五大策略优化解析几何运算.

1、五大策略优化解析几何运算解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点和难点，也是历年高考的热点 在实际解题中，解析几何问题中的运算往往无处不在掌握运算方法，优化运算过程，提高运算速度，是解好解析几何问题的关键。策略 1回归定义运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来，可使问题解决 起来思路清晰、运算过程 简捷明快例 1 在椭圆 上=1 上求一点 P,使点 P 到右焦点的距离等于它到左焦点距离的2594 倍.分析 设 P ( %， y!),根据题设条件，点 P 满足方程组x 11=1丿259&区4)2十y：J%十4)2十yi2这是一个复杂

2、的运算.如何简化呢？根据椭圆的第二定义，可以得到焦半径公式，这 样求解起来就简单很多.c5解 由椭圆方程知 Fi( -4，0)，F：( 4, 0)，e=.设所求点 P( xi, yj,依题意a 444点 P 在 y 轴的左侧，贝 V xi0，焦半径 |PFi|=a+exi=5+Xi，|PF2|=a-exi=5-554( 5+纭)=5-纭xi，从而 y 一口5544点评凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题，往往与定义有关，求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径策略 2借助平几解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些 解析几何问题借助平面几何

3、知识简化运算，起到事半功倍的效果例 2 已知圆 C: (x-3)2+ (y-4)2=4，直线 li过点 A (i, 0),且与圆相交于 P, Q 两点，线段 PQ的中点为 M，又 li与 I?: x+2y+2=0 的交点为 N.求证：AM- AN 为定值.分析 若设 l1方程为 y=k(x-1),代入圆方程 C,用 k 表示出弦 PQ 中点 M 的坐标，再求 出 li与 12的交点 N 的坐标，最后代入计算 AM- AN 的值.则显得比较繁冗，如果能充分考 虑题中条件的平面几何背景，注意到 AC 所在直线与 I2的垂直关系，利用相似三角形知识求 解，则显得非常简便.由题意有故所求点 P 的坐标

4、为y *图 1贝UAM- AN=AB AC=门十2I . (3_1)2十42= 2应=6.Ji + 22寸5 AM- AN 为定值.点评本题从条件中挖掘得出 ACL 12,是使命题顺利得证的关键一步策略 3设而不求解析几何中有些问题，若把所涉及的量全部计算出来再加以解决，有时反显得多余而低效.设而不求，尽显方法之绝妙，是优化运算、提高解题效率的重要策略2 2例 3 已知直线 1 交双曲线 =1 的右支于 M、N 两点，定点 B ( 0, 4).若54 BMN 的重心为双曲线的右焦点.求直线 1 的方程.解双曲线的右焦点F (3,0),设 M(X1, yj, N(x?, y?),则由 F BMN

5、 的重X1X2V1V24心得=3, -0.于是 X1+X2=9 , y1+y2= -4.,v 0证明由两点式得AC所在直线的方程y40X 1.即 2x-v-2=0.3-1又 12方程为 x+2y+2=0.二 AC 丄 12.如图 1,设垂足为 B,再由 M 为弦 PQ 中点知CM 丄PQ,故厶AMC sAM ACAB AN 33一得线段 MN 中点 P 的坐标为9?2.又 M2N在双曲线上,2X12y1 =142X22-y2.1.549 f 9、 故直线 I 的方程为 y+2= _一 x_ i, 即 18x+10y-6 仁 0.5.2丿点评上述解法中涉及 M、N 两个点坐标的 4 个参数，但本

6、题目标是求直线 I 的方程，故只需求出 MN 中点 P 的坐标和 I 的斜率.故设而不求，在解题中只让这些参数体现其桥梁和纽带作用.策略四合理引参处理解析几何问题，恰当地引入参变量，把许多相关或不相关的量统一在一个参数下， 往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用2 2例 4已知椭圆 y1，A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴94相交于 P(X0，0).试求 Xo的取值范围.分析 若用常规方法求解，涉及 A、B 两点和线段 AB 的中点 M 的坐标共 6 个参变量， 头绪繁多，需不断进行思维转换 .如引入参数，则不但可以减少变量个数，同时也能优化 问题的结构关系，从而

7、便于化简运算.解 设 A (3cosq, 2sinQ), B (3cos02, 2sing),由 |PA|2+|PB|2可得2 2 2 2(x0-3cosq)(2sinq)=(勺-3cosq) (2sinq),即 5 (cos2g-cos2q) =6x0(cosg-cosq)AB 的垂直平分线与 x 轴相交，故 AB 与 y 轴不平行，即 cosg工 cosg,点评凡涉及曲线上点的坐标问题，采用合理引参，这是解析几何中求取值范围或求最值时的重要策略，其优点是能使解题思路清晰，加之三角知识的合理运用， 使运算简捷流畅，对问题的顺利解决起到出奇制胜的效果策略五整体代换解析几何的许多问题，常需在解题

8、中把某个相关的式子看作整体，并将其代入另一式 子，这种整体代换的做法有利于看清问题的本质，找出内在规律，更有利于简化运算环节， 使问题轻松获解.例 5 已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为 1 的直线 I，使以 I 被圆 C 截得的 弦 AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线I 的方程；若不存在，说明理由.分析 常规解法是设所求直线 I 存在，方程为 y=x+b，将其与圆的方程联立，用 I 的斜 率 k 表示出xi,x2和 yi,y，然后代入XiX2+yiy2=0，求得 k 值，再检验所求得的 k 是否适 合题意，从而确定 I 存在与否？相对而言，运算量较大.如果设出

9、以 AB 为直径的圆的方程，kMN% 一 y2Xi_ x24(XiX2)4 95(yiy2)5(_4)所以有 cosq+cosq( -2 , 2).从而，x05(cosqcosq)6i?5 -结合已知圆的方程， 用整体代换表示出它们相交弦所在直线I 的方程，再根据条件求出相关的参数，则运算过程必然简捷得多0=2D = 3由、解得?或?E = 0,E = 5.故存在满足题意的直线I，其方程为 x-y+1=0 或 x-y-4=0.点评本题从两个圆的方程作差得 I 的方程框架，是解题的关键.在解析几何中,当涉及直线系、曲线系等问题时经常采用整体代换方程来寻求解题途径，这也是优化解析几何运算的有效策略.在解析几何中，审清题意，明确目标是解题的基础，而选择合理的运算方法，掌握恰当的运算策略，对问题的顺利获解至关重要.由题意