二次函数恒成立问题

1、1 1 1 1 二次函数恒成立问题 2016 年 8 月东莞莞美学校 、恒成立问题的基本类型: 类型 1 ：设 f (x) = ax2 bx c(a = 0)， (1) f (x) . 0 在 R上恒成立=a - 0且 : 0 ； (2) f (x) : 0 在 x 三 R 上恒成立：二 a : 0 且二；： 0。 类型 2:设 f (x)二 ax2 bx c(a = 0) 类型 3: 类型 4: 二、恒成立问题常见的解题策略: 策略一：利用二次函数的判别式 (1) f (x) 0 在 R上恒成立 例 1若不等式(m -1)X2 ( -1)x 2 0的解集是 R,求 m 的范围。 解析：要想应

2、用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m-1 是否是 0o (1)当 m-1=0 时，不等式化为 20 恒成立，满足题意；(2) f(x) 0 在 R上恒成立 =a : 0且二:0 (1) 当a 0时，f (x) . 0 在 X，：上恒成立 2a b 0 f (x) : 0 在 x :,:上恒成立 二 呛或P- (G)A0 往兰0 勺 L : 2a 或 2a 或 2a 川) 0 (2) m1式0时，只需 2 ，所以，m1,9)。 A =(m1)2 8(m1) c0 策略二：利用函数的最值(或值域) (1) f(x)亠m对任意 x都成立:二f(X)min亠m ； (2

3、) f(x)空m对任意 X 都成立=m _ f (X)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。 由此看本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 2已知 f(x)f(x)= =x x2 ax 3ax 3a a，若 x _2,2, f (x) _2 恒成立，求 a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题 ,只要对x 22,f(x)_2 恒成立-x -2,2, f(x)min _2 2 - f(X)min =f (一 2) =73a _2 1 1 1 1 0 (-0X0 解得-3兰m兰-2。综上可得实数 m的取值范围为_3,1)。 一旦1 .2 策略四

4、：分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最 值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1) f (x) ： g(a)(a 为参数)恒成立二 g(a) f(x)max 2) f (x) g(a)(a 为参数)恒成立=g(a) ： f (x)max 例 4函数 2 小 x + 2x + a f (x) , x 1, ：),若对任意x 1, ：) , f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围。 解：若对任意 x1J， f(x) 0恒成立, r a 2 兰2 2 2 或0 右侧三种情况，即 或* _a

5、 0 a 2 2 一 ，即 a 的取值范围为-7 , 2. f(-2) _0 lf(2)0 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题 ，可以对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了 . 变式：设f (x)二x22mx 2，当x T, ：)时，f (x) _ m恒成立，求实数 m的取值范围。 解：设 F(x) =x2 -2mx 2 -m，则当 x -1, ：)时，F (x) _ 0恒成立 当厶=4(m -1)(m 2) ： 0即- 2 ： m ： 1 时，F(x) 0 显然成立; F(x) 1 1 1 1 x 亠2x亠a 即对x1, ：)， f(x) = - 0恒

6、成立， x 考虑到不等式的分母 x1：)，只需x2 2x a 0在x1, ：)时恒成立而得 2 . - 2 . - x 2x a 0在1：)时恒成立，只要 a亏x2x在1,=)时恒成立。而易求得二次 函数h(x) = -X -2x在1, ：)上的最大值为-3，所以a -3。 变式：已知函数 f (x)二ax、；4xx2, x (0,4时f (x) : 0恒成立，求实数 a的取值范围。 解：将问题转化为a ： Mxx对(0,4恒成立。 x 4x-x2 令 g(x) ，则 a : g(x)min x .4x - x 4 由g(x) 1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)min = g(4)

7、 =0 x V x a ：0即a的取值范围为(-：,0)。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 策略五：确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 x看成是主元(未知数)，而把另一个变量 a看 成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变 量看作参数，则可简化解题过程。 例 5若不等式2x -1 . m(x2 -1)对满足-2岂m空2的所有m都成立，求 x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为： m(x2 _ 1) _ (2x _1) ： ： ： 0 ,； 2 f (_2

8、) c 0 令f (m) = m(x 一1) _(2x 1)，则一2兰m兰2时，f (m) c 0恒成立，所以只需丿 即 屮2)兰0 2(x 1) (2x 1) 0解之得xv 1或 x 3。 f 1) 0 故x的取值范围为(-：,1) (3,：)。 策略六：消元转化 例 6已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且 f(1)=1,若 m,n m,n - - - -1,1, m n=01,1, m n=0时 一型 0 0，若 f(x)f(x)空t t2 2- -2at 2at - -1 1 对于所有的 x-1,1, a -1,1恒成立，求实数 m m + +n n t 的取值范围. 解析 本题

9、不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明 f(x) 是定义在-1,1上的增函数，故 f(x)在-1,1上的最大值为 f(1)=1,则f f(X)(X)空t t2 - -2at 2at 1 1对于所有的 x -1,1,a -1,1恒成立二1 1 t0 2、 m = 0 时， 2 ，- 0 ： m 乞1 0=36m 4(m+8) = 32m(m1)兰0 由1，2可知，0乞m乞1 4 4 N 3.3. 已知向量a =(x , x 1),b = (1-x,t),若函数f x = a b在区间 -1,1上是增函数，求 t t 的取值范围 解：依定义 f(x)二 x2(1

10、-x) t(x 1) - -x3 x2 tx t, 则f (x) - -3x2 2x t. f x在区间：1,1上是增函数等价于 f xi 0在区间：-1,1上恒成立 而X 0在区间-1,1上恒成立又等价于t3x2 - 2x在区间-1,1上恒成立； 上能成立：二 fmin X 一 -3,即 gn X 二 4a a2 4 -3,解得 a _ -6或 a _2. . 1 1 1 1 设 g X =3x2 -2x, I.-1,1 进而 t g X 在区间：-1,1 上恒成立等价于 t - gmax X ,X：一1,1 2 F ( 1、 考虑到g(x)=3x -2x, (-1,1 在一 1,一 上是减

11、函数，在 3丿1 ,1上是增函数，则gmax xi=g - 5 . .于 1 1 1 1 是, ,t t 的取值范围是t_5. . 4.4.已知函数f x = x 3ax -1, g x = f x -ax -5 ,其中f x是f x的导函数. .对满足_1岂a岂1的 一切a的值，都有g x : 0，求实数x的取值范围； 2 解法 1.1.由题意g x i；=3x -ax 3a-5，这一问表面上是一个给岀参数 a的范围，解不等式g x : 0的问题， 实际上，把以x为变量的函数 g x，改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 2 令a v- -x a 3x -5， 一1 a 乞

12、 1 ，则对 一1 辽 a 岂 1，恒有 g x : 0，即 a : 0，从而转 化为对-1a叮， a ：0恒成立，又由:a是a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域 的端点得到. .为此 I 申 f1cO 3x2_x_2f0 2 f 2 只需 即 解得-：x 1.故x：-i 2 1时，对满足-1空a乞1的一切a (-1 )cO |3x2 +x-80. 3 I 3 丿 的值，都有g x ：0. 解法 2 2. .考虑不等式g x =3x2 -ax 3a - 5 ： 0. . 由-1aid知，-a2-36a 600, ,于是, ,不等式的解为 a -、a2 -36a 60 a . a2

13、 -36a 60 x . . 但是, ,这个结果是不正确的，因为没有考虑 a的条件, ,还应进一步完善 不等式化为 g(a )cxch(a 1 Wa 兰1 恒成立，即 g(a max vx1 或 k c-1 由，可知，k .1 一。 2 1 6.6. 已知函数f(x)二x ax 0对于一切x(0,成立，求 a a 的取值范围 2 2 7.7. 已知函数f(x) =x -4x丄m对于x(0,1恒成立，求 m m 的取值范围。 2 2 1 1 一 8.8. 若不等式9x -6ax a -2a-6_0在 x内恒成立，求 a a 的取值范围 3 3 _ 2 2 - 9.9. 已知函数y =lgx (a -1)x a 的定义域为 R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式 x2 (a-1)x a2 0对x R恒成立，即有厶=(a-1)2 -4a2 ： 0解得 1 1 a ： -1或a 。所以实数a的取值范围为(-：，-1) ( ：)。 3 3 10.10.已知函数f x；=lgix，a-2 ，若对任意2, 恒有f x 0，试确定a的取值范围。 x y 1 1 4 1 1 11.11.已知 X X，：,11时，不等式12 a-a2