李雅普诺夫函数

1、李雅普诺夫函数 李雅普诺夫函数 李雅普诺夫函数（lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大李雅普诺夫（aleksandr mikhailovich lyapunov）。李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。 若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为 李雅普诺夫候选函数（lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

2、针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。 目录 隐藏 · 1 李雅普诺夫候选函数的定义 · 2 系统平衡点的转换 · 3 自治系统的基本李雅普诺夫定理 o 3.1 稳定平衡点 o 3.2 局部渐近稳定平衡点 o 3.3 全域渐近稳定平衡点 · 4 参见 · 5 参考资料 · 6 外部链接 李雅

3、普诺夫候选函数的定义 编辑 令 · 为标量函数。 若要 为李雅普诺夫候选函数，函数 需为局部正定函数，亦即 · · 其中 是 的邻域。 系统平衡点的转换 编辑 令 · · 为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为 : · 可利用 的坐标转换，使得 · · 在新的系统 中，其平衡点为原点。 若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。 自治系统的基本李雅普诺夫定理 编辑 · 主条目：李雅普诺夫稳定性 令 · 为

4、以下自治系统的平衡点 · 且令 · 为李雅普诺夫候选函数 的时间导数。 稳定平衡点 编辑 若在平衡点的邻域 ，李雅普诺夫候选函数 为正定，且其时间导数半负定： · 则此平衡点为一稳定的平衡点。 局部渐近稳定平衡点 编辑 若在平衡点的邻域 ，李雅普诺夫候选函数 为正定，且其时间导数为负定： · 则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。 全域渐近稳定平衡点 编辑 若李雅普诺夫候选函数 为全域正定，其时间导数为全域负定： · 且 满足以下的条件（称为"径向无界' radially unbounded）： · . 则此平衡点为一

5、全域渐近稳定的平衡点。 参见 编辑 · 常微分方程 · 控制李雅普诺夫函数 参考资料 编辑 · mathworld 上 lyapunov function 的资料，：埃里克韦斯坦因。 · khalil, h.k. nonlinear systems. prentice hall upper saddle river, nj. 1996. · 本条目含有来自 planetmathliapunov function的材料，版权遵守乃遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议 。 · 李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域，尤其是随机微扰的非线性系统: s. p. meyn and r. l. tweedie. markov chains and stochastic stability . london: springer-verlag, 1993. isbn 0-387-19832-6. online: l . second edition to appear, cambridge university pres