电磁场与电磁波试题

1、1. 如图所示， 有一线密度的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。解： 根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则由3. 在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为。试求载流导线单位长度受到 的作用力。解： 镜像电流2. 已知同轴电缆的内外半径分别为和, 其间媒质的磁导率 为，且电缆长度， 忽略端部效应， 求电缆单位长度的外自感。镜像电流在导线处产生的值为解： 设电缆带有电流则单位长度导线受到的作用力1力的方向使导线远离媒质的交界面。4. 图示空气中有两根半径均为 ，其轴线间距离为d的平行长直a圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷

2、量分别为和， 若忽略端部的边缘效应，试求(1) 圆柱导体外任意点 p 的电场强度 的电位 的表达式 ；(2)圆柱导体面上的电荷面密度与值。解：以 y 轴为电位参考点，则5. 图示球形电容器的内导体半径， 外导体内径，其间充有两种电介质与， 它们的分界面的半径为。 已知与的相对6. 电常数分别为。求此球形电容器的电 容。解26. 一平板电容器有两层介质，极板面积为, 一层电介质厚度，(2)电导率，相对介电常数，另一层电介质厚度，电导率。 相对介电常数， 当电容器加有电压(3)时， 求(1) 电介质中的电流 ；(2) 两电介质分界面上积累的电荷 ；(3) 电容器消耗的功率 。解：7. 有两平行放置

3、的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场 中的磁感应强度(1)分布(线) 。解：线上、下对称。31. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为:和求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。解：得合成波为右旋圆极化波。8. 图示一平行板空气电容器， 其两极板均为边长为 a 的 正方形， 板间距离为d， 两板分别带有电荷量与，现将厚度 为 d、相对介电常数为， 边长为 a 的正方形电介质插入平行板电容器内至处，试问该电介质要受多大的电场力？ 方向如何？解： (1)当电介质插入到平行板电容器内 a/2 处， 则其电容可看成两个电容器的并联静电能量当时，其方向为 a/2 增加的方向，且垂直于介质端面。9.

4、 长直导线中载有电流 ，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互 位置如图所示。设时，线框与直导4线共面时，线框以均匀角速度绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。解： 长直载流导线产生的磁场强度参考方向时为顺时针方向。10. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为时刻穿过线框的磁通试求(1)的值 ; (2)电场强度瞬时矢量和复矢量( 即相量)。解： （1)感应电动势由得故得5(2)和分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。11. 证明任一沿 传播的线极化波可分解为两个振幅相等, 旋转方向相反的圆极化波的叠加。12.图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组成的球形 电容器，在球证明： 设线极

5、化波壳间以半径为分界面的内、外填有两种不同的介质， 其介电常数分别为和，试证明此球形电容器的电容为其中 :证明：设内导体壳外表面所带的电荷量为 Q，则6(2)面积中心 ,两导体球壳间的电压为(3)的平均值13.已知求(1)穿过面积在方向的总电流(2) 在上述面积中心处电流密度的模；14. 两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内， 尺寸如图所示， 其中，(3)在上述面上的平均值 。略去端部效应，试求两线圈间的互感。解：(1)解： 设线框带有电流，线框的回路方向为顺时针。线框产生的为715. 已知， 今将边长为的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿、和方向时，求框中的感应电动势。解：

6、 (1)线框的法线沿时由得(2)线框的法线沿时线框的法线沿时16. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度为；,其中、为常数，求位 移电流密度。解： 因为由得817. 利用直角坐标系证明v2. 证明左边= ( fA)vv( fAx )ex( fAy )eyxyvvv( fG )fG(f )Gvvv( fAxexfAyeyfAzez)v( fAz )ezzvvvv f( Ax )ex( Ay )ey( Az )ez Ax( f )exxffxyzvvAy( f )eyAy( f )ey yvyfvfAA=右边18. 求无限长直线电流的矢量位 A 和磁感应强度 B 。解：直线电流元产生的矢量位为vv

7、0 I r 2dz 'dAez4( z z')2 1 2积分得vvvvf( Ax )exAx( f )ex(Ay )ey( f )eyxxfAyyyvvf(Az )ezAz( f )ezzz9lvv0 I2dz'1 2 Aez42( zz ')2l r2v0 I22lln( z 'z)( z 'z)r2ez4l2v0 I( lz) ( lz)2r 2 1 2ln22ez4lz)lz)2r21 2(0 I22vlez4lnr当 l, Avv 0Ir0附加一个常数矢量 Cezln4lvv0 Ilv0 Ir0v0 Ir0则 A ez4lnez4lnle

8、z4lnrrvvv0 IvAzv则由 BAeer 4 r19. 图示极板面积为 S、间距为 d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为 S、厚度为 a、介电常数为 的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为 Q 与Q 。若忽略端部的边缘效应，试求(1) 此电容器内电位移与电场强度的分布；(2) 电容器的电容及储存的静电能量。vvQ v解： 1） D1D2SexvvvQvvQ vD1D2E1S 0ex ， E2ex0S2)QQS 0C1E1( da)d aUC2QQSU 2E2aaCC1C2S0C1C20a(d a)W1 Q21 0 a ( d a) Q22 C2S 0QQa00doxQQavv

9、E1E10v0E2dox1020. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为E a 10 4 e j 20 zaj (20 z)y10 4 e2 ( v / m)x求（1）平面波的传播方向；（2）频率；（3）波的极化方式；（4）磁场强度；（5）电磁波的平均坡印廷矢量 Sav 。解：（1）平面波的传播方向为方向（2）频率为 f k0c3 109 Hz2（3）波的极化方式因为 ExmEym10 4 ,xy0，22故为左旋圆极化（4）磁场强度v0vv1v v4v v4)ej 20 zHazE(azax10ja zay 10001v4v4)ej 20z(ay10jax100（5）平均功率坡印廷矢量

10、v1v v *1v4v4)ej 20 zSavReEHRe(ax10ja y 10221v4v4j 20z( ay10jax10)e01(10 4 )2(10 4 )2v2az0011210 8 avz2120v0.26510102az (W / m )21. 利用直角坐标，证明( fA) fA A f证明：v(vvv左边= ( fA)fAxexfAyeyfAzez)vvv( fAx )ex( fAy )ey( fAz )ezxyz11vvvvf( Ax )exAx( f )exf(Ay )eyAy( f )eyxxyyvvf(Az )ezAz( f )ezzzvvvv f( Ax )exf(

11、 Ay )eyf( Az )ez Ax( f )exxyzxvvAy( f )eyAy( f ) ey yvyfvfAA=右边22.vvv2v2z沿 xy平面上的一个边长为 2 的正方形回路求矢量 Aex x ey xez y的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求vA 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解：2222?Agd l0x d xxd x22 d y 0d y 8C000又exeyezAyex 2yz ez 2xxzxx2y2 z所以22Agd S(ex 2yz ez 2 x)gez d x d y 8S00故有? Agd l8Agd SCS23. 同轴

12、线内外半径分别为 a 和 b ，填充的介质 0 ，具有漏电现象，同轴线外加电压U ，求（1）漏电介质内的；（2）漏电介质内的 E 、 J ；（3）单位长度上的漏电电导。解：（1）电位所满足的拉普拉斯方程为1 d ( d)0r drdr由边界条件 r a,U ; r b,0 所得解为Ub lnb(r ) rlna12（2）电场强度变量为v)v dUv，(E rer drr lnb era穿过线框的磁通量则漏电媒质的电流密度为vvUv()JE rr ln b era（3）单位长度的漏电流为 I 02 rU2U vr ln berln baa单位长度的漏电导为 G0I 02Ulnba24. 如图 所

13、示，长直导线中载有电流 iI m cost ，一矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。解：载流导线产生的磁场强度的大小为B0i2 rc avvB.dscca0i bdrc2r0 bI m cos tca2lncddt0bI msint ln ca线框中的2感应电动势c参考方向为顺时针方向。25. 空气中传播的均匀平面波电场为频率为 f 。求v(1) 磁场H；vvvvjkr，已知电磁波沿轴传播，Eex E0 e(2) 波长；13vv(3) 能流密度 S 和平均能流密度 Sav ；(4) 能量密度 W 。v1 vvjk r解：（1） Hezex E0ev vv0v

14、 vE0ejk rey0v1（2）ff0 0v vv0vvvvvvjkrjkr（3）S E Hex E0 eey E0e0v02v2 jk rvezE0 e0v022ftkz)ezE0cos (20v1vv *)v 102SavRe(EHezE0220（4）W10E 210H 22226. 平行板电容器的长、宽分别为 a 和 b ，极板间距离为 d 。电容器的一半厚度( 0 : d / 2 ) 用介电常数为的电介质填充，（1）板上外加电压 U 0 ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；（2）若已知板上的自由电荷总量为 Q ，求此时极板间电压和束缚电荷；（3）求电容器的电容量。解：（1）设介质中的

15、电场为 EezE ，空气中的电场为 E0ezE0 。由 DD 0 ，有E0 E0又由于E dE0dU 022由以上两式解得E20U 0(0 ) d14E02 U 0(0 )d故下极板的自由电荷面密度为20 U 0下E0 ) d(上极板的自由电荷面密度为上0 E020U0(0 )d电介质中的极化强度P (0 ) Eez2 0 (0)U0(0 )d故下表面上的束缚电荷面密度为20 (0)U0p下ez gP(0 )d上表面上的束缚电荷面密度为20 (0)U0p上ezgP(0 )d（2）由Q 2 0 Uab (0 )d得到(0 )dQUab2 0故(0 )Qp下ab（3）电容器的电容为Q2 0 abC

16、U (0 )d26. 频率为100MHz 的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（z ）方向传播，介质的特性参数为 r4 、r1，0 。设电场沿vv0 ， z1x 方向，即 EexEx ；当 tm 时，电场等于其振幅值810 4 V / m。试求15vv（1） H ( z, t ) 和 E( z, t) ；（2） 波的传播速度；（3） 平均波印廷矢量。解：以余弦形式写出电场强度表示式vvE(z,t )ex Ex (z,t )vkzxE )ex Em cos( t把数据代入 Em10 4V / mk2f 440 0rad / m341radxEkz836则（2）波的传播速度v113 108

17、1.5 108 m / s002（3）平均坡印廷矢量为 Sav1vv*2Re EH1v4j ( 4 z)v 104j ( 4 z)Save36e36 Reex 10ey2601v (10 4 )22Reez60v10 82ez 120W / m27.在由 r 5 、 z0 和 z4围成的圆柱形区域，对矢量 Aer r 2ez 2z 验证散度定理。解： 在圆柱坐标系中gA1(rr 2 )(2 z)3r 2vE(z,t )vH ( z, t )v 1 ey 60v4cos(284z)V / mex1010 t3v6vv Exv110484)ey H yeyeycos(2 10 tz3610 4 c

18、os(2108 t4 z6) A / m3rrz所以425gA dd zd(3r2)r d r120000016又g2g蜒(er rez 2z) (er d Sre d S ez d Sz)A dSSS4 25 2525dd z24r d r d12000000故有gA d 1200?Agd SS28.求（1）矢量 A exx2 ey x2 y2 ez 24 x2 y2 z3 的散度；（2）求 gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 ：（1）gA(x2 )( x2 y2 )(24 x2 y2 z3)2x 2x2 y 72 x2 y2 z2

19、xyz（2）gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 21gA d(2 x 2x2 y 72x2 y2z2 )d xd y dz1 21 21 224（3） A 对此立方体表面的积分1 21 211 21 21 2g2(?A d S( ) d y dz) d y dzS1 21 221 21 221 21 22x2 ( 1) 2 d x dz1 21 22x2 ( 1)2 d x dz1 21 221 21 221 21 21 )3 d x dy1 21 21)3 d x dy24 x2 y2 (24 x2 y2 (1 21 221 21 22124故有1gA d24?Agd

20、SS29. 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求 gr 对球体积的积分。解 ：172r gdSr ger dSdaa 2 sin d4 a3蜒SS00又在球坐标系中gr1r(r 2 r ) 3r 2所以2agrd3r 2 sin dr d d4 a300 030.求矢量 Aex xey x2ez y2 z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解：2222?Agd lxd xx d x22 d y 0d y 8C0000又exeyezAyex 2yz

21、ez 2xxzxx2y2 z所以22Agd S(ex 2yz ez 2 x)gez d x d y 8S00故有? Agd l8Agd SCS31.证明（1）gR 3 ；（ 2 ）R 0 ；（ 3 ） ( AgR) A 。其中Rexx ey yez z ， A 为一常矢量。解 ：（1）xyzgRy3xzexeyez（2）R0xyzxyy18（3）设Aex Axey Ayez Az则AgRAx xAy yAz z故( AgR)ex x (Ax x Ay y Azz) ey y ( Axx Ay y Azz)exeyez 2EE1E2232033. 两平行无限长直线电流 I1 和 I 2 ，相距为

22、 d ，求每根导线单位长度受到的安培力 Fm 。解： 无限长直线电流 I1 产生的磁场为ez( AxxAy yAz z)B1e0 I 1zex Ax ey AyezAz A32. 两点电荷 q18C 位于 z 轴上 z4 处， q24C 位于 y 轴上 y4 处，求 (4,0,0) 处的电场强度。解： 电荷 q1 在 (4,0,0) 处产生的电场为q1r r12 ex 4 ez 4E10 rr13340(42)电荷 q2 在 (4,0,0)处产生的电场为q2r r21 ex 4 ey 4E 2r r23(4 2)34 00故 (4,0,0)处的电场为2 r直线电流 I 2 每单位长度受到的安培

23、力为10I1I2Fm12I 2 ez B1 d ze1202 d式中 e12 是由电流 I1 指向电流 I 2 的单位矢量。同理可得，直线电流 I1 每单位长度受到的安培力为0I1I2Fm21Fm12 e122 d34. 一个半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，当球体以均匀角速度 绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度 B 。19解：球面上的电荷面密度为Q4 a2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 rer a 点处的电流面密度为J Sv rezer aea sineQ sin4a将球面划分为无数个宽度为 dla d 的细圆环，则球面上任一个宽度为d l a d 细圆环的电流为d

24、 IJ S d lQ sin d4细圆环的半径为 ba sin ，圆环平面到球心的距离 d a cos，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为0b2 d I0 Qa 2 sin 3 dd Bez 2(b2d 2 )3 2ez 8 (a2 sin2a2 cos2 )3 20Q sin3dez8 a故整个球面电流在球心处产生的磁场为Bez 00 Q sin3dez0Q8 a6a35. 半径为 a 的球体中充满密度 (r ) 的体电荷，已知电位移分布为r 3Ar 2(ra)D ra5Aa 4(ra)r 2其中 A 为常数，试求电荷密度(r ) 。解 由gD，有( r )g

25、D1 d (r 2 D r )r 2 d r故在 ra 区域( r )1d r2( r3Ar2)0 (5r24Ar )0 r 2d r在 ra 区域( r )01 d r 2 (a5Aa 4 ) 0r 2 d rr 22036. 一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为E er (r a)4 ，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解 ：（1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为 12d (r 2 E) 12d(r 2 r4r30 gE004) 604

26、rdrrdraa（2）球体内的总电量 Q 为ar 322Qd6 00aa4 4 r dr 40球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为2Q22 04 a37. 中心位于原点，边长为 L 的电介质立方体的极化强度矢量为PP0 ( ex xey yez z) 。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。解 ：（1）PgP3P0LLP (x2 )ngP x L 2 ex gP x L 22 P0P (xL ) ngP x L 2ex gPx L 2L P022同理P ( yL )P ( yL )P ( zL )P ( zL )L P022222（2） qPP d? P d S 3P0 L36L2L P00S238. 一半径为 R0 的介质球，介电常数