八下压轴题-一次函数与几何-动点问题教师版

1、八年级下数学期末压轴题精选1.等腰三角形存在性(2017 广西柳州)23. (10 分)如图，在四边形 OABC 中，OA/ BC, / OAB=90 ,O 为原点，点 C 的坐标为(2, 8),点 B 的坐标为(24, 8),点 D 从点 B 出发， 以每秒 1个单位长度的速度沿 BC 向点 C 运动，点 E 同时从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 OA 向 A 运动，当点 E 达到点 A 时，点 D 也停止运动，从运 动开始，设 D (E)点运动的时间为 t 秒.(1) 连接 AD 记厶 ADE 得面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式，写出 t 的取值范 围；(2) 当 t

2、 为何值时，四边形 ABDE 是矩形；(3) 在(2)的条件下，当四边形 ABDE 是矩形，在 x 轴上找一点 P,使得 ADP 为等腰三角形，直接写出所有满足要求的 P 点的坐标.C* D E/ ,0【分析】(1)根据三角形面积公式计算即可；(2)当 BD=AE 寸，四边形 ABDE 是矩形，由此构建方程即可解决问题；(3) 分三种情形：当 AD=AP 寸，当 DA=DP 寸，当 PD=PA 寸，分别求解即 可；【解答】解：(1)如图 1 中，S 丄X(24 - 3t)X8=- 12t+96 (0 t 8).(2)vOA/ BD,当 BD=AEM，四边形 BDEA 是平行四边形,/ OAB=

3、90 ,四边形 ABDE 是矩形， t=24 - 3t ,t=6s ,当 t=6s 时，四边形 ABDE 是矩形.（3）分三种情形讨论：iCDB1事 11/ J :1 /0卩 3耳馳 -4呼由（2）可知 D （18, 8）, A （24, 0）,-AD=；：.=10,1当 AD=AP 寸，可得 Pl（ 14, 0）, R（34, 0）,2当 DA=DP 寸，可得 P3（12, 0）,3当 PD=PA 寸，设 PD=PA=x在 Rt DPE 中,X2=82+ （x - 6）2,解得乂=二, P4（一 , 0）,综上所述，满足条件的点 P 坐标为（14 , 0）或（34 , 0）或（12 , 0）

4、或（亠，0）；【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性 质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨 论的思想解决问题，属于中考压轴题.2.直角三角形存在性(2017 深圳新华)如图，在平面直角坐标系中，0 是坐标原点，平行四边形的顶 点 C的坐标为(8, 8)，顶点 A 的坐标为(-6, 0),边 AB 在 x 轴上，点 E 为线 段 AD 的中点，点 F 在线段 DC 上，且横坐标为 3,直线 EF 与 y 轴交于点 G,有一 动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 A 沿折线 A- B-C- F 运动，当点 P 到 达点 F

5、时停止运动，设点 P运动时间为 t 秒.(1) 求直线 EF 的表达式及点 G 的坐标；(2) 点 P 在运动的过程中，设 EFP 的面积为 S (P 不与 F 重合)，试求 S 与 t 的函数关系式；(3) 在运动的过程中，是否存在点 P,使得 PGF 为直角三角形？若存在，请直 接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.C/A0Bx【分析】(1)根据点 C 的坐标可求出点 F 的纵坐标，结合题意可得出点 F 的坐标， 过点 E 作 EHLx 轴于点 H,利用 AH0AAOD 可求出点 E 的坐标，从而利用待 定系数法可确定直线 EF 的解析式，令 x=0,可得出点 G 的坐

6、标.(2) 延长 HE 交 CD 的延长线于点 M 讨论点 P 的位置，当点 P 在 AB 上运动时，当点 P 在 BC 边上运动时，当点 P 在 CF 上运动时，分别利用面积相减法可求 出答案.(3) 很明显在 BC 上存在两个点使厶 PGF 为直角三角形，这两点是通过过点 G 作GPL EF,过点 F 作 FP 丄 EF 得出来的.【解答】解：(1)vC (8, 8), DC/ x 轴，点 F 的横坐标为 3, OD=CD=8点 F 的坐标为（3, 8）,- A （- 6, 0）,OA=6AD=10过点 E 作 EHLx 轴于点 H,贝仏 AH0AAOD又 E 为 AD 的中点，AH. A

7、B.EH1AO ADDO2AH=3 EH=4OH=3点 E 的坐标为（-3, 4）,设过 E、F 的直线为 y=kx+b,l-3k+b=4b二&直线 EF 为 y 丄 x+6,3令 x=0,则 y=6，即点 G 的坐标为（0, 6）.（2）延长 HE 交 CD 的延长线于点 M贝 U EM=EH=4vDF=3SADE X 3X4=6,且 S平行四边形ABC=CD?OD=X 8=64.1当点 P 在 AB 上运动时，如图 3,S = S平行四边形ABC SxDEF-SAAPES四边形PBC.vAP=t,EH=4SAAPE-X4t=2t, S=64- 6 - 2t -(52 - 4t),

8、即：S=2t+6.2当点 P 在 BC 边上运动时，ABC SDEFSAPCFS四边形ABP.过点 P 作 PNL CD 于点 N.I/C=ZA, sin/A 丄旦,AD 5 sin/C.5s=s平行四边形S四边形(5+8-t) X8=52-4t. PC=18- t,PN=PC?si/ C 二(18 t).5vCF=5SAPCUX5X(18t)=36- 2t.过点 B 作 BK! AD 于点 K.vAB=CD=8BK=AB?sinZ A=8X?座.55vPB=t-8,.c_1 z.Q*v32 16.48S四边形ABP=(t8+5)X =t.z555S=64- 6( 36 2t)-(学 t -举

9、)，55即 S=台+孕.(8 分)3当点 P 在 CF 上运动时，vPC=t- 18,PF=5-( t 18) =23 t .vEM=4SAPEF-X4X(23-t)=46-2t.r2t+6,(0t8)综上：S=七晋 (8戈 18)46t. (l&t23)(3)存在.52（2016 山西晋中）（1）在直角坐标系中，A （1, 2）, B （4, 0）,在图 1 中，四边形 ABCD 为平行四边形，请写出图中的顶点 C 的坐标（5，2）Pi(H，L 3. 一次函匚J5ACAOr7to/ ,图i图 2肿/0/7S3(2)平面内是否存在不同于图 1 的点 C,使得以 O A B、C 为顶点的

10、四边形为 平行四边形，请在图 2 中画出满足情况的平行四边形，并在图中直接标出点 C 的坐标.(3) 如图 3,在直角坐标系中，A (1, 2), P 是 x 轴上一动点，在直线 y=x 上是 否存在点 Q,使以 O A、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所 有满足情况的平行四边形，并求出对应的 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据平行四边形的性质对边相等，即可解决问题.(2) 存在.注意有两种情形.点 C 坐标根据平行四边形的性质即可解决.(3) 存在.如图 3 中所示，平行四边形 AQPiO,平行四边形 AO，平行四边形 AQOP.点 Q 的坐标根据平行四边形

11、的性质即可解决.【解答】解：(1)如图 1 中，AC/f0L4B 劃四边形 ABCD 是平行四边形, OB=AC OB/ AC,- A( 1, 2), B (4, 0), AC=4点 C 坐标(5, 2). 故点 C 坐标为(5, 2).(2)存在点 C 坐标如图 2 中所示,(3)存在如图 3 中所示，平行四边形 AQPiO,平行四边形 AOQP2，平行四边形确画出图形，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型.(2017 襄阳)25. (11 分)如图，平面直角坐标系中，直线 I : y=- :：x+；分 别交x 轴，y 轴于 A, B 两点，点 C 在 x 轴负半轴上，且/ ACB=30

12、 .(1)求 A, C 两点的坐标.(2)若点 M 从点 C 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB 运动， 连接 AM 设厶 ABMW面积为 S,点 M 的运动时间为 t，求出 S 关于 t 的函数关系式，并写 出自变量的取值范围.点与坐标的关系等知识，解题的关键是学会正(3)点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以 A, B, P, Q 为顶点 的四边形是菱形？若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）由直线方程易得点 A 的坐标.在直角厶 BOC 中，利用 30 度所对的 直角边等于斜边的一半求出 BC 的长，利用勾股定理求出 0C 的

13、长，确定出 C 的坐 标即可；（2） 先求出/ ABC=90，分两种情况考虑：当 M 在线段 BC 上 ;当 M 在线段 BC 延长线上；表示出 BM 利用三角形面积公式分别表示出 S 与 t 的函数关系式即 可；（3） 点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点 Q,使以 A、B、P、Q 为顶点的四 边形是菱形，分两种情况，如图所示，利用菱形的性质求出AQ 的长，根据 AQ 与y 轴平行得到 Q 与 A 横坐标相同，求出满足题意 Q 得坐标即可.【解答】解：（1）当 x=0 时，y=.二；当 y=0 时，x=1.点 A 坐标为（1, 0），点 B 坐标为（0,丽），在 Rt BOC 中,Z

14、OCB=30，OB=BC=2；.C= i-J=3-点 C 坐标为（-3, 0）.（2）如图 1 所示：OA=1 OB*, AB=2ZABO=30,同理：BC=2；，ZOCB=30 ,ZOBC=60,ZABC=90,分两种情况考虑：若 M 在线段 BC 上时，BC=2 :, CM=,可得 BM=BGCM=2；-t ,此时 SAABM4-BM?AB=X（2岳-t）X2二師-t（02:;）;综上所述，s=-tgY泅；t-2V3（t2V3）（3） P 是 y 轴上的点，在坐标平面内存在点 Q 使以 A、B、P、Q 为顶点的四边 形是菱形， 如 2 图所示，当 P 在 y 轴正半轴上，四边形 ABPQ

15、为菱形，可得 AQ=AB=2 且 Q 与 A 的横坐 标相同，此时 Q 坐标为（1,2）,AP二AQ=1，Q 与 A 的横坐标相同，此时 Q 坐标为（1,当 P 在 y 轴负半轴上， 四边形 ABPC 为菱形， 可得 AQ=AB=2 且 Q 与 A 横坐标 相同，此时 Q 坐标为（1，- 2），BP 垂直平分 AQ 此时 Q 坐标为（-1, 0），一|2A/综上，满足题意 Q 坐标为（1， 2）、（1，- 2）、（1，-）、（- 1， 0）.【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：含 30 度直角三角形的性质, 勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，利用 了分

16、类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键.4. 一次函数与矩形：(2017 重庆江津)26. (12 分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=mx+n(m0)的图象与 x 轴交于点 A (- 3, 0),与 y 轴交于点 B,且与正比例函数 y=2x 的图象交于点 C (3, 6).(1) 求一次函数 y=mx+n 的解析式；(2) 点 P 在 x 轴上，当 PB+PC 最小时，求出点 P 的坐标；(3) 若点 E 是直线 AC 上一点，点 F 是平面内一点，以 O C、E、F 四点为顶点 的四边形是矩形，请直接写出点 F 的坐标.【分析】(1)由 A C 坐标，可求得答案；(

17、2) 由一次函数解析式可求得 B 点坐标，可求得 B 点关于 x 轴的对称点 B的 坐标，连接 BC与 x 轴的交点即为所求的 P 点，由 B、C 坐标可求得直线 BC的解析式，则可求得 P 点坐标；(3) 分两种情形分别讨论即可当 OC为边时， 四边形 OCFE是矩形， 此时 EOL OC当 OC 为对角线时，四边形 OE CF 是矩形，此时 OE 丄 AC【解答】解：(1)一次函数 y=mx+n(m0)的图象经过点 A (- 3，0)，点 C (3, 6)，Sirl-n0次函数的解析式为 y=x+3.解得(2)如图 1 中，作点 P 关于 x 轴的对称点 B,连接 CB 交 x 轴于 P,

18、此时 PB+PC- B (0, 3), C (3, 6)-B( 3, 0),直线 CB 的解析式为 y=3x - 3,令 y=0,得到 x=1,-P (1, 0)(3)如图,声0 x1当 OC 为边时，四边形 OCFE 是矩形，此时 EOL OC 直线 OC 的解析式为 y=2x,直线 OE 的解析式为 y=-亍 x,由页解得隙-E (-2, 1), EO=CF OE/ CF,-F （1, 7）.2当 0C 为对角线时，四边形 OE CF 是矩形，此时 0E 丄 AC,直线 0E 的解析式为 y=-x,，解得),=CF , OE / CF , F综上所述，满足条件的点 F 的坐标为（1.7 ）

19、或（丄，【点评】本题考查一次函数综合题、轴对称最短问题、矩形的判定和性质等知识, 解题的关键是学会利用对称解决最短问题， 学会用分类讨论的思想思考问题，属 于中考压轴题.5. 一次函数与正方形如图（1）,四边形 AOB（是正方形，点 C 的坐标是（|M, 0）,（1） 求点 A 的坐标点和正方形 AOBC 勺面积；（2） 将正方形绕点 O 顺时针旋转 45,求旋转后的正方形与原正方形的重叠部 分的面积；（3） 如图（2）,动点 P 从点 O 出发，沿折线 O- A- C- B 方向以 1 个单位/每秒 匀速运动；另一动点 Q 从点 C 出发，沿折线 C- B-O- A 方向以 2 个单位/每秒

20、匀 速运动.P、Q 两点同时出发，当 Q 运动到点 A 时 P、Q 同时停止运动设运动时 间为 t 秒，是否存22).在这样的 t 值，使OPQ 成为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由.【分析】 （1）连接 AB 根据 OCA为等腰三角形可得 AD=O的长，从而得出点 A 的坐标，则得出正方形 AOBC 的面积；（2）根据旋转的性质可得 OA 的长，从而得出 A C, A E,再求出面积即可；（3）存在，从 Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种：1当 Q 点在 BC 上时，使 OQ=Q，则有 OP=2BQ 而 OP=t, BQ=* 2t，列式可得出t ；2当 Q

21、点在 OB 上时，使 OQ=O,而 OP=t, OQ=&2t，列式可得出 t ；3当 Q 点在 OA 上时，使 OQ=PQ 列式可得出 t .【解答】解：（1）如图 1,连接 AB 与 OC 交于点 D,由厶 OCA 为等腰 Rt，得 AD=OD=OC 吨,故点 A 的坐标为（2 :, 2 二），故正方形 AOBC 勺面积为：Lx W2X4 厲=16;2（2）如图 1,旋转后可得 OA =OB=4则 A C=2- 4,而可知/ CA E=90，/ OCB=45 , 故厶 A EC 是等腰直角三角形，贝 U A E=A C=2- 4,故 S四边形OA EB=&OBC SAEC=1

22、2 16.（3）存在，从 Q 点在不同的线段上运动情况，可分为三种：当 Q 点在 BC 上时，使 OQ=QPQM 为 OP 的垂直平分线,则有 OP=2OM=2BQffi OP=t, BQ=4- 2t ,则 t=2 (4-2t),解得：t .当 Q 点在 OB 上时，使 OQ=QP 而 OP=t, OQ=- 2t , 则 t=8 - 2t ,当 Q 点在 OA 上时，如图 4,广0 /圉 4使 OQ=PQt2- 24t+96=0,解得：t=12+4 .：(舍去)，t=12 - 4：；.【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定以及旋转的性质， 是中考 压轴题，综合性较强，难度较大.6.四

23、边形综合(1) (2017 武汉新洲)如图，正方形 ABCD 中，P 为 AB 边上任意一点，AEL DP 于 E,点 F 在 DP 的延长线上，且 EF=DE 连接 AF BF,ZBAF 的平分线交 DF 于 G,连接 GC(1)求证： AEG 是等腰直角三角形；【分析】(1)根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD 根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)作 CHLDP,交 DP 于 H 点，证明 ADEADCHAAS，得至 U CH=DEDH=AE=EG证明 CG=：GH AG= DH 计算即可.【解答】(1)证明：DE=EF AE! DP AF=AD/ AFD 玄 ADFvZ

24、ADF+ZDAEPAE/DAE=90，/ AFD= PAE AG 平分/ BAF,/ FAG=/ GAPvZAFD+ZFAE=90,/ AFD+ZPAEZFAP=90 2ZGAP+ZPAE=90,即ZGAE=45 ,AGE 为等腰直角三角形；(2)证明：作 CHLDP 交 DP 于 H 点，Z DHC=90 .vAE! DP,ZAED=90,ZAEDZDHCvZADEZCDH=90, ZCDHZDCH=90,ZADEZDCHADEm DCH 中,ZAED=ZDHC- : -I,AD 二 DC ADEADCH( AAS, CH=DE DH=AE=EG EH+EG=EH+HD即 GH=EDGH=C

25、H CG= GHvAG= EQ AG= DH, CG+AG=GH+ 二 HD CG+AGh (GH+HD,即 CG+AG=DG(（2）（2017 天津）24.（8 分）如图（1）,正方形 ABCD 勺对角线 AC, BD 相交于 点O,E 是 AC 上一点，连结 EB,过点 A 作 AMLBE 垂足为 M AM 与 BD 相交于点 F.（1）求证：OE=OF（2）如图（2）若点 E 在 AC 的延长线上,AMLBE 于点 M, AM 交 DB 的延长线于 点F ,其他条件不变，结论“ OE=O”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由.【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且

26、平分, 得到 OB=OA 又因为 AML BE 所以/ MEA# MAE=90 =ZAFO MAE 从而求证出 Rt BO 專 Rt AOF 得到 OE=OF（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA 再根据已知条件求证出 Rt BO 砾 Rt AOF 得到 OE=OF【解答】解：（1）v四边形 ABCD 是正方形./ BOE# AOF=90 , OB=OA又 AMLBE,# MEA# MAE=90 =# AFO# MAE# MEA# AFO在厶 BOEF3 AOF 中 ,fZBOB=ZAOF BHO ,ZBEO=ZAFO OE=OF(2) OE=O 成立.四边形 ABCD 是正

27、方形，/BOEMAOF=9O,OB=OA又 AMLBE/F+ZMBF=90,/E+ZOBE=90,又TZ MBFZOBEZF=ZE.在厶 BOEF3 AOF 中,r ZB0E=ZA0FIZF=ZEBOEAAOFOE=OF【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键.7.动点问题：(1) (2017 黄石大冶)如图 1,正方形 ABCD 勺边长为 6cm 点 F 从点 B 出发， 沿射线AB 方向以 1cm/秒的速度移动，点 E 从点 D 出发，向点 A 以 1cm/秒的速度 移动(不到点 A).设点 E, F

28、 同时出发移动 t 秒.(1)在点 E, F 移动过程中，连接CE, CF,CEF 的形状是_ ，始终保持不变；(2) 如图 2,连接 EF,设 EF 交 BD 于点 M 当 t=2 时，求 AM 的长；(3) 如图 3,点 G, H 分别在边 AB CD 上，且 GH=3cm,连接 EF,当 EF 与 GH 的夹角为 45,求 t 的值.依题意得：DE=BF=t在厶 CDEWCBF 中，DC=BC-八H-,DEBFCDEA CBF( SAS, CF=CEZDCENBCF/ ECF 玄 BCF+ZBCEMDCE# BCEMBCD=90 ,CEF 是等腰直角三角形.故答案是：等腰直角三角形.(2

29、)如图 2,过点 E 作 EN/ AB 交 BD 于点 N,则/ NEMMBFM/ ENDMABDMEDN=45, EN=ED=BF在厶 EMNf FMB 中,ZNME=ZBHZNEM=ZBF,EN=BFEMNm FMB( AAS, EM=FM Rt AEF 中, AE=4 AF=8,=EF=: =4几,AM=EF=2 口；ifZj（3）如图 3,连接 CE CF, EF 与 GH 交于 P.由（1）得/ CFE=45，又/ EPQ=45 , GH/ CF,又 AF/ DC四边形 GFCH 是平行四边形， CF=GH=3 二,在 Rt CBF 中，得 BF=，-；=：一： =3,【点评】本题考

30、查了四边形综合题.解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与 性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用. 解答该类题目时， 要巧妙 的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性 质)得到相关线段间的数量关系，从而解决问题.(2) (2017 成都金堂)28. (12 分)如图，边长为 a 正方形 OABC 的边 OA OC 在坐标轴上.在 x 轴上线段 PQ=a(Q 在 A 的右边),P 从 A 出发，以每秒 1 个单 位的速度向 O 运动，当点 P 到达点 O 时停止运动，运动时间为 t .连接 PB,过 P 作 PB 的垂线，过 Q 作 x轴的垂线，两垂线相交于点 D.连接 BD 交 y 轴于点 E, 连接 PD 交 y 轴于点 F,连接 PE(1) 求/ PBD