立体几何专题：外接球问题

1、外接球的有关问题解决问题的方法先看是否能够还原成长方体或正方体，长方体或正方体的体对角线的中点为球心，是否还原 三棱柱，三棱柱上下面三角形外接圆的圆心连线中点为球心；否则利用球的截面性质解决。 寻找两个有公共斜边的直角三角形，若这两个直角三角形不在同一个平面，则斜边一定就是 直径；寻找该几何体的高时不要忘了，球心和截面圆的圆心连线一定和截面圆垂直。可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论仁 正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点、.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4：正棱锥的外接球的球心

2、在其高上，具体位置可通过计算找到.结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.题型一球的截面性质应用截面的性质：球心和截面圆的圆心连线和截面圆垂直；球心到截面圆的距离为d,截面圆的半径为球的半径为R,则d2 + r2 = /?2：球心一定在过截面圆的圆心的垂线上，具体位置可通过计算找到。例1.在半径为10的球面上有A, B, C三点，如果4B = 8jT,ZACB = 60。，则球O到平面ABC的距离为（）A. 2 B. 4 C. 6D.8【答案】C针对性练习1. 球O的截面把垂直于截面的直径分为1:3两部分，若截面圆半径为则球O的体积为1632人 kA.

3、 16/rB. 71C. 71D. 4J3 兀33【答案】c2. 2012高考真题新课标文8】平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为忑,则此球的体积为A.屈TB. 4屯兀C. 4屈TD. 6羽兀【答案】B3. 2011高考真题新课标文，16】已知两个圆锥有公共的底面，且两圆锥的顶点和底面的 圆都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球的面积的2,则这两个圆锥中，体积较小16者的高与体积校大者的高的比值为。【答案】1:34. 2011高考真题新课标理，15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，【答案】：8妇提示：利用球的截面性质题型二构造正方体或长方体确定球心结论

4、：长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处，即体对角线是其外接球的 直径，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径仁 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥（或者说同一个顶点上的三条棱两两垂直 的四面体）、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途径2：相对的棱相等的三棱锥，可构造长方体（构造方法：面对角线为三棱锥的棱）.途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.例1.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积为

5、A. 25龙B. 50” C. 125龙D.都不对【答案】点评：长方体或正方体的外接球的直径是体对角线长。例2.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2,S3 = SC = 4,则该三一棱锥的外接球的半径为（）A. 3 B. 6 C. 36 D. 9【答案】A构造长方体例3. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 12龙D. 12 屁【答案】C提示：构造正方体针对性练习1. 2010新课标高考真题文，7】设长方体的长、宽、高分别为2a,44,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. 3托&#

6、163;B. 67ra2C. 12a2D. 24加【答案】B2. 个四面体的所有棱长都为四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3"B. 4"C. 3羽兀D. 6 兀【答案】A3. 2014陕西高考真题理，5已知底面边长为1,侧棱长为JT则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）.32龙门，小宀小4兀A.B.4ttC2兀D.33【答案】D4. 若一个正四棱柱的主视图是边长分别为1和2的矩形，则其外接球的表面积等于（）A. 6”B. 9兀C. 6龙或 9兀D. 24” 或 36”【答案】c5. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为5/夕，点S、A、

7、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.【答案】36. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6期2、4C和3 on2,那么它的外接球的体积是鱼小29何龙67. 在三棱锥 A-BCD 中，43 丄平面BCD,CD 丄 BC, AB=3, BC=4, CD = 5,则三棱锥A - BCD外接球的表面积.【答案】50”8. 在三棱锥A-BCD中，AB = CD = 2、AD = BC = 3,AC = BD = 4,则三棱锥A-BCD外接球的体积.【答案】10.若正方体外接球的体积是二二，则正方体的棱长等于3【答案】题型三：三棱柱或能构造三棱柱的外接球问题（模型二）该三棱柱只能是直三棱柱

8、，上下面三角形的外心的连线的中点为球心，三棱柱实质为长方体 的一部分，所以构造三棱柱的途径和构造长方体的相同。以下是常见的、基本的几何体补成三棱柱的途径与方法.途径仁若已知三棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成三棱柱.途径2：若四个面都是直角三角形的三棱锥，则可将棱锥补成三棱柱.例1.直三棱柱ABC-AC,的各个顶点都在同一球面上，若AB = AC = AAl = 2,ABAC = 120°,则此球的表面积为o【答案】20”点评：球心一定在直三棱柱的中截面上。例2.2010辽宁高考真题文】己知S,A,B,C是球O表面上的点，5A丄平面43C,A3丄BC, SA = AB = l, B

9、C =忑,则球O的表面积等于A. 4龙B. 3龙C. 2龙D.龙【答案】A【解析】选A.法1：构造三棱柱；法2：由己知，球O的直径为2R = SC = 2,二表面积为4托"=4托.针对性练习1. 2010新课标高考真题理，10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为d,顶点 都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. 7tCT7B. -7ta311 ,C. 7ra-3D. 5/ra2【答案】B2. 己知三棱柱ABC-AC,的底面是边长为拆的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱 柱的外接球的表面积为12兀，则该三棱柱的体积为（）A. 2羽 B. 3书C. 43D. 5石【答案】B3. 三

10、棱锥S-ABC中，01丄面ABC,SA = 2. AABC是边长为1的正三角形，则其外接球 的表面积为【答案】16龙V4. 若三棱锥P-ABC的最长的棱PA二2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是r _ . _ 4 兀【答案】35. 若三棱锥S-BCD的所有顶点都在球O的球面上，SA丄平面ABC, S4 = 2j,4B = l,AC = 2, ABAC = 60 ,则球O的表面积为.【答案】16”题型四寻找球心的其它方法：由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心q的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.法1:球心到球面上各点的距离都相等，所以可以寻找一下是否

11、有公共斜边的直角三角形 法2：球心一定在过外接圆的圆心和外接圆所在的平面垂直的直线上例1.三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，棱长阳=PB = PC = 2,AB = AC=BC = 3,则球的半径为。【答案】2点评：利用球的截面性质例2.点A,B,C,D在同一个球的球面上，AB二BC二2, Q2迈,若四面体ABCD体积的最大值4为一，则该球的表面积为3【答案】9兀例3.如图，三棱-锥PABC内接于球O, PA丄平面ABC, ZABC的外接圆为球0的小圆01,01GAC，zBAC=y, AB二 1, PA二2.则外接球的表面积为【答案】8龙法1：寻找球心方法1因为PA丄平面ABC,球心0

12、定在过0垂直平面ABC的垂线上，球心为PC的中点法2：寻找球心方法2寻找有公共斜边且不在同一平面的直角三角形, 则斜边为球的直径.法3：构造三棱柱或长方体 点评：不能够确定球心时可以寻找有公共边的直角三角形，且这两个直角三角形不在同一平 面上，则斜边的中点就是球心。针对性练习1.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的表面上，SA丄平面ABC.AB丄BC,又SA = AB = BC = 1,则球0的表面积为3B. -7T2C. 3” D. 12龙【答案】C2. 2014安徽高考真题,8】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A.81龙1B. 16- C. 9龙27龙1【答案】A3. 2011高考真题辽宁文，10已知球的直径SC=4, A,B是该球球面上的两点,AB = 2, ZASC = ZBSC =