全概率公式与贝叶斯公式课件

1、11.4、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式知识点:1、全概率公式2、贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式212001212,1, ,1,2, ;2,.nijnnEB BBEB Bi jnBBBB BB 定义设为试验 的样本空间为的一组事件 若则称为样本空间的一个划分1. 样本空间的划分样本空间的划分1B2B3BnB1nB全概率公式与贝叶斯公式32. 全概率公全概率公式式全概率公式全概率公式1211221,()0(1,2, ),( )(|) ()(|) ()(|) ()( ) (|)ninnniiEAEB BBP BinP AP A B P BP A B P BP A BP BP B

2、P A B定义 设为试验 的样本空间为 的事件为的一个划分 且则全概率公式与贝叶斯公式4jiAA由由()()ijABAB )()()()(21nBAPBAPBAPBP图示图示A1B2B3B1nBnB证明证明12.nABABAB化整为零化整为零各个击破各个击破12()nAAABBB 1122( )() (|)() (|)() (|)nnP AP B P A BP B P A BP B P A B全概率公式与贝叶斯公式5说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问

3、题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.A1B2B3B1nBnB全概率公式与贝叶斯公式6例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?全概率公式与贝叶斯公式7设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3 , 2 , 1, iiBi厂

4、厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji全概率公式与贝叶斯公式8由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P AB

5、P B P AB故故全概率公式与贝叶斯公式9课堂练习 旅游1,2,3班帅哥的比例分别为30%,25%,10%,今随机在某班抽取一学生,求他是帅哥的比例全概率公式与贝叶斯公式10称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料121,( )0,()0(1,2, ),(/) ()(|),1,2, .(|) ()niiiinjjjEAEB BBP AP BinP A B P BP BAinP A BP B定义设为试验 的样本空间为 的事件为的一个划分 且则全概率公式与贝叶斯公式11证明证明(| ) ()()( )iiiP A B P BP B AP A., 2 ,

6、1ni 证毕证毕1() (|)() (|)iinjjjP B P A BP B P A B全概率公式与贝叶斯公式12;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例

7、2 2全概率公式与贝叶斯公式13.,)2(别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只全概率公式与贝叶斯公式14解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且全概率公式与贝叶斯公式15.03. 0)(

8、,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 全概率公式与贝叶斯公式16,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第全概率公式与贝叶斯公式17上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数

9、据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率全概率公式与贝叶斯公式18,:,()0.95,()0.90.,0.004,( )0.004,().ACP A CP A CP CP C A根据以往的临床记录 某种诊断肝癌的试验具有如下的效果 若以表示事件 试验反应为阳性以表示事件 被诊断者患有癌症 则有现在对自然人群进行普查 设被试验的人患有癌症的概率为即试求例例3 3全概率公式与贝叶斯公式19解解,05. 0)(1)(,95. 0)(

10、 CAPCAPCAP因为因为( )0.004,( )0.996,P CP C全概率公式与贝叶斯公式20由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C0.0038.即平均即平均10000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有38人人患有癌症患有癌症.全概率公式与贝叶斯公式21课堂练习 1、男女色盲的比例分别为5%,0.25%,今从男女人数相等的人群中随机抽取一人，计算（1）求该人是色盲的概率（2）发现该人是色盲，求他是男性的概率全概率公式与贝叶斯公式221.条件概率条件概率

11、)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理全概率公式与贝叶斯公式23.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发

12、生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 .)()(. 2的区别的区别与积事件概率与积事件概率条件概率条件概率ABPABP全概率公式与贝叶斯公式24贝叶斯资料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England全概率公式与贝叶斯公式251 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机地无放回随机地抽取两次抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求

13、在两次抽取中至多抽到求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每次每次抽取一球抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二次第二次与第三次均是白球的概率与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次第一次与第二次均是白球的情况下均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?课堂习题全概率公式与贝叶斯公式26解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设AAA.1514546

14、252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有则有,212121AAAAAAA 全概率公式与贝叶斯公式27. 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第为为设事件设事件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因为因为全概率公式与贝叶斯公式28,522624)(21 AAP因为因为.215251)()()(21321213 AA

15、PAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP全概率公式与贝叶斯公式292 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率.解解设事件设事件A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”.故所求概率为故所求概率为.31 P掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1,全概率公式与贝叶斯公式303 设一仓库中有

16、设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率.全概率公式与贝叶斯公式31 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知由题设知.102)(,103)(,105)(321

17、BPBPBP解解全概率公式与贝叶斯公式32, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82. 0 全概率公式与贝叶斯公式33?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%4全概率公式与贝叶斯公式34解解.产品合格产品合格为事件为事件设设