2018版高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4

1、1221向量加法运算及其几何意义学习目标】1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运 算.3. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理 性.西问题导学-知识点一向量加法的定义及其运算法则分析下列实例：（1）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），北京广州这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是Fi= 3 000 N ,F2= 2 000 N，牵引绳之间的夹角为0= 60 （如图），如果只

2、用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果思考 1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？答案后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB勺对角线0C表示的力是OA与6战示的力的合力.体现了向量的加法运算.思考 2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？答案三角形法则和平行四边形法则.梳理（1）向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法（2）向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作AB= a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=XB+C= AC2z片-Ba这种求向量和的方

3、法，称为向量加法的 三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a+ 0 0+aa平行四边形法则以同一点0为起点的两个已知向量a,b为邻边作?OACB则以0为起点的对角线 &就是a与b的和.把这种作两个向量和 的方法叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义知识点二 向量加法的运算律思考 1 实数加法有哪些运算律？答案交换律和结合律思考 2 根据图中的平行四边形ABCD验证向量加法是否满足交换律 .（注：KB= a,Kb= b）答案 /AC=XB BC AC= a+b.AC= Ab+ DC - AC= b+a.a+b=b+a.思考 3 根据图中的四

4、边形ABCD验证向量加法是否满足结合律 .(注：AB= a,BC=b, &=c)3答案/XD=XC6b=(ABF Bq+CbAb=(a+b) +c, 又Ab= AB+ Bb= AB+(BC+CD),Ab= a+ (b+c) ( a+b) +c=a+ (b+c).梳理向量加法的运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b) +c=a+ (b+c)题型探究类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则例 1 如图（2），已知向量a，b,c,求作向量a+b和a+b+c.在平面内任意取一点0,作0A=a,AB= b, BC=c,则Oc= a+b+c.反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系解

5、（1）作法：在平面内任意取一点0,作OA= a,AB= b,则OB= a+b.(1)B h O4区别：（1）三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半跟踪训练 1 如图所示，0为正六边形ABCDE的中心，化简下列向量.(1)OAF0C=_;(2) BCrFE=_;(3)6AFE=_.山-U答案6B(2)AD(3) o类型二向量加法运算律的应用例 2 化简：(

6、1)討AB(2)陥 CDTE3QXB 6F+CDTBCFFA解BCFAB= AB+ BC= AC!?B SDBC=BCFSD1?B=(BCFCD+DB= BD DB= 0.AB DFFCDFBCFFA=AB+ BC+CDFDFF FA=心CDFDFFFA=ADFDF+FA=AF+FA= 0.反思与感悟(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.(2)向量求和的多边形法则：AAT+ A3+AA+ +A-1AT=AA.特別地，当A和A重合时，AA+AA+AA+ +A= o.跟踪训练 2 已知正方形ABCD勺边长等于 1，则|ABADFBCF DC =_答案 2

7、 2解析 |AB+ADFBCFDC=|AB+ BCFADFDC=|ACFAC= 21AC= 2.2.5类型三向量加法的实际应用6例 3 在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于 水流的航线到达对岸，求船行进的方向解 作出图形，如图所示船速V船与岸的方向成a角，由图可知V水+V船=V实际，结合已知 条件，四边形ABCD平行四边形, 在 RtACD中,|CD= |AB= |v水| = 10 m/min ,|ADD= |v船| = 20 m/min ,COSa船是沿与水流的方向成 120的角的方向行进.引申探究1. 若本例中条件不变，则经过 1

8、h，该船的实际航程是多少？解 由例 3 知v船=20 m/min ,v实际=20Xsin 60 = 10 3(m/min), 故该船 1 h 行驶的航程为 10 3x60=600 3(m) = 5(km).2. 若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.解 如图，作平行四边形ABDC则AD=v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为a，则 tana即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键. a= 60,从而船与水流方向成120的角.|BD=|AB20矿2.710

9、 N 的物体W吊在水平杆子AB上，/ACW150, /BCW/FCG=180 120= 60I CE =|CQCos 30=10X-2=5 .3(N),|CF=|CGcos 601=10X - =5(N).A处所受的力为 5 3 N ,B处所受的力为 5 N.当堂训练1.如图，在正六边形ABCDEFF,BA C叶EF等于（）A.0C.AD答案 D解析BA+CU EF=6E+CUEF=屁EF=SF2.如图，D,E,F分 别 是 ABC的 边AB BC CA的 中 点 ， 则 下 列 等 式 中 错 误 的 是（）=120,求A和B处所受力的大小解如图所示，设CE6盼别表示A B所受的力，10 N

10、 的重力用 &表示，则CECF= &G易得/ECG=180150= 30,跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重B.BED.CF.（绳子的重量忽略不计）B A8A.FD-AA-DE=oB.AD-BE-CF=oC.FEH DE AD=ABD.AD-EC- FD=BD答案 D解析FD+ DA DE FA+DEF0,AD-AE-CF=AD-AF-FA=o,FD)+DE AD= FE+AD= AD-DB= ABADMEC FD= AD-0= AD=DBBD故选 D.3.(AB AB- (BO-BC-AM等于(A.BCC.AC答案 CA.矩形B. 正方形C. 平行四边形D. 菱形 答案 C解析 /AC=AB

11、ADc即D(=AB四边形ABCD为平行四边形B.AB4.如图所示，在四边形ABCD中,AC= AB+ AD则四边形为(95.小船以 10 3 km/h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为 _km/h.答案 20解析 如图，设船在静水中的速度为 |vi| = 10 3 km/h，河水的流速为|V2| = 10 km/h，小船 的实际航行速度为V。，则由 |V1|2+|V2|2=|VO|2,得（103）2+ 1O2=|Vo|2,所以 |vo| = 20 km/h,即小船实际航行速度的大小为 20 km/h.厂规律与方法-1. 三角形法则和

12、平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量 首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则2. 向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意 的组合去进行.3. 使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成 0.课时作业、选择题1作用在同一物体上的两个力F1= 60 N ,F2= 60 N，当它们的夹角为120时，则这两个力的合力大小为（）答案 B答案C3.下列等式错误的是（A.30 N B.6

13、0 N C.90 ND.120 N2.如图，在平行四边形ABC中,o是对角线的交点，下列结论正确的是（A.AB=6D BC=ADB.ADOD=5AC.AO SD=心CDD.AB+BC+ 2D=DAC10A.a+ 0= 0+a=a B.AB+ BC+AC= 0C.AB+BA= 0D.CA+AC=MN+NP+ PM答案 B解析AB+BC+AC=AC+AC= 2AC 0,故B错.4. 已知四边形ABC为菱形，则下列等式中成立的是（）A.AB+BC=CAB.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC答案 C解析 对于 A,ABBC=ACCA对于 B,AB+ACM BC对于 C,AC+BA

14、=BAAC=BC,又AD=BC所以AC+BA=AD对于D,AC+AEMSC5. 已知a,b为非零向量，且 Ia+b| = |a| + |b|，则（）A.a/b,且a与b方向相同B.a,b是共线向量且方向相反C.a=bD.a,b无论什么关系均可答案 A6. 若在ABC中,AB= AC=1, |AB+ AC= 2,则厶ABC的形状是（）A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形答案 D解析 以AB AC为邻边作平行四边形ABDC：AB= AC=1,AD=車，二/ABD为直角，该四 边形为正方形，/BAC=90,ABC为等腰直角三角形，故选 D.二、填空题7. 如图，在平行四边形ABC

15、DK O是AC和BD的交点.11（1）ABAD=12XCCDDO=_ABAD-cD=_心BAF5A=_答案AC(2)AO(3)AD(4)08.根据图示填空，其中a=DC b=CO c=OB(1)a+b+c=b+d+c=答案DB(2)CA解析(1)a+b+c=DCCOOB= DB(2)b+d+c=COFBA+OB=CAA9.在平行四边形ABCD中,BC+DC+BADA=_答案 010. 在菱形ABCDh/DA= 60, |AB| = 1,则 |BC+CD =_.答案 1解析 在菱形ABCD，连接BD/DAB=60,.仏BAD为等边三角形，又/)AB=1,.|BD=1,|E3C+CD=|BD=1.

16、三、解答题11. 如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点求证：PA+PB+PC+PD= 4PO证明 /PAPB PC+ PD=PC+ OA- PC+血PC+ 0(+ PC+ OD13=4POb( OA6聊OCOD=4pOb(OAO(C+(0聊OD=4PO 0 + 0= 4P0陥PB+ PCPD=4P012.如图所示，试用几何法分别作出向量 陥BeCACB解 以BA BC为邻边作?ABCE根据平行四边形法则，可知0蹴是EHBC以CB CA为邻边作?ACBF根据平行四边形法则，可知CF就是CM CB13.在水流速度为 4 3 km/h 的河中，要使船以 12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船 的航行速度的大小和方向.解 如图，设AB表示水流的速度，则AC表示船的实际航行速度， 连接BC作AD綊BC则AJ为 所求船的航