历届全国初中数学联赛真题及答案

1、1991年全国初中数学联赛试题一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是 （A）3 ； （B）； （C）2； （D） 答（ ） 如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18答（ ） 方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D） 答（ ） 已知：（n是自然数）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（） 若，其中为自然数，n为使得等式成立的最大

2、的自然数，则（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（） 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（）=1 如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ） 在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（）< c < 2 ； （）0< c ；答（ ）（C）c > 2； （D）c = 2答（）二、填空题是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积

3、是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x >，恒成立，则四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = 第二试x + y，x y，x y，四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）求证：BFAFCF 三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数）

4、，把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足的非负整数的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是(A)> (B)= (C)> (D)不确定.3.若,则的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这

5、个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A) (B) (C) (D)不确定答( )6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.则AE:EB等于

6、(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设均为正整数,且,则当的值最大时,的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于_.2.若,则的最大值是_.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则 .4.若都是正实数，且，则 .第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字

7、组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式除以的余式是(A)1; (B)-1; (C); (D);2.对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A),都对 (B)对,错 (C)错,对. (D),都错.3.设是实数,.下列

8、四个结论:.没有最小值; .只有一个使取到最小值;.有有限多个(不止一个)使取到最大值;.有无穷多个使取到最小值.其中正确的是(A) (B) (C) (D)4.实数满足方程组 其中是实常数,且,则的大小顺序是(A); (B);(C); (D).5.不等式的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在中,则的值是(A) (B) (C) (D).答( )7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于(A); (B) (C) (D).答( )8.可以化简成(A); (B) (C) (D)答( )二.填空题1. 当x变

9、化时,分式的最小值是_.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有_个小球.3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=_.4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.中, BC=5, AC=12, AB

10、=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程分别各有两个整数根及,且.(1)求证:(2)求证:;(3)求所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：309：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.答( )2设a,b,c是不全相等的任意实

11、数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA都不小于0 B都不大于0C至少有一个小0于D至少有一个大于0答( )3如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A等于4B等于5C等于6D不能确定答( ) A1 B-1 C22001 D-22001答( )5若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A4对B8对C12对D16对答( ) 答( )7设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·

12、;BE+CH·CF的值是答( )A1001 B1001,3989C1001,1996 D1001,1996,3989 答( )二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.3在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=_.4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_.第二试(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.一、（本题满分20分）如图所示，在ABC中，AB=AC.任意延长CA到

13、P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,15)个题的人数的一个统计.n012312131415做对n个题的人数78102115631如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：309：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分。一、

14、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。1. 若，则可化简为( )A.B.C.D.2. 设，是不全相等的任意实数，若，则，（ ）A.都不小于0B.都不大于0C.至少有一个小于0D.至少有一个大于03. 如图1所示，半圆的直径在梯形的底边上，且与其余三边，相切，若，则的长( )A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定4. 当时，多项式的值为( )A.B.C.D.5. 若平行直线，与相交

15、直线，相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对6. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 设锐角三角形的三条高，相交于。若，则的值是( )A.B.C.D.8. 若（其中，）是自然数，且有，则的一切可能的取值是（ ）A.B.，C.，D. ，二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果。1. 若在关于的恒等式中，为最简分式，且有，则_.2. 当时，函数的最大值是_.3. 在中，设是高，是角平分线，若，则_.4. 把两个半径为和一个半径为的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这

16、三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_.第二试(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分。一、（本题满分20分）如图所示，在中，。任意延长到，再延长到，使。求证：的外心与，四点共圆。二、（本题满分20分）周长为，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题。下表是对于做对n(n=0，1，2，15)个题的人数的一个统计。n012312131415做对n个题的人数78102115631如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学

17、生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？1994年全国初中数学联赛参考答案第一试答案一、选择题；小题号12345678答案ADBBDCBC二、填空题：第二试提示及答案。一、连结OA，OC，OP，OQ。证明OCPOAQ，于是CPO=AQO，所以O，A，P，Q四点共圆。三、这个表至少统计了200人。1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知a355,b444,c533,则有 AabcBcba Ccab DacbA1B2 C3 D43如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那

18、么此圆的周长为 A62B63 C64D655设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记MSCABSDAB，N2SOAB，则 AMN BMN CMN DM、N的大小关系不确定6设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab，则 Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da0且b0二、填空题1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个。4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2AC·BC，则CAB_第二试一、 已知ACECDE90°，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为CDE的内心。二、在坐

19、标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。中数学联合竞赛试题及答案 答案：答案：答案：年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分）1.当时，代数式的值是（ ）A.1 B. C. D.1 2.一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（ ）A. B. C. D.3.的值是（ ）.A. B. C. D. 4.若n是正整数，记1×2×3××n=n!，比如1！

20、=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若M=1!×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！，则M的约数中是完全平方数的共有（ ）A.504个 B.672个 C.864个 D.936个5.将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ）A.16种 B.14种 C.12种 D.10种二、填空题（满分35分，每小题7分）1. 的值等于 .2.平行四边形ABCD中，AD=a，CD=b，过点B分别作AD边上的高和CD边上的高，已知，对角线AC=20厘米，平行四边形ABCD

21、的面积为 平方厘米.3.已知，并且，则等于 .（其中表示不超过的最大整数）4.已知ABC中，A，B，C的外角度数之比为（，均为正数），则ABC等于 .（用含，的式子之比表示）5.当时，经化简等于 .三、（满分10分）已知，.（1） 求的值（2） 求的值四、（满分15分）如图所示，六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，并且A+C+E=BDF，求证AD，B=E，C=F.五、（满分15分）（1）证明：由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明，存在最左边2009位都是1的形如的自然数（其中*代表阿拉伯数码）是完全平方数.09年全国初中数学联赛试题及答案时间：

22、2009-6-3 14:33:52 点击：158332009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则                                      &

23、#160;   （     ）A.24.      B. 25.       C. .        D. . 2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC          （    ）A.

24、0;     B. .       C. .        D. . 3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为                （    ）A.1.      B. 2.&

25、#160;      C. 3.        D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为                         

26、                                  （    ）A.      B. .       C. .&#

27、160;       D. . 5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE                                  

28、;     （  D  ）A.      B. .       C. .        D. . 6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （  &

29、#160; ）A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足

30、是整数，则这样的有序数对共有_对.第一试答案：ACCBDB；3，1，7第二试 （A）一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解:  （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OBOC×OD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).   （2）因为ABCD，如果AB恰好为

31、P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即. 又，所以，解得.  二（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.解  作EAB于E，FAB于F.在直角三角形ABC中，AC3，BC4，.又CDAB，由射影定理可得，故，. 因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以.连接D、D，则D、D分别是ADC和BDC的平分线，所以DCDADCDB45°，故D90°，所以DD，. 同理，可求得，. 所以. 三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：   &#

32、160;                                                  &

33、#160;          证明：以为三边长可构成一个直角三角形.证法1  将两式相乘，得，即， 即，即，  即，即，即，即，即，  所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 证法2  结合式，由式可得，变形，得                 又由式得，即，代入式，得，即.  &

34、#160;  ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.      第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90°，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. 解  因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此.  又F是QN的中点，所以CFQN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.    &

35、#160;                                   又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB.   三（本题满分25分）题目和解

36、答与（A）卷第三题相同.     第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.  二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.  三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：                            &#

37、160;                                    是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1  将两式相乘，得，即， 即，即， 即，即，即，即，即， 所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直

38、角三角形，它的最大内角为90°.解法2  结合式，由式可得，变形，得               又由式得，即，代入式，得，即.   ， 所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.下载附件： 中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入

39、题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若 ，则 的值为（    ）（A）         （B）        （C）        （D） 解：     由题设得 2若实数a，b满足 ，则a的取值范围是 （     ）（A）a     （B）a4  &#

40、160; （C）a 或 a4   （D） a4解C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式    0,解得a 或 a43如图，在四边形ABCD中，B135°，C120°，AB= ，BC= ，CD ，则AD边的长为（   ）（A）              （B） （第3题）（C）         （D） 解：D 如图，过点A，D分别作AE，

41、DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得（第3题）BE=AE= ，CF ，DF2 ，于是 EF4 过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，根据勾股定理得AD 4在一列数 中，已知 ，且当k2时， （取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（    ）(A) 1          (B) 2           (C) 3  

42、60;         (D) 4解：B由 和 可得， ， ， ， ， ， ，因为2010=4×502+2，所以 =25如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（   

43、; ）                   （第5题）（A）（2010，2） （B）（2010， ） （C）（2012， ）  （D）（0，2） 解：B由已知可以得到，点 ， 的坐标分别为（2，0），（2， ）记 ，其中 根据对称关系，依次可以求得：， ， ， 令 ，同样可以求得，点 的坐标为（ ），即 （ ），由于2010=4 502+2，所以点 的坐标为（2010， ）二、填空题6已

44、知a 1，则2a37a22a12 的值等于               解：0  由已知得 (a1)25，所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t    

45、         解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，               ，                

46、0;                  由，得 ，所以，x=30       故 （分） （第8题8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是  &

47、#160;                 （第8题） 解： 如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF CE，DF，且相交于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线 把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是，直线 即为所求的直线 设直线 的函数表达式为 ，则 解得 ,故所求直线 的函

48、数表达式为 （第9题）9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则             解： 见题图，设 因为RtAFBRtABC，所以 又因为 FCDCAB，所以 即      ，解得 ，或 （舍去）又Rt Rt ，所以 ，  即 = 10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1若 的最小值 满足 ，则正整数 的最小值为&

49、#160;            解：       因为 为 的倍数，所以 的最小值 满足，其中 表示 的最小公倍数由于 ，因此满足 的正整数 的最小值为  三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）（第12B题）      

50、   （第11题）    （第12B题）证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以EDBC，   FDBC，因此D，E，F三点共线.   （5分）连接AE，AF，则（第11题），所以，ABCAEF.    （10分）作AHEF，垂足为H，则AH=PD. 由ABCAEF可得，从而              

51、;           ，         所以                         .     （20分） 

52、0; 12如图，抛物线 （a 0）与双曲线 相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.（第12题）解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 .设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有    解得 ， .于是，直线AB与y轴的交点坐标为 ，故，整理得 ，解得 ，或t （舍去）所以点B的坐标为（ ， ）因为点A，B都在抛物线 （a

53、 0）上，所以   解得    （10分）（2）如图，因为ACx轴，所以C（ ，4），于是CO4 . 又BO=2 ，所以 .（第12题）设抛物线 （a 0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ ，0）.因为CODBOD ，所以COB= .（i）将 绕点O顺时针旋转 ，得到 .这时，点 ( ，2)是CO的中点，点 的坐标为（4， ）.延长 到点 ，使得 = ，这时点 （8， ）是符合条件的点.（ii）作 关于x轴的对称图形 ，得到点 （1， ）；延长 到点 ，使得 ，这时点E（2， ）是符合条件的点所以，点 的坐标是（8， ），或（2， ）. 

54、60;       （20分）   13求满足 的所有素数p和正整数m.         解：由题设得 ，所以 ，由于p是素数，故 ，或 .  （5分）    （1）若 ，令 ，k是正整数，于是 ，故 ，从而 . 所以 解得             （10分）（2）若 ，令 ，k

55、是正整数. 当 时，有 ，故 ，从而 ，或2.     由于 是奇数，所以 ，从而 .    于是 这不可能. 当 时， ， ；当 ， ，无正整数解；当 时， ，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.                 （20分）   14从1，2，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任

56、意三个数之和都能被33整除？ 解：首先，如下61个数：11， ， ， （即1991）满足题设条件.                               （5分）    另一方面，设 是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个

57、数 ，因为，   ，所以                        .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.        （10分）设 ，i=1，2，3，n.由 ，得 ，所以 ， ，即 11.      &#

58、160;          （15分） ，故 60. 所以，n61.综上所述，n的最大值为61.                        （20分）       2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解

59、答第 一 试一. 选择题（每小题分，共42分）、化简的结果是（ ）、； 、； 、； 、答案：(考查利用完全平方式变形开方的能力)解：，因此原式、是一个等腰直角三角形，是其内接正方形，是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）、； 、； 、； 、答案：考查图形的分类计数、排列组合解：设，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；斜边长为的有个，它们组成对全等三角形；共计对、设，且函数与有相同的最小值；函数与有相同的最大值；则的值( ).、必为正数； 、必为负数； 、必为； 、符号

60、不能确定答案：.考查二次函数的最值，导出a、b间的关系解：，由，得 ，；由，得 -得，所以 ，或 若,则；若，据，即，矛盾！、若关于的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（）、； 、；、； 、答案:.解:由方程无实根,得其判别式,于是,方程的判别式分别是:,显然,对于满足的每个值,可以确保,但不能保证非负,（即使得方程无实根的的区间与区间都有重叠部分，而使方程无实根的的区间与区间无重叠部分），所以必有实根,其余方程不一定有实根.、正方形中，分别是上的点，交于，交于；若平分，；记,则有（ ）.、； 、； 、； 、答案: 考查角平分线定理、相似三角形、三角形中位线定理。解:由,即,又的角分线与高重

61、合,则为等腰三角形，作，交于，则为的中位线，所以.、将这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）、种； 、 种； 种、； 、种答案：考查分类计数有理 解：相邻两数和为奇质数，则圆周上的数奇偶相间，于是的两侧为，而的两侧为；剩下两数必相邻，且与之一邻接；考虑三个模块的邻接情况，得到种填法二、 填空题（每小题7分，共28分）、若个连续正整数之和为，则的最大值是 答案：考查等差数列求和公式。解：设，则，注意，而，为使值最大，当把表示成最接近的一对因数之积，为，所以、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（

62、与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 答案：解：单位正三角形内切圆半径为，其面积为，而为其中心，故，因此，与的相似比为，于是每个小圆面积等于面积的，故四个圆面积之和为，因此，所求三角形剩下部分的面积为(正三角形内切圆半径的求法，面积比等于相似比)、圆内接四边形的四条边长顺次为：，则四边形的面积为 .答案：.从特殊性考虑。解：由于，即，所以与都是直角三角形，因此，四边形面积.或由海伦定理求p=1/2(a+b+c+d)=12 S的平方=(p-a)( p-b) (p-c) (p-d)=900、在中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 答案：个解：中，有奇数三个，故其代数和必为奇