自动控制理论 控制系统的数学模型2.3

1、Tuesday, January 04, 202212.3控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 Tuesday, January 04, 20222控制系统的结构图和信号流图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。1、系统结构图的组成和绘制系统结构图的组成和绘制 (1)系统结构图的组成单元系统结构图的组成单元 A 信号线 B 引出点（或测量点） C 比较点（或综合点） D 方框（或环节）下图为结构图的基本组成单元Tuesday, January 04, 20223(2)系统结构图的绘制方法1）考虑负载效应，列

2、写元部件传递函数，用方框表示；2）根据元部件的信号流向，用信号线依次连接方框，得方框图。例试绘制无源网络的结构图。解应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出方程(右边）： 按照上述方程可分别绘制相应元件的方框如图。然后，用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图。 Tuesday, January 04, 20224结构图的基本概念结构图的基本概念例2-10.求例2-6所示的速度控制系统的结构图。各部分传递函数见例2-8，罗列如下：)()()(sususufge)(sug)(sue)(suf比较环节：,)()(11Ksusue)(sue)(1su1K运放：)(1su)(2su)

3、 1(2sK) 1()()(212sKsusu运放：32)()(Ksusua)(2su)(sua3K功放环节：Tuesday, January 04, 20225 将上面几部分按照逻辑连接起来，形成下页所示的完整结构图。ffKssu)()()(s)(suf3K反馈环节：)() 1()()() 1(2sMsTKsuKssTsTTcamaumma返回例返回例2-8电动机环节：12sTsTTKmmau1) 1(2sTsTTsTKmmaam-)(s)(sMc)(sUaTuesday, January 04, 20226 在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统

4、结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。结构图的基本概念结构图的基本概念)(sue)(sug)(suf)(1su)(2su)(sua1K) 1(2sK3K1sTsTTKmmau1) 1(sTsTTsTKmmaamfK)(s)(sMc-Tuesday, January 04, 20227结构图的等效变换结构图的等效变换2、结构图的等效变换：、结构图的等效变换：任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。 （1）简化的原则简化的原则： 变换前后变量关系保持等效

5、。具体为： A、变换前后前向通路中传递函数的乘积保持不变； B、变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。 （2）等效变换规则等效变换规则Tuesday, January 04, 20228 环节的并联：环节的并联：)(sGn)(1sG)(sX)(sY)()()()(1sGsXsYsGini)()(1)()()()(),()()()()()()(sHsGsGsXsYsGsYsHsXsEsGsEsY 反馈联接：反馈联接：)(sH)(sG)(sX)(sY)(sE环节的合并环节的合并 环节的串联：环节的串联：)(1sG)(sGn)(sX)(sY)()()()(1sGsXsYsGiniTuesday, J

6、anuary 04, 20229比较点和引出点的移动 )()(),()()()()(),()()()(?)(2121sGsNsNsXsGsXsYsGsXsXsYsN:又比较点移动：移动： 比较点后移)(1sX)(sG)(2sX)(sY)(1sX)(sN)(sG)(2sX)(sY比较点的移动比较点的移动Tuesday, January 04, 202210比较点的移动和互换比较点的移动和互换 比较点前移：)(sG)(1sX)(2sX)(sY)(1)(),()()()()()(),()()()(?)(2121sGsNsGsNsXsGsXsYsXsGsXsYsN)(sG)(sN)(sY)(1sX)(

7、2sXTuesday, January 04, 202211引出点移动：引出点移动： 引出点后移)(sG)(1sX)(1sX)(sY)(sG)(1sX)(sY)(sN)(1sX)(1)(),()()()(?)(11sGsNsXsNsGsXsN引出的移动和互换引出的移动和互换Tuesday, January 04, 202212比较点和引出点的移动和互换比较点和引出点的移动和互换 引出点前移：)(sG)(1sX)(sY)(sY)(1sX)(sG)(sN)(sY)(sY)()(),()()(),()()(?)(11sGsNsYsNsXsYsGsXsN 注意： 相临的比较点位置可以互换；见下例)(1

8、sX)(2sX)(3sX)(sY)(1sX)(3sX)(2sX)(sYTuesday, January 04, 202213比较点和引出点的移动和互换比较点和引出点的移动和互换 同一信号的引出点位置可以互换：见下例)(sG)(sX)(sY)(1sX)(2sX)(sG)(sX)(sY)(2sX)(1sX 比较点和引出点在一般情况下，不能互换。)(sG)(2sX)(3sX)(sX)(sG)(2sX)(3sX)(sXTuesday, January 04, 202214结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11例2-11利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。解：不能把左图简单地看

9、成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：)(1)()(11sIRsusui11R)(1sI)(sui)(su-)()()(21sIsIsI-)(sI)(1sI)(2sI)(1)(1susCsIsC11)(sI)(su)(1)()(22sIRsusuo21R)(2sI)(su)(suo-)(1)(22susCsIosC21)(2sI)(suoiuou1R2R1C2C1i2iui,2iTuesday, January 04, 202215结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-11总的结构图如下： 为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：11

10、RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo11RsC111122sCR-)(sI)(1sI)(su)(sui)(suosC211RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR21Tuesday, January 04, 202216结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-1111RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR211122sCR-)(sui)(suosCR211111sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsususGio2122112211212211) 1)(1(1) 1)(1(1) 1)

11、(1(1)()()(Tuesday, January 04, 202217结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-12解：结构图等效变换如下：例2-12系统结构图如下，求传递函数 。)()()(sRsCsG)(1sG)(sH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC相加点移动)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sCTuesday, January 04, 202218)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC)()()(421sGsGsG)()()(1)(323sHsGsGsG)(sR)(sC)()()(1

12、)()()()()(324213sHsGsGsGsGsGsGsG结构图等效变换例子结构图等效变换例子|例例2-12Tuesday, January 04, 202219例 试简化系统结构图，并求系统传递函数C(s)/R(s)Tuesday, January 04, 2022203、信号流图的组成及性质(1)信号流图的组成信号流图的组成：由节点和支路组成的一种信号传递网络。 节点节点：即变量，用小圆圈表示，为流向该节点的信号的代数和。 支路支路：定向线段，标支路增益，相当于乘法器，表因果关系。(2)信号流图的性质信号流图的性质 A 节点标志系统的变量； B 支路相当于乘法器； C 信号沿箭头单向

13、传递； D 系统的信号流图不是惟一的。 下图为典型的信号流图 Tuesday, January 04, 2022213)常用术语源节点源节点（或输入节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X1 。阱节点阱节点（或输出节点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，如图中的节点X5 。混合节点混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，如图中的节点X2X3X4X5。前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。从源节点X1到阱节点X5，共有两条前向通路：一条是X1X2X3X4X5，其前向通路总增益P1abc；另一条是X1X2X5，其前向通路总增益P2=d。回路

14、回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。X2X3X2，其回路增益L1=ae，X3X4X3其回路增益L2=bf；X5X5 的自回路，其回路增益是g。不接触回路不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。一对X5X5 是和X2X3X2；另一对是X5X5和X3X4X3。 Tuesday, January 04, 2022224、 信号流图的绘制 1)由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 微分方程先拉氏变换，指定系统变量，按因果关系排列，连成信号流图。例 试绘制RC无源网络的信号流图。设电容初始电压为U1(0)。 解 由基尔霍夫定律，列写微

15、分方程式如下： 各微分方程式进行拉氏变换，则有 Tuesday, January 04, 202223对变量Ui(s)，Ui(s)-U0(s)，I1(s)，I2(s)，I(s)，U0(s)及U1(0)分别设置七个节点；然后，用相应增益的支路将个节点连接起来，便得到RC无源网络的信号流图。Tuesday, January 04, 202224 (2)由系统结构图绘制信号流图 结构图上信号线变成小圆圈表示变量，方框变成增益线段（即支路），连成信号流图。 例 试绘制系统结构图对应的信号流程。 解:首先，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对于对应的节点，如图（a）所示。其次，将各节点按原来顺序

16、自左向右排列，连接个节点的支路与结构图中的方框相对应，便得系统的信号流图，如图（b）所示.Tuesday, January 04, 202225.Tuesday, January 04, 2022265 、梅森增益公式梅森增益公式 p为从源接点到阱接点的传递函数（或总增益）； n为从源接点到阱接点的前向通路总数； pk为从源接点到阱接点的第条前项通路总增益； 为流图特征式； k为流图余因子式；La为所有单回路增益之和；LbLc为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；LdLeLf为每两个互不接触的单独回路的回路增益的乘积之和；k等于流图特征式中除去与第k条前项通路相接触的回路增益项（包括

17、回路增益的乘积项）以后的余项式。 Tuesday, January 04, 202227利用梅森公式求系统传递函数利用梅森公式求系统传递函数 例 试用梅森公式求例2-14系统的传递函数C(s)/R(s) 解解:由梅森公式求得系统传递函数为由梅森公式求得系统传递函数为Tuesday, January 04, 202228例 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s) 解 单独回路有四个，La=-G1-G2-G3-G1G2两个互不接触的回路有四组，LbLc=-G1G2-G1G3-G2G3-G1G2G3三个互不接触的回路有一组，LdLeLf=-G1G2G3Tuesday, January 04, 2

18、02229例 试求图所示系统信号流图的传递函数 C(s)/R(s)解:三个单独回路，没有不接触回路，三条前向通路， 由梅森公式求得系统传递函数为 Tuesday, January 04, 202230 例 求图所示系统的传递函数 C(s)/R(s) 解: 有五个单独回路; 没有不接触回路; 有两条前项通路Tuesday, January 04, 202231闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数6 闭环系统的传递函数：闭环系统的传递函数： 图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。 )(sR)(sC)(sE)(sN由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，

19、因此，我们分别求 对 和 对 的传递函数，然后叠加得出总的输出量 。)(sR)(sC)(sN)(sC)(sCTuesday, January 04, 202232给定输入作用下的闭环系统的传递函数给定输入作用下的闭环系统的传递函数（1）输入信号作用下的闭环传递函数）输入信号作用下的闭环传递函数令 ，则有：0)(sN)(1sG)(2sG)(sH)(sR-)(sC)(sE)(sBHGGGGsRsCs21211)()()(输出量为：)(1)(2121sRHGGGGsC上式中， 称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 。含义是主反

20、馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。)()(21sGsG)()()(21sHsGsG)(sBTuesday, January 04, 202233)()()(11)()(1)()()()()()()(21sHsGsGsHssRsHsCsRsRsEsE又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。,1)(2121GGGGs,11)(21GGSE)(1)(ssE系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。系统偏差传递函数：)(2sG)(sH)(sR-)(sB)(sE)(1sG)(sC给定输入作用下的闭环系统的传递函数给定输入作用下的闭

21、环系统的传递函数Tuesday, January 04, 202234扰动输入作用下的闭环系统的传递函数扰动输入作用下的闭环系统的传递函数（2）扰动作用下的闭环传递函数：此时R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：HGGsGsNsCsN2121)()()()(输出为：)(1)(212sNHGGGsC一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：HGGGsHsNsCsHsNsEsNE2121)()()()()()()()(1)(212sNHGGHGsE)(1sG)(2sG)(sH-)(sC)(sB)

22、(sN+)(sETuesday, January 04, 202235给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的传递函数3.给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性迭加原理：输出：)()()()()(sNssRssCN偏差：)()()()()(sNssRssENEE提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。NEEN,Tuesday, January 04, 202236例:试求图所示控制系统的传递函数C(s)/R(s) 解：解法1 用结构图等效变换法求解，等效变换过程如后图所示 Tues

23、day, January 04, 202237 Tuesday, January 04, 202238解法2 用梅逊公式求解。系统结构图所对应的信号流图如图所示。系统有一条向前通道，其传递函数为 P1=G1G2G3G4四个回路： L1=-G3G4H4, L2=-G2G3H1, L3=-G1G2G3H2, L4=1G1G2G3G4H3 这四个回路都互相接触 =1-(L1+L2+L3+L4), 1=1所以，系统传递函数为 Tuesday, January 04, 202239例 ：系统结构图、信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)。)。解 系统所对应的信号流图如图所示。 Tuesday,

24、January 04, 202240三个回路： L1G1G2， L2-G4， L3G1G4G5H1H2 =1 （L1+L2+L3）+L1L2 =1-G1G2+G4-G1G4G5H1H2-G1G2G4从R1(s)到C1(s)，有一条前向通路：P1=G1G2G3， 1=1+G4从R2(s)到C2(s)，有一条前向通路：P1=G4G5G6 ，1=1-G1G2由梅逊公式，得Tuesday, January 04, 202241例 设系统信号流图如图所示，求传递函数C(s)/R(s)解:九个回路L1=-G2H1, L2=-G4H2, L3=-G6H3L4=-G3G4G5H4, L5=-G1G2G3G4G

25、5G6H5L6=H1H4G8, L7=-G3G4G5G6G7H5L8=-G1G6G8H5, L9=G6G7G8H1H5Tuesday, January 04, 202242所以Tuesday, January 04, 202243例 系统结构图如图所示，求出系统的闭环传递函数C(s)/R(s). 解 解法1采用结构化简法求解。方框图化简步骤如图所示。Tuesday, January 04, 202244Tuesday, January 04, 202245解法2 采用梅逊公式求解。信号流图如图所示。 四个回路： L1=G3G8, L2=-G1G2G3G7, L3=-G5G6G7，L4=-G2G4G5G7 =1-(L1+L2+L3+L4) =1+G1G2G3G7+G2G4G5G7+G5G6G7-G3G8一条前向通路 P1=G1G2G3G7, 1=1Tuesday, January 04,