考研数学高数资料—极限的基本性质和计算

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2、极限的基本性质（1）唯一性：假设函数极限存在，则其极限值唯一；（2）有界性：假设函数极限存在，则存在，使得函数在的去心邻域内有界；（3）保号性：假设，则，使得当时，有；推论：假设，使得当时，有，并且存在，则.注：1）函数极限中的有界性只是得到了该函数在极限点“附近”，也即某去心邻域内有界，故又称为局部有界性.2）由于函数极限与函数在极限点处的取值是没有关系的，所以在函数极限的性质中，我们的条件或得到的结论一律都是在极限点的某去心邻域内成立的.三、极限的计算方法1、四则运算设，则有：，注：1）数列极限的四则运算法则与函数极限的四则运算法则完全类似2）四则运算只适用于有限次计算的情形，对无限次运算

3、不一定适用.3）无穷小的四则运算性质有限个无穷小量之和或乘积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.4）结合无穷小量和无穷大量的关系和性质，极限的四则运算法则可以有如下推广：【例1】：求下列各函数的极限（1）（2）（3）答案：（1）；（2）；（3）注：本题的结论可以作如下总结和推广：其中.【例2】：求下列各函数的极限（1）（2）答案：（1）；（2）2、等价无穷小替换【定理】设在时，则有.【注】：1）等价无穷小替换在极限计算过程中一般起辅助与简化的作用，它和洛必达法则连用可以简化计算.2）只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换.3）常见的等价无穷小：当时，【例3】

4、：计算下列极限（1）（20061）（2）（3）（4）（5）（20053）答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【例4】：计算下列极限（1）, （2）（20093）（3）,（4）, 答案：（1）；（2）；（3）；（4）【例5】：计算极限答案：3、洛必达法则（1）情况设满足 ）或 ）在的某去心邻域内可导且 ）存在或为. 则有（2）情况设满足 ）或 ）存在一个正数,当时有可导，且 ）存在或为. 则有注：1）洛必达法则本身是导数部分的知识点，正常的教学顺序是在讲完导数之后才会涉及，鉴于洛必达法则在计算极限时的重要作用，我们把它总结在极限部分.2）在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一

5、不可，否则很容易得到错误的结果.3）如果仍为或型的未定式，一般可以继续使用洛必达法则，直到能求出极限为止.4)使用洛必达法则之前一般需要先对极限式化简.【例6】：计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（20083）（6）（7）（8）（20081）答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【例7】：计算下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（20073）答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【例8】：计算下列极限（1）（2）（3）答案：（1）；（2）；（3）4、重要极限（1），（2）注：1）重要极限还有很多其它的表现形式，例如，.2）考试用得更多的是重要极限的

6、广义形式：，.【例9】：计算下列极限（1）（19951）（2）（20031）（3）（2009-1）（4）（2013-2）（5）答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【例14】：计算下列极限（1）（2）答案：（1）；（2）5、单侧极限【例11】：讨论函数在处的极限.答案：【例12】（20031）：答案：【例13】答案：6、夹逼定理数列形式：若存在正整数，使得当时，有成立，并且，则.函数形式：若存在正数，对于任意满足的都有，且,则.【例14】：计算极限.答案：【例15】：计算极限.答案：7、单调有界收敛原理定理：如果数列单调并且有界，则的极限存在.【例16】：设，试证数列的极限存在，并求此极限.答案：