2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案新人教B版选修2-1

1、第三章 空间向量与立体几何空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.第 1 层用已知向量表示未知向量例 1 如图所示，M N分别是四面体OABC勺边OA BC的中点，P, Q是MN的三等分点，用向量OA OB孑表示6P和OQ解0P=OM- IMP=-OAF -MN23112i i=rOA3(ON- OM23112i1i=-OAF：(ON- OA111111 = OAF ; OB OC633&= 5i-渝=2 伽3MN23=OAF1X2(0Bb OC=ZOB70C点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确

2、理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 始点指向末尾向量的终点的空间向量加减法运用的三个层次2向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几 何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.第 2 层化简向量例 2 如图，已知空间四边形ABCD连接AG BD设M G分别是BC CD的中点，化简下列 各表达式，并标出化简结果的向量.(1)AB BO CDT1T TAB2(BM BC;AG-2(AB+ AC.解AB+Sb=ACCJD=AD1(BC=AB+寸討=AB+論TG= AGT1T TAG-2(AB+ AC=AG- AM=TGX

3、DXG如图所示.点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.第 3 层证明立体几何问题例 3 如图，已知M N分别为四面体ABC的面BCD与面ACM重心，且G为AM上一点，且GM GA=1 : 3.求证：B、G N三点共线.3证明设XB= a,Xo= b,XD=c,则BG= BA+ AG=BA3AM41311=-a+ 4(a+b+c) =-4a+ 柑 4c,- - - - 1 - -BNhB/VANhB 阳3(AO

4、 AD)a+3b+3c=3BG. BN/ BG即卩B G N三点共线.易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例 1a b0”是a,b为钝角”的 _条件.（填充分不必要必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”）ab错解ab=0?a,b为钝角，所以a b|a|bI为钝角”的充要条件.错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.剖析 当a,b=n时，a b0,但此时夹角不为钝角，所以a b0”是a,b为钝角”的必要不充分条件.正解必要不充分总结ab0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同.易错点 2 忽略两向量的夹角的定义例 2如图所示，在 120的二面角aAB-B中，AC?a,BD?B,且

5、AABBDLAB垂足分别为A,B.已知AG= AB= BD=6，试求线段CD勺长.易错辨析4 42 空间向量易错点扫描4错解/Ad AB BDL AB/.CA* AB=0,BD* AB=0,二面角aAB-3的平面角为 120,.CA BD= 120. cD= CD=(CAXB+BD2=CA+AB+BD+2CA- AB+2CA-BD 2BD- AB=3X 62+2X 62Xcos 120=72, CD=6 迄.错因分析错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量CA BD的夹角与二面角aAB3的平面角互补，而不是相等.正解/ACL AB BDL ABCA- AB=0,BD- AB=0,二面角

6、aAB-3的平面角为 120 ,CABD = 180 120= 60.CD=CD=(CAVAB+BD2=CA+AB+BD+2CA- AB+2CA-Btv2BD- AB=3X 62+2X 62Xcos 60 =144, CD=12.易错点 3 判断是否共面出错例 3 已知O A、B C为空间不共面的四点，a=62 OBOC b=OAF OB- OC则与a、b不能构成空间的一个基底的是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB错解a=3AF(5BFSCb=OAFSB-6C相加得OAF6B=1(a+b),所以OA6BTE 与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故选 D.剖析OAOB=2(a+b)，说

7、明6Ab O与a、b共面，但不能认为OA都与a、b共面.对 A、B：设0A=xa+yb,因为a= AF OBF OC b=OAF OB- OC代入整理得(x+y 1)OAF (x+y)O衬(xy)OC=0,因为O A B、C四点不共面，5所以OAOB孑不共面，所以x+y 1 = 0,x+y= 0,xy= 0, 此时，x、y不存在，所以a、b与OA不共面, 故a、b与O可构成空间的一个基底.同理a、b与0业可构成空间的一个基底.对 C：因为a=0叶OBOC b=OAFOB- OC相减有0G=空（ab），所以0（与a、b共面，故不能构成空间的一个基底.正解 C易错点 4 混淆向量运算和实数运算例

8、4 阅读下列各式，其中正确的是（）A. ab=bc（b丰0）?a=cB. ab= 0?a= 0 或b= 0C.（ab） c=a（bc）D.OA-BO= |A|BOcos（180 ZAOB错解 A（或 B 或 C）剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错向量的数量积运算不满足 消去律、结合律 ，故 A、C 错误；若ab= 0?a= 0 或b= 0 或a丄b,故 B 错误；OA-EO勺夹角是 180ZAOB正解 D易错点 5 忽略建系的前提例 5 四边形ABC是边长为 2 的菱形，ZABC=60,AE丄平面ABCD AE= 2,F为CE中点， 试合理建立坐标系，求AF0所成角的余弦

9、值.错解 以A为坐标原点，以D AE的方向分别为X、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.正解 设AC BD交于点O,则ACL BD因为F为CE中点，所以OF/ AE因为AE!平面ABCD所以OFL平面ABCD OFLAC OFLBD此时AF=（1，1，1），BC=（0，2，0），所以 cosF,BC=6以0为坐标原点，以SC6D6F勺方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz此时AF= (1 , 0, 1) ,BC=(1 ,3, 0),所以 cos AF,記= 易错点 6 求空间角时，因

10、对所求角与向量夹角的关系不理解致误例 6 在正方体ABCAABCD中，求二面角ABDC的大小. 错解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1,由题意知DA是平面ABD的一个法向量，DA= (1 , 0, 1) ,DC是平面BCD的一个法向量，DG=(0 , 1, 1),DCDA_1 |DC|IDA|2所以DA,DC=60所以二面角ABDC的大小为 60剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置.正解以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则D(0 , 0, 0),A(1 , 0, 1) ,C(0 , 1, 1).由题意知DA= (1

11、 , 0, 1)是平面ABD的一个法向量，DC= (0 , 1, 1)是平面BCD的一个法向量.所以DA,DC=60.结合图形知二面角 A-BDC的大小为 120。方法策略q3 空间直角坐标系构建三策略所以 cosDA,DC所以 cosDA,DCDC-DA1|DC| -|DA|2则D(0 , 0, 0), A(1 ,7利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量 用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题 的探求所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望 同学们面对空间几何问题能做到有的放矢

12、，化解自如.1 禾U用共顶点的互相垂直的三条棱例 1 已知直四棱柱中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/DAB为直角，AB/ CD AB=4,AD=2,DC=1，试求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解 如图，以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系，所以BC= ( 2, 3, 2),CD=(0，1,0).所以 cosBC,eb=_BCCD=芈.|BC|2D17故异面直线BC与DC所成角的余弦值为 点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关

13、向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.2.利用线面垂直关系例 2 如图，在三棱柱AB( ABC中，ABL平面BBCC, E为棱CC的中点，已知AB=J2,nBB= 2,BC=1,ZBCCT.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.3解过B点作BP垂直BB交CQ于P点，因为ABL平面BBCQ,所以BP!平面ABBA1,以B为原点，分别以BP BB,BA所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.则D(0 , 0, 0),C(0 ,8ACMCE圏E图2因为AB=w.2 BB= 2,BG=1，/BCC -3,所以CP= 1,CP= 3,BF=，则各点坐标分别为B(0 , 0,

14、0) ,A(0 ,0,、/2),B(0, 2, 0),0),0) ,A(0, 2，曲q#，-；, 0),C呼,2,便.本题已知条件中的垂直关系“ABL平面BBCC”，可作为建系的突破口.3 .利用面面垂直关系例 3 如图 1,等腰梯形ABCDK AD/ BC AB= AD=2, /ABC=60,E是BC的中点.将厶ABE沿AE折起，使平面BAEL平面AEC如图 2),连接BC BD求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大解取AE中点M连接BM DM因为在等腰梯形ABCD中 ,AD/ BC AB= AD/ABC=60 ,E是BC的中点,所以ABE-与ADE都是等边三角形,所以BMLAE DML A

15、E又平面BAEL平面AEC所以BMLMD点评 空间直角坐标系的建立,要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系,既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0 ,也为后续的运算带来了方以M为原点，分别以ME MD MB所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Mxyz如图,则E(1 , 0 , 0),B(0, 0 ,3) ,C(2 ,3 , 0) , Q0,3 , 0),所以DC= (2 , 0 , 0) ,BD= (0 , 3 , .3),设平面BCD勺法向量为m= (x,y,z),I nr DC=2x=0,由取y= 1，得m= (0 , 1, 1),m-目D=3y、3z

16、= 0.又因平面ABE9十，Tm-MD彳 2所以 cosm MD=- = ,丨miMD所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为 45.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直 角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量， 求出两法向量夹角的余弦值， 即可得所求的两 平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其 大小.“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活本文介绍巧

17、解“动态”立体几何问题的法 宝一一向量法，教你如何以静制动.1.求解、证明问题例 1 在棱长为a的正方体OABOABG中，E、F分别是AB BC上的动点，且AE= BF,求 证：AF丄CE证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则Ai(a,0,a) , G(0 ,a,a).设AE= BF=x, E(a,x,0) ,F(ax,a,0).AF= ( x,a, a),C E= (a,xa, a).A1FC E= ( x,a, a) (a,xa, a)22_=ax+axa+a= 0 ,乔丄GE,即AF丄CE.2 定位问题方法技巧44 用向量法研究动态”立体几何问题10例 2 如图，已知四边形A

18、BCDCDGFADG均为正方形,且边长为 1,在DG上是否存在点M11使得直线MB与平面BEF的夹角为 45?若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.假设存在点M设平面BEF的法向量为n,设BM与平面BEF所成的角为0，禾U用sin0=1 BMn|求出点M的坐标，若满足条件则存在.|BM n|解因为四边形CDGFADG均为正方形，所以GDL DA GDL DC又DAODC= D,所以GDL平面ABCD又DAL DC所以DA DG DC两两互相垂直，如图，以D为原点建立空间直角坐标系,则B(1 ,1, 0),E(1 , 0,1) ,F(0, 1, 1).因为点M在DG,假设存在点M0 ,

19、0 ,t)(0wtw1)使得直线BM与平面BEF的夹角为 45设平面BEF的法向量为n=(x,y,z).因为BE=(0 , 1, 1),B=(1,0, 1),n-BE=0,y+z=0,则即令z= 1,得x=y= 1,1 nBF= 0 ,x+z=0,所以n= (1 , 1 , 1)为平面BEF的一个法向量.又E3M= ( 1, 1,t),直线BM与平面BEF所成的角为 45,所以 sin 45 =LB”|BM n| 2+t| 亚,t2+ 232,解得t= 43.2.又 0Wtw1,所以t= 3 ,2 4.故在DG存在点M(0, 0 , 3 2 4),且DM=3 .2 4 时，直线MBW平面BEF

20、所成的角为 45点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以 不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化,解题提示121 数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐 标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的 重要思想向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机 地结合在一起.例 1 如图，在四棱柱ABCDABGD中，AA丄底面ABCQZBAD=90,AD/ BC且AA=AB= AD=2BC=2,点E在棱AB上

21、，平面AiEC与棱CD相交于点F.(1)证明：AiF/平面BCE若E是棱AB的中点，求二面角AEC- D的余弦值；求三棱锥BAEF的体积的最大值.(1) 证明 因为ABCA1B1CD是棱柱，所以平面ABCD平面ABCD.又因为平面ABCD平面AECF= EC平面ABGDQ平面AECF= AF,所以AF/EC又因为AF?平面BCEEC?平面BCE所以AF/平面BCE(2) 解 因为AA丄底面ABCD/BAD=90 ,所以AA,AB AD两两垂直，以A为原点，以AB AD AA分别为x轴，y轴和z轴，建立如 图所示空间直角坐标系.则 A(0 , 0, 2),巳 1 , 0, 0),C(2 , 1,

22、 0),达到以静制动的效果数学思想4 45向量与立体几何中的数学思想a c13所以AE= (1 , 0, 2) ,AC= (2 , 1 , - 2).设平面AECF的法向量为m (x,y,z),由AEm=0,A1C- m=0,x 2z= 0, 得 2x+y- 2z= 0.令z= 1，得mr(2 , 2, 1).又因为平面DEC勺法向量为n= (0 , 0, 1),所以 cosm,n一 |m11n| -3,Imn|3由图可知，二面角AECD的平面角为锐角,1所以二面角AEC- D的余弦值为 3.解过点F作FMILAB于点M因为平面AABB丄平面ABCD,FM?平面A B CD,所以FMIL平面A

23、ABB,所以VB1A EF-VF BAE-3 S.ABEFM3因为当F与点D重合时，FM取到最大值 2(此时点E与点B重合)，4所以当F与点D重合时，三棱锥BA EF的体积的最大值为 3.32 .转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要.例 2 如图，在长方体ABCA B CD中，AA-AB=2AD=2,E为AB的中点，

24、F为DE上的一 点，DF- 2FE.2X2-x-322xFM-FM31415(1) 证明：平面DFCL平面DEC；(2) 求二面角 ADF-C的平面角的余弦值.分析求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两 个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝 角.(1)证明 以D为原点，分别以DA DC DD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空 间直角坐标系，则A(1 , 0, 0) ,B(1 , 2, 0) ,C(0 , 2, 0) ,D(0 , 0, 2)./E为AB的中点，-E(1,1,0),/DF= 2FE,T2T2

25、DF= 3DE= 3(1 , 1 , 2)TF=DD+ SF=(0,0,2)+(3,3, 3)设n= (x,y,z)是平面DFC勺法向量,取x= 1 得平面DFC的一个法向量n= (1 , 0 , 1).设p= (x,y,z)是平面DEC的法向量，224.3x+3y3z=0，2y2Z=0 ,取y= 1 得平面DEC的一个法向量p= (1 , 1, 1),n p= (1 , 0, 1) (1 , 1, 1) = 0 ,3)，2=(3,则TF=0，nT(C=2 2 23x+3y+ 3Z=0，2y= 0.pDF= 0 ,则pDC= 0 ,Gc.2216平面DFC平面DEC解 设q= (x,y,z)是平面ADF勺法向量，fT22qDF= 0,3X+ 3+ 3z=，则$333qDA=,x= 0,取y= 1 得平面ADF的一个法向量q= (0 , 1,- 1),兀nqB，n)，则 cosB=