三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题19抛物线理(含解析)

1、专题19抛物线考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.抛物线的定义 及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图 形、标准方程及简单性质掌握选择题 解答题2.抛物线的几何 性质掌握选择题 解答题3.直线与抛物线 的位置关系掌握选择题 解答题分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，分值约为12分，属偏又t题.2018年图考全景展不1 .【2018年理新课标

2、I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点（-2, 0）且斜率为3的直线与C交于MN两点，则加前=A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析:首先t艮据题中的条件，中照点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线才皎，联立方程 组，泊元化简，求得两点再利用所给的抛物线的方程，写出苴厘点坐标，之后应用向量生 标公式，求得而二 （00,方=04）,最后应用向里数量积坐标公式求得绪果.详解二根据题意，过点JL 0）且斜率为渐宣方程为y二“嵬+ 2"与抛锣班程联立？三久,十消无整理得：产-印+ 8 = 0,解得枇卜又产L0）n所以用=82）.筋=13用,从而可以求 得包.西=

3、0 乂 3-2x4 =氏古域3点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出,之后借助于抛物线的方程求得 FL0）|,最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M N的坐标，应用韦达定理得到结果 .2 .【2018年浙江卷】如图，已知点 P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线 C： y2=4x上存在不同的两点 A, B 满足PA PB的中点均在C上.（I）设AB中点为M证明：PM垂直于y轴；4（n）若P是半椭圆x2+*=i（x<

4、;0）上的动点，求 PAB1积的取值范围.13J10【答案】（I）见解析（n）4【解析】分析：（I）设P, A B的纵坐标为 外，尸力，根据中点坐标公式得 PAPB的中点坐标，代入抛物线方程，可得为十力-2凡,即得结论，（n）由（I）可得 PAB面积为2,利用根与系数的关系可表示/阳，1打一h1为此的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围详解：（I ）设PQoM,因为" PB的中点在抛物线上，所以力，%为方程，（工）4 7 即几y+.。-端=。的两个不同的实数根.所以 为+h=2孔.因此，垂直于N轴.由可知3；驾曹册所”圳+蝎一"=*M _同=2J拓两5323

5、户. =1八7?1二理日"套口吩 益+=11%口）因此，人占的面积21 1叫汇1'口" .因为。4 口 ，所以15回|4-4.%=-44-%+4门4可因此，也.面积的取值范围是旧乙41.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域3.【2018年理北京卷】已知抛物线C:，'=2px经过点P （1, 2）.过点Q （0, 1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点

6、A B,且直线PA交y轴于M直线PB交y轴于N.(I)求直线l的斜率的取值范围；(n)设O为原点，QM=AQO, = 求证：不+"为定值.【答案】(1)取值范围是(-8, -3) U ( -3 , 0) U ( 0, 1) (2)证明过程见解析【解析】分析:C1)先确定P：再设直线方程，与抛辘戋联立，根据判别式大于零解得直线的斜率的取值范 围，最后根据8,四与¥轴相交，舍去4昼(2)先谩x a, £), 3 5, 13与抛物线踪立，根据韦达定理可得门十h = *，> =再由百"壮,"而心= lf-利用直线iun,叫的方程分别得点工。丫的姆

7、标，代入化简三十2可得结论. 启 R详解：解：(I)因为抛物线 y2=2px经过点P (1, 2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x. /二 4工由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(kw0).由U =+ 1得Md + (2k - 4川 + 1 = 0.依题意 A = (fr-4)2-4x k'xiX,解得 k<0 或 0<k<1,又 PA PB 与 y 轴相交， 故直线l不过点(1,-2).从而kw-3.所以直线l斜率的取值范围是(-8, -3) U (-3, 0) U ( 0, 1).2/f-41(n)设 A (

8、X1, y。，。+ 心二一一 勺=B (X2, y2).由(I )知k , 吐直线PA的方程为川-2y-2 =y - 2=- ¥1 + 2-旌+ 1=- +2 = + 2.同理得点N的纵坐.令x=0,得点M的纵坐标为J厂由Q刖二孙9,通二网得4=17用，=1-功.所以2 2A-4 + II I 1/T打一11 窗户厂区+g)1 M k2一十一二4-+二二= 24 M 1-yM 1-为(上一1)勺(Ar - l)x2 k-1 xx2 k-111好 ,所以月口为定值.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或

9、三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2017年高考全景展示1.12017课标1,理10】已知F为抛物线C: y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线 l 1, lz,直线1i与17C交于A B两点,直线12与C交于H E两点，则|AB|+| DE的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10【解析】试题分析:A(x1, y1), Bd, y2), D(x3, y3), E'yQ ,直线11方程为y k（x 1）联立方程2y 4xy k1(x2 222得 k1

10、x 2k1 x 4x k11)0x1x22k14 2k14k12k12同理直线l2与抛物线的交点满足x32k； 4x4-2由抛物线定义可知|AB|DE| x2p222kl2 4 2k2I2k2当且仅当k1k2 1 （或【考点】抛物线的简单性质k12k2162 2k1 k28 2x2x3x48 161)时，取得等号【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外,直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则 | AB |2p2cos|

11、DE |2p2p一 22,、sincos (2)，所以 | AB | | DE |2p2p2cos_一 2sin4(一 cos2sin11224(一 )(cossin ) 4(2cos sin. 2sin2cos2. 2cossin)4 (2 2) 162.【2017课标II ,理16】已知F是抛物线C: y2 8x的焦点，M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN试题分析:如图所示，不妨设点 M位于第一象限，设抛物线的准线与 x轴交于点F',做MBl与点B , NAl与点a,由抛物线的解析式可得准线方程为2,则 AN 2, FF ' 4 , AN FF

12、'在直角梯形 ANFF'中，中位线BM AN一匚 3, 2由抛物线的定义有：MF MB 3,结合题意，有MN MF 3,线段 FN的长度：FN| |FM| NM| 3 3 6。【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么 用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义 转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。3.12017北京，理18

13、】已知抛物线 C: y2=2px过点P （1, 1）.过点（0, 1）作直线l与抛物线C交于不 2同的两点 MN,过点M作x轴的垂线分别与直线OPON便于点A,B,其中O为原点.（I）求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（n）求证：A为线段BM勺中点.211【答案】（I）万程为y2 x,抛物线C的焦点坐标为（一，0）,准线万程为x . （n）详见解析.44【解析】试题分析:（ I）代入点，产求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准2第程j <11）设直线J的方程为J-Ar-1 卷与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线”的方程为1三、，廉立求得点月 24的坐标（应"

14、;3证明十一？巧二。一试题解析士解T I）由抛铿左匕J：=?声过点p U, 1L得”，所以抛物线c的方程为j=工抛物线C的焦点坐标为C ； , 口 r准装方程为A - -1(n)由题意，设直线 l的方程为y kx 1 (k 0),2l与抛物线C的交点为M(Xi,yi),N(x2,y2).1y kx2 2由2 ,得4kx2y x(4k 4)x 1 0.则 xix21 k2-， xix2 k因为点P的坐标为1, 1),所以直线OP的方程为y x,点A的坐标为(x1,y1).直线ON勺方程为y x,点B的坐标为(为，竺.x2x2因为V2Vl o y12x1x2yy2y2y12x1x2(四2)x2(k

15、x2J/2x1x2x2x2(2k 2)为*22(X2x1)(2 k 2)1 4k21 k 2k20,x2x2所以y1到2x1 .x2故A为线段BM的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲不时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显 的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量21 13 94.12017浙江，21(本题满分15分)如图，已知抛物线 x2 y ,点

16、A( -,-) , B(,),2 42 4抛物线上(I)求直线 AP斜率的取值范围;(n)求| PA| | PQ|的最大值.,，27【答案】(I)( 1,1)； (n) 2716【解析】113试题分析：(I)由两点求斜率公式可得 AP的斜率为x ,由一 x ，得AP斜率的取值范围；(n) 222联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标,进而表达| PA|与| PQ|的长度，通过函数f (k) (k 1)(k1)3求解|PA| |PQ|的最大值.试题解析:2 x(I)设直线AP的斜率为k,则k 一3 , 直线AP斜率的取值范围是21.1).(n)联立直线 AP与BQ的方程kx yx ky14320

17、,0,解得点Q的横坐标是xQk24k_22(k1)因为 I PA= Vik2 (x1)= . 1 k2(k 21)| P牛,1k2(xq x)2(k_1)(k 1)、.k2 1,所以I PAIPQ= (k31)(k 1)令 f (k)3(k 1)(k 1)3,因为 f'(k)(4k 2)(k21)2,所以f(k)在区间(11,一)上单调递增, 2(?1)27161 ,上单调递减,因此当 k=1时，|PA| | PQ|取得最大值 2【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解能力， 通过表

18、达| PA|与| PQ|的长度，通过函数f(k) (k 1)(k 1)3求解|PA| |PQ|的最大值.2016年tWj考全景展不1.【2016年高考四川理数】设 O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线2 pxe0）上任意一点，M是线段PF上的点，且(A) -I3(B)试题分析：设PM =2_2 一2pt ,2ptMF ，则直线(C)OM勺斜率的最大值为（）(D) 1,M（不妨设uuut 0),则 FP2pt202 Pt.由已知得uuuu 1 uuuFM -FP3p 2p 2 1232 Pt3 ,2pt232 Pt3 ,2t22t2 112t1 2J12 'kOM max,故选C.2考点

19、：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求,利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标,利用向量法求出点 M的坐标，是我们求点坐标的常用方法,由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.2.【2016年高考四川理数】设 O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线2 px（p 0）上任意一点,线段PF上的点，且 PM =2MF ,则直线OM勺斜率的最大值为（）(A)(B)-3(C) -22(D) 1试题分析：设2pt2,2 Ptuuuu,M x , y (不妨设t 0),则

20、FP2pt2p,2Pt .由已知得uuuu 1 uuuFM FP3p2p 2 p- t -2362 pt3 ,kOM max停，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求,2p.2 pt -32 pt32t2t2 112t利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标,利用向量法求出点 M的坐标，是我们求点坐标的常用方法,由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.3.12016高考新课标1卷】以抛物线 C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于

21、口 E两点.已知|AB=4j2,| DE|=2j5,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8t解析】试题分析：如图上殳抛物线方程为f =2内一飒血交工轴于CF点贝LK = 2即a点然坐标为2收二则X点演坐标为土即0。三 士住勾股定理知DF- -OF-=r ; AC- + OC: = V。=口即(书y + (与=(2y/2)2 +(-)=解得P = 4即。的焦点到；隹线的距离为1故选3-P考点：抛物线的性质【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因

22、x4.12016高考天津理数】设抛物线 yA作l的垂线，垂足为B设C ( 7P,0 )22Pt , (t为参数，p>0)的焦点为F,准线为l .过抛物线上一点2ptAF与BC相交于点E若|CF=2| AF,且 ACE勺面积为3国则p的值为【解析】试题分析:抛物线的普通方程为/= 2声，F邑也二又|CF| = 2|”|则=由抛物线的定义湾|且5|二所以以二则|0|二上/,由月得孚二空，2EA jIo即/=刍=二，所以&3二=6点,邑犷产区干+ S- = 9小，所以乂3px履"9诲，EAF2p = # .考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运

23、用定义转化为到准线距离处理.2.若Rxo, yo)为抛物线y2= 2px(p>0)上一点，由定义易得|PF=xo+p;若过焦点的弦 AB的端点坐标为A(xi, y1) , B(x2, v公，则弦长为|AB=xi + X2+p, xi +x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方 程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.5.12016高考浙江理数】若抛物线 y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M® y轴的距离是 .【答案】9【解析】 试题分析：xM 110 xM 9考点：抛物线的定义.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛

24、物线上的点到准线的距离.解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离.【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.6.12016高考江苏卷】(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l:x y 2 0,抛物线C:y2 2 px( p 0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线 C的方程；(2)已知抛物线 C上存在关于直线l对称的相异两点

25、P和Q求证：线段PQ的中点坐标为(2 p, p).;求p的取值范围4【答案】(1) y2 8x (2)详见解析，(0,) 3【解析】试题分析：(1)先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程(2)利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：4p2 4(4 p2 4p) 0,解出p的取值范围.试题解析：解：(1)抛物线C：y2 2px(p 0)的焦点为(-p-,0)由点(旦0)在直线l:x y 2 0上，得上 0 2 0 ,即p 4. 22所以抛物线C的方程为y2 8x.(2)设 P(x1,y)Q(x2,y2),线段 PQ的中点 M(x0,y°)

26、因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1,则可设其方程为 y x b.由 y2Px 消去 x得 y2 2py 2pb 0(*)y x b因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以 y1 y2,从而(2 p)2 4( 2pb) 0 ,化简得 p 2b 0.yiV2方程(*)的两根为y,2 p Jp22Pb ,从而Vop.2因为M (xo,yo)在直线l上，所以Xo 2 p.因此，线段PQ的中点坐标为(2 p, p).因为M(2 p, p).在直线y x b上 所以 p (2 p) b,即 b 2 2P.4 由知p 2b 0,于是p 2(2 2p) 0,所以p 43因此p的取值范围为(0 4) 3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数