二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)88203

1、函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与 X 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； 根据图象的位置判断二次函数 ax2+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函数 中 a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式， 二次三项式ax2+bx+c（ 0）本身就 是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式 和一元二次方程之间的内在

2、联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形 的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直 角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、抛物线上动点 2 5、（湖北十堰市） 如图， 已知抛物线y二ax bx 3 （0）与x轴交于点 A（1，0）和 点 B （ 3，0），与 y 轴交于点 C. （1） 求抛物线的解析

3、式； （2） 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点 卩，使厶 CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时 E 点的坐标. 注意：第（2 ）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为 顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点

4、 P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ；方 法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。 07 08 09 动点个数 两个 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边 上移动 抛物线中特殊直角梯形底 边上移动 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函 数关系式 探究等腰三角形 考 占 八、 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四边形面积的表 示 动三角形面积函 数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存

5、在性 特 占 八、 菱形是含 60 的特殊菱形； AOB 是底角为 30。的等腰三 角形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时，按对应角 不同分类讨论；先画图，再探究。 通过相似三角形过度，转化相 似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式 求出a、t 的值。 观察图形构造特 征适当割补表示面 积 动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性 直角梯形是特殊的（一底 角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个交 点 D、E 是定点；动线段 PF 长度是定值，PF-OA） 通过相似三角形过度，转 化相似比得出方程。 探究等腰三角形时， 先画 图，再探究（按

6、边相等分类 讨论） 共同点： 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） 求直线、抛物线解析式； 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题（动点） 1如图，已知抛物线 Ci与坐标轴的交点依次是 A（-4,0），B（-2,0），E（0,8）. (1 )求抛物线Ci关于原点对称的抛物线 C2的解析式; (2) 设抛物线Ci的顶点为M，抛物线C2与X轴分别交 于C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形 MDNA的面积为S 若点A，点D同时以每秒 1 个单位 的速度沿水平方向分别向右、 向左运动；与此同

7、时，点M , 点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向 上运动，直到点 A与点D重合为止求出四边形 MDNA 的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取 值范围； (3) 当t为何值时，四边形 MDNA的面积S有最大值， 并求出此最大值； (4) 在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能， 求出此时t的值；若不能，请说明理由. 解(1) 点 A(V,O)，点 B(-2,0)，点 E(0,8)关于原点 的对称点分别为 D(4,0), C(2,0), F(0, 8) 设抛物线C2的解析式是 2 y = ax bx c(a = 0), 16a 4b c =0, 则4a

8、 +2b +c = 0, c = -8. (2 )由(1)可计算得点 M(-3,-1), N (31). 过点N作NH _ AD，垂足为H 当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t, NH = 1 2t . 根据中心对称的性质 OA=OD, OM -ON，所以四边形 所以 S = 2SAADN 所以，四边形 MDNA 的面积 S =(8-2t)(1 2t)二-4t2 14t 8 因为运动至点 A与点D重合为止，据题意可知 0 t 4 所以，所求关系式是 -4t2 14t 8 , t的取值范围是0 t - 4 解得b =6, c - -8. 所以所求抛物线的解析式是 y - -x2 6x _8

9、. MDNA是平行四边形. 7 3 81 (3) S = -4 t , ( 0 t ：4). I 4丿4 7 81 所以t =时，S有最大值一- 4 4 提示：也可用顶点坐标公式来求. (4) 在运动过程中四边形 MDNA能形成矩形. 由(2)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是 AD, MN，所以当AD二MN时四边形 MDNA是矩形. 所以 OD =ON .所以 OD2 =0N2 =0H2 NH 2. 所以 t2 4t2 -2 =0 .解之得 t, =、-2, t2 二- 6-2 (舍). 所以在运动过程中四边形 MDNA可以形成矩形，此时t = J6 - 2 . 点评本题以二次函数为背景

10、，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压 轴题，能力要求较高。 3 2 2. (06 福建龙岩卷)如图，已知抛物线 y x2 bx c与坐标轴交于 A, B, C三点， 4 3 点A的横坐标为-1 ,过点C(0,3)的直线y x 3与x轴交于点Q，点P是线段BC上 4t 的一个动点，PH _ OB于点H .若PB = 5t，且0 ： t ： 1 . (1)确定 b, c 的值：b= _ , c = _ ； (2) 写出点B, Q, P的坐标(其中Q, P用含t的式子表示) B(一 ,一), Q(一 ,一), P(一,一)； (3) 依点P的变化， 是否存在t的值， 使厶PQB为等

11、腰三角形？若存在， 求出所有t的值; 若不存在，说明理由. 9 解(1) b = 4 (2) B(4,0) (3)存在t的值，有以下三种情况 当PQ二PB时 :PH _OB，贝U GH =HB 当PB二QB时 得 4 4t =5t 当PQ =QB时，如图 解法一：过Q作QD _ BP，又PQ =QB BP 5 贝y BD 二竺 2 2 又 BDQ BOC 解法二：作RtA OBC斜边中线OE 则 OE =BE, BE 二5 , 2 2 32 t ， t = 0 (舍去) 57 又：0 t : 1 1 4 32 .当t二丄或4或32时， 3 9 57 解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何

12、，有时可以独立思考，有 时需要综合运用。 代数讨论：计算出 PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析 Rt PHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度，而 PB、BQ 长度都可以直 接直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。 点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识， 1、2 小题不难，第 3 小题 1 1 2 3如图 1，已知直线y x与抛物线y x 6交于A B两点. 4 (1 )求A B两点的坐标； )求线段AB的垂直平分线的解析式； (3)如图 2,取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 A B两处用铅笔拉着这 根橡皮筋使笔尖 P在直线AB上方的抛物线上移动，动点 P将

13、与A, B构成无数个三角形， 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在， 求出最大面积，并指出此时P点 此时 OEB PQB 解法三：在Rt PHQ中有QH 2 是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论, 需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检 验，在本题中若求出的 t值与题目中的0 ”： t 1矛盾，应舍去 的坐标；如果不存在，请简要说明理由. (1)解：依题意得 图 1 图 2 （2）作AB的垂直平分线交 x轴，y轴于C, D两点，交AB于M （如图 1） 由(1)可知：0A = 35 0B = 2 5 过B作BE 丄 x轴，E为垂足 由厶 BEOsAOCM，得：OC =OM,

14、OC OB OE 同理：OD =5, C 5,0 2 14 设CD的解析式为y二kx b（k = 0） .AB的垂直平分线的解析式为： y = 2x -5 2 第 26 题 （3）若存在点P使厶 APB的面积最大，则点 P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交 1 点的直线y x m上，并设该直线与 x轴，y轴交于G, H两点（如图 2）. 2 T抛物线与直线只有一个交点， 2 1 一4 (m6)=0 , 4 1 25 在直线GH: y x 中， 2 4 设0到GH的距离为d , P到AB的距离等于O到GH的距离d 另解：过 P 做 PC/ y 轴，PC 交 AB 于 C,当 PC 最大时 PB

15、A 在 AB 边上 与 PC 夹角固定），则SA PBA最大T问题转化为求 PC 最大值，设 P 2- （X, ：）,从而可以表示 PC 长度，进行极值求取。 H 14 最后，以 PC 为底边，分别计算 SPBC和 SPAC即可。 图 2 点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第 题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。 4如图，正方形 ABCD的顶点A, B的坐标分别为 0,10 ,84，顶点C, D在第一象 限点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 Q从点E 4,0出发，沿 x轴正方向以相同速度运动.当点 P到达点C时，

16、P, Q两点同时停止运动，设运动的时 间为t 秒. （1 ）求正方形 ABCD的边长. （2） 当点P在AB边上运动时， OPQ的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数 图象为抛物线的一部分（如图所示） ，求P, Q两点的运动速度. （3） 求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积 S取最大值时点 P 的坐标. （4） 若点P, Q保持（2）中的速度不变，则点 P沿着AB边运动时，Z OPQ的大小随着 时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，Z OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时，使 Z OPQ =90；的点P有 _ 个. (3)方法一：

17、作 PG _ y 轴于 G，贝U PG / BF . GA AP 刚 GA t ，即 FA AB 6 10 GA = t . 5 .OG =10 - t. 5 ?OQ =4 t , 1 1 S OQ OG t 4 10 t . 2 2 I 5 丿 即 S t2 19t 20 . 10 519 19 .当t二19时, 3 此时 GP =4t 二76, OG =10 -t 5 15 5 5 1 63 方法一： 当 t - 5 时，0G =7, 0Q = 9, S = OG)_OQ . 2 2 设所求函数关系式为 S =at2 bt 20 . b 2a 5 I 10丿 19 3 S有最大值. .点P

18、的坐标为 76 31 15 5 . (8 分) 抛物线过点 10,28 , 563 , 气2丿 S2 10 19 b 2a 19 19 19，且 0 19 B C的方向匀速运动，同 时点Q从点D(0,2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动， 当点P到达点C时，两点同时停 3 止运动，设运动的时间为 t秒. （1） 求.BAO的度数. （2） 当点P在AB上运动时， OPQ的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图 象为抛物线的一部分，（如图），求点P的运动速度. （3） 求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积 S取最大值时点 P的坐标. （4） 如果点P, Q保持（2）中的速度不

19、变，那么点 P沿AB边运动时，.OPQ的大小随 着时间t的增大而增大；沿着 BC边运动时，.OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点 解：(1) Z BAO =60：. (2 )点P的运动速度为 2 个单位/秒. (3) P(10-t, 3t) ( 0 t 5) 此时P写- （4）当点P沿这两边运动时， Z OPQ =90的点P有 2 个. 当点P与点A重合时，Z OPQ : 90 , 当点P运动到与点B重合时，OQ的长是 12 单位长度， 作Z OPM =90交y轴于点 M，作PH _ y轴于点H , 由厶 OPH OPM 得：OM -11.5 ,P沿这两边运动时，使 OPQ =90；的点P

20、有几个？请说明理由. 当t二9时, 2 S有最大值为 121 x 所以 OQ OM，从而/ OPQ . 90 . 所以当点P在AB边上运动时，/ OPQ =90；的点P有 1 个. 而构成直角时交y轴于0,辽3 , 353=20.2 17.8 , I 3丿3 所以Z OCQ :：: 90，从而Z OPQ二90的点P也有 1 个. 4 6.(本题满分 14 分)如图 12，直线y x 4与 x轴交于点A，与y轴交于点C，已 3 知二次函数的图象经过点 A、C和点B -1,0 . (1) 求该二次函数的关系式； (2) 设该二次函数的图象的顶点为 M，求四边形AOCM的面积； 3 (3) 有两动点

21、D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线 OAC 2 按O T AT C的路线运动，点 E以每秒4个单位长度的速度沿折线 OCA按O T C宀 A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发 t 秒 时，QDE的面积为 S . 请问D、E两点在运动过程中，是否存在 DE / OC，若存在，请求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由； 请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； 设S。是中函数 S 的最大值，那么 S。= 解：(1 )令 x =0，贝U y = 4 ； 令 y = 0 则 x = 3 A 3,0 . C 0,

22、4 二次函数的图象过点 C 0,4 , 可设二次函数的关系式为 又该函数图象过点 A 3,0 B -1,0 同理当点P在BC边上运动时，可算得 OQ =12 =17.8 . 3 所以当点P沿这两边运动时, Z OPQ =90；的点 P 有 2 个. 0=9a+3b+4, 0 -b 4. 4 8 解之，得 a-一 , b=. 3 311 iii)当 2 t 2，不满足 1 t : 2 . 3 不存在DE / OC . 根据题意得 D , E 两点相遇的时间为 现分情况讨论如下: 1 3 i) 当 0 t 1 时，S 二tL4t =3t2 ； 2 2 ii) 当1 :： t 2时，设点 E 的坐标

23、为 x2,y2 设点 D 的坐标为 x4 , y4设点 E 的坐标为x , y1 x丄 4t 一4 12t -12 5 / DE / OC , 24 1 (秒) y 5 _(4t _4 ) 4 一 5 y2 36 -16t 5 36 -16t 5 -27 顶点M的坐标为ii， I 3 丿 -3 y4 6t -12 5 -SA AOD 33 72 = t 5 5 S空 80 7关于x的二次函数y 2 2 -x - (k -4)x 2k -2以y轴为对称轴，且与 y轴的交点在 上方. (1)求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图; (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点， 过点A

24、作AB垂直于x轴于点B ,再过点A作 x轴的平行线交抛物线于点 D， 过点D作DC垂直于x轴于点C ,得到矩形ABCD 设矩 形ABCD的周长为I，点A的横坐标为x，试求I关于x的函数关系式； (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形 ABCD能否成为正方形若能，请求出 此时正方形的周长；若不能，请说明理由. 参考资料：抛物线 y = ax2 bx c(j 0)的顶点坐标是 b x = 2a 解：(1)据题意得：k2 -4 =0 , k = 一2. 当 k =2时，2k -2=2 0 . 当 k =2时，2k -2 二一6 ：0 . 又抛物线与y轴的交点在x轴上方，.k=2 . b 4ac

25、-b2 , , .2a 4a 丿 对称轴是直线 抛物线的解析式为： y = -x2 2 . 函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可) (2)解：令-x2 2 =0，得 x = 2 . 不 0vxcT2时，A1D1 =2x , AB=X2+2 , l =2(AQ ADJ - -2x2 4x 4 . 当 x 2 时，A2D2 =2x , 2 2 A B2 = -（ -x 2） = x -2 . .l = 2（A2D2 A2B2） = 2x2 4x-4. l关于x的函数关系是： 当 0 ：x ：、2 时，l - -2x2 4x 4 ； 当 x . 2时,丨二 2x2

26、 4x -4 . （3）解法一：当 0 ： x ：时，令 AB = A1D1 , 得 x2 2x-2 =0 . 解得 X = 1_.3 （舍）,或 X = 1 .3. 将 x = -1 、3 代入 l - -2x2 4x 4 , 得 l =8、.3 -8. 当 x 2时，令 A,B2 二 A2D2 , 得 x2 2x2 =0 . 解得x =1 - , 3 （舍），或x =1 .3. 将 x =1 、3 代入 I =2x2 4x -4，得 l =8、3 8 . 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x二-1时正方形的周长为 时，正方形的周长为 8、3 8 . 解法二：当0 ：x ： J2时，同“解

27、法一”可得 x = -1 J3 . -正方形的周长l =4AD| =8x=&、3-8 . 当x 、2时，同“解法一”可得 x =1 .3 . -正方形的周长l =4AD2 =8X=8-、3 8 . 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-、3-1时正方形的周长为8、3-8 ；当 3 1 时，正方形的周长为 8、. 3 8 . 解法三：点A在y轴右侧的抛物线上,8、3-8 ；当 xf；3 1 .x 0，且点A的坐标为(x, - x2 2). 令 AB =AD，贝V x2 +2 =2x . 2 2 .-x 2 =2x ,或-x 2 2x 由解得 x - -1 一 .3 （舍），或 x -

28、 一. 3 ； 由解得x = 1 一、3 （舍），或x =3 . 又 I = 8x , .当 x = -1 、,3 时 I =8.3 -8 ； 当 x =1 、3 时 I 8 . 综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x3 -1时正方形的周长为 时，正方形的周长为 8、3 8 . 8. 已知抛物线 y= ax2 + bx+ c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x轴的 正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB0),贝 U N ( R+1 , 代入抛物线的表达式，解得 (4) 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q, 易得 G

29、 ( 2, 3),直线 AG 为 y = x 1 . 2 2 设 P (X, X 2x -3),则 Q (X, X 1), pg -x + x + 2 . 1 2 S.APG - S.APQ S.GPQ 二 2(X x 2) 3 . 9 分 1 当x 时， APG 勺面积最大 2 此时 P 点的坐标为 一15 , S APG的最大值为27 . . 10 分 12 4丿曲 8 11. (本小题 12 分)解：(1)解方程 x2 10 x+ 16= 0 得 X1= 2, X2= 8 点 B 在 x轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OBv OC 点 B 的坐标为(2, 0),点 C 的坐标为(0, 8) 又抛物线 y= ax2 + bx+ c 的对称轴是直线 x= 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为(一 6, 0) A、B、C 三点的坐标分别是 A ( 6, 0)、B (2, 0)、C (0, 8) (2)v点 C (0, 8)在抛物线 y= ax2 + bx+ c 的图象上 c= 8,将 A ( 6, 0)、B (2, 0)代入表达式 y= ax2 + bx+ 8，得 0 = 36a 6b + 8 0= 4a + 2b+ 8 2 o 8 所求抛物线的表达式为 y= 3X Qx+ 8 3 3 (3) v AB = 8, OC= 8 1 -SAABC = 2 8 X