】

1、进一步发展学生的推理证明意识和能力。

2、能够利用尺规作已知角的平分线。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】

重点：角平分线的相关结论。

难点：角平分线的相关结论的应用。

【学习过程】

模块一预习反馈

一、学习准备

1、角平分线上的点到•

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在。

3、阅读教材：P30-P31第4节《角平分线》

二、教材精读

4、己知：点P是AABC的两条角平分线BM、CN的交点，

求证：ZA的平分线经过点P,且PD=PE=PF»

BEC证明：过点P作PE_LBC于E,PF_LAC于F,PDJ_AB于D,

•.'CN是aABC的角分线，点P为CN上一点，

；.PE=（）

：BM是aABC的角分线，点P为BM上一点，

.*.PE=)

归纳：三角形三条角平分线相交于——，并且这一点到三角形三条一的距离.

推理格式：•.•点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE_LBC,PF±AC,PD_LAB,

APD=

实践练习：

(1)如图4,点P为4ABC三条角平分线交点，PD±AB,PE±BC,PF±AC,则

PDPEPF.

(2)如图5,P是NAOB平分线上任意一点，且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与0B的关系

是•

图4图5

模块二合作探究

5、用尺规作图法作出图1中各个角的平分线。

如图2,求作一点P,使PC=PD,并且点P到/AOB两边的距离

相等。(用尺规作图)

D

7、已知：如图在AABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,交BC于D,

若BC=32,BD:CD=9：7,求：D至ljAB边的距离.

模块三形成提升

1、一张直角三角形的纸片，如图1-36那样折叠，

使两个锐角顶点A、B重合，若DE=DC,则NA=:

2、已知：如图，AABC的外角/CBDT和/BCE的角平分线相交于点F.

求证:点F在NDAE的平分线上.

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三角形三条角平分线相交于一，并且这一点到三角形三条的距离

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第一章三角形的证明

回顾与思考

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方

法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数

学语言表达论证过程的能力。

【学习方法】自主探究与合作交流相结合。

【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固

难点：本章知识的综合性应用。

【学习过程】

模块一复习反馈

1、等腰三角形的性质：（边）；（角）:''三线合一”的内

容。

2、等边三角形的性质：（边）；（角）o

3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）o

4、判定等边三角形的方法有：（边）：（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：。

逆定理：。

三角形的垂直平分线性质：。

6、角的性质定理：。

逆定理：..

三角形的角平分线性质：。

7、三角形全等的判定方法有：o

8、30°锐角的直角三角形的性质：。

9,方法总结：

（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定

理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；

5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全

等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等：2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角

形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二合作探究

1、填空：（1）△ABC中，Z4：ZB：ZC=1：2：3,最小边BC=4cm,最长边A8=。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm、12cm,其斜边上的高是0

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c,且a2—bc=a（b—c）,则这个三角形（按边分类）一定是

2、已知：如图，D是aABC的BC边上的中点，DE±AC,DF1AB,垂足分

别是E、F,且DE=1）F。求证：AABC是等腰三角形。

A

3、如图，在AABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知4BCE的

周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的长.

4、己知，在AABC中，AD垂直平分BC,且CA=CE,点B、D、C、E在同一条直线上。

求证：AB+DB=DE

模块三形成提升

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为

2、如图1,在△ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,ABCE

的周长等于50,则BC的长为。

3、如图2,在△ABC中，NACB=90°,BE平分NABC,ED_LAB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE

等于。

图1

c

图2

4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是.

它是一个命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是

_____________________________________________________，这个逆命题是命题.

5、如图，AC平分/BAD,CE1AB,CF1AF,E、F是垂足，且BC=CD。

求证：（1）ABCE^ADCF；（2）DF=EB。

模块四小结反思

一、本课知识：

二、本课典例：

三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

§2.1不等关系

学习目标：

1.理解不等式的意义.

2.能根据条件列出不等式.

3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.

4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类

历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.

1.不等式的概念：

一般地，用符号“V"（或W）,“>"（或2连接的式子叫做

2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为

例1、用不等式表示

(1)a是正数；(2)a是负数；

(3)a与6的和小于5：(4)x与2的差小于一1；

(5)x的4倍大于7；(6)y的一半小于3.

变式训练：

1、用适当的符号表示下列关系：

(1)a是非负数；

(2)直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；

(3)X与17的和比它的5倍小。

收获与感悟

2.(1)当斤2时，不等式户3>4成立吗？

(2)当尸1.5时，成立吗？

(3)当产一1呢？

活动与探究：

a,b两个实数在数轴上的对应点如图1一2所示：

―&6a

图1一2

用“V”或号填空：

(1)ab;(2)|a\|b\;

(3)a^b0;(4)a-b0;

(5)a^ba~b\(6)aba

拓展训练：

1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司，经洽谈后，甲公司

优惠条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费；乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.

试问当学生人数超过多少人时，其余7.5折收费；甲旅游公司比乙旅游公司更优惠？(只列

关系式即可)

§2.2不等式的基本性质

学习目标：

1.探索并掌握不等式的基本性质；

2.理解不等式与等式性质的联系与区别.

3.通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨

别能力.

1.不等式的基本性质有哪些？

不等式的基本性质1:

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向

不等式的基本性质2：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向

不等式的基本性质3：

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向

2.不等