2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线1截面欣赏2直线与球、平面与球的位置关系学案

1、 1 &2截面欣赏直线与球、平面与球的位置关系_LEE J对应学生用书 P33自主学习1 直线与球的位置关系有相离、相切、相交_2. 从球外一点作球的切线，它们的切线长相等,有的切点组成一个圆.3. 平面与球的位置关系有相离、相切、相交_4. 一个平面与球面相交， 所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面.合作探究1.用一平面去截正方体时，其截面可能是几边形？提示：三角形（锐角三角形、等腰三角形、等边三角形）四边形（长方形、正方形、梯形）五边形、六边形2 .直线与球的位置关系的判定与直线与圆的位置关系判定一样吗？ 提示：一样.都是利用点到直线的距离与半径r的关系去判定.3.

2、平面与球的位置关系如何判定？提示：平面a,球0,球心0到a的距离为0H球半径为R若0HR则相离；若0H=R,则相切；若0HR则相交.例 1从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用 一个与圆柱下底面距离等于I并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积（阴影部分）.思路点拨本题主要考查截面问题，解题时根据题意画出轴截面可直观求解.精解详析轴截面如图所示：被平行于下底面的平面所截的圆 柱的截面圆的半径0C-R,圆锥的截面圆的半径0D设为x./ 0A= AB= R,0A覗等腰直角三角形.理解嚴P33对应学生用书截面问题2又CD/

3、 0A贝UCD= BC,故x=I.3,22=_2a,r2=a.所以S?= 4nr2= 2n al截面面积S=nRnl2=n(Rl2).方法方法 规律规律 小结小结 * *解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征， 发挥自己的空间想象能力， 正确 作出几何体的轴截面等， 把立体图和截面图对照分析， 找出几何体中的数量关系. 把空间几 何问题转化在同一平面内利用平面几何的知识解决，即用空间问题平面化的解题策略.解析：选 A 因为AB MN两条交线所在平面（侧面）互相平行，故AB MN无公共点；又AB MN在平面EFGH内，故AB/ MN同理易知，AN/ BM又ABL CD所以截面必为矩形.L

4、 -1平面、直线与球的位置关系例 2有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三 个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.思路点拨本题主要考查平面、直线与球的位置关系的应用.解此题时分别作出三种 情况的截面图，可求解.精解详析设正方体的棱长为a.（1）正方形的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点a22及球心作截面如图，所以有2r1=a,ri= ?,所以S= 4nri=na.球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，女口图1. 一长方体木料，沿如图所示平面EFGH截长方体，若ABL CD那么F列四个图形中是

5、截面的是（）:C IZfl DAD34解析：选 C 由题意结合图形分析知：截面过球心，点， 则E为AB的中点， 即可得厶ECD为等腰三角形， 又 =DE=3,可求得SAECD=/2.例 3 如图，球0的半径为 2,圆0是一小圆，OC=/2,A, B是圆0上两点.若/nAOB=2，则A,B两点间的球面距离为 _ .精解详析如图，OB= OA=2,00=2, 0A=,2, AB= 2,0人囲人囲正三角形，（3）正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如 图，所以有 2r3=：3a,3=-a,所以9=4nr3= 3na.综上可得 Si: S ： S= 1 : 2 : 3.方法方法 规

6、律规律 小结小结与球有关的截面问题，为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用.k2棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是A.B.且交AB于ECD=2,CE235/ A0B=n.6A B两点间的球面距离为专x2= n方法方法- -规律规律n结结-若一平面与球面相交所得交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面，该圆心 与球心距离为d,圆半径为r,球半径为R则d2+r2=氏.本例条件变为“如图，球O的半径为2，圆O是一小圆，0C=/2, A, B是圆0上两点.若A,B两点间的球面距离为 牛”，则/A0B

7、=.2解析：由A,B间的球面距离为 亍知/A0=，所以A0囲等边三角形，AB=2;又由球0的半径为 2,00=2 知0A=0B= 2，所以A0B为等腰直角三角7t形，/A0B=本节热点命题美注本课时常考查截面问题，是每年命题的热点内容之一属中档题.考题印证平面a截球0的球面所得圆的半径为 1,球心0到平面a的距离为* 2,则此球的体积为（）A.：.：6nB. 4;.：3nC. 4 詁 6nD. 6 3n命题立意本题主要通过截面问题考查球的性质及球的体积公式.自主尝试设球的半径为R由球的截面性质得 R= .22+ 12=, 3，所以球的体积V=3nR=4 3n.答案B答案2nT71 在一个锥体中

8、，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1 : 3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A. 1 ： 3B. 1 : 9C. 1 : 3 3D. 1 : （3 3- 1）解析：选 D 由面积比等于边长比的平方，体积比为边长比的立方可求得D 正确.2.过半径为 2 的球0表面上一点A作球0的截面，若0A与该截面所成的角是 60, 则该截面的面积是（ ）A.nB. 2nC. 3nD. 2;3 n解析：选 A设截面的圆心为O，由题意得：/OAO= 60,OA=1,S=n I=n.3.如图，在正三棱柱AB（- ABC中，D为棱AA的中点，若截面BGD是面积为 6 的直角三角形，则此三

9、棱柱的体积为（）A.43B. 3 3C.83D. 6 3cC=BC得a+b= 24,可得a=2 .：2,b= 4,4.正方体ABC-ABCD中，P,Q R分别是AB AD BC的中点，则正方体的过P, QR的截面图形是（）解析：选 C由题意，设AB= a,AA=b,再由BD- DC= 6 可得a2+号号=12.又由BC+ V=j(22)2X4=8 3.、选择题A8A.矩形B.正五边形C.正六边形解析：选 C 如图，禾 U 用空间图形的公理作出截面，可知截面为正六边形.D.菱形9二、填空题5._已知0A为球O的半径， 过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M若圆M的面积为 3n，则球O的表

10、面积等于.解析：记球O的半径为R圆M的半径为r,则依题意得r2= 3,氏=r2+R2,故R2= 4, 球O的表面积等于 4nR= 16n.答案：16n6.直三棱柱ABC- ABC的各顶点都在同一球面上，若AB= AC=AA= 2, /BA(= 120,则此球的表面积等于_ .解析：在厶ABC中AB= AC= 2，/BAC= 120,可得BC= 2 3，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r= 2，设此圆圆心为O，球心为O,在 RtOO B中，易得球半径R=5,故 此球的表面积为 4n氏=20n.答案：20n7.已知点A B,C在球心为O的球面上，ABC的内角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c,

11、且a2=b2+c2-bc,a=3，球心O到截面ABC的距离为.2，则该球的表面积为 _.解析：由a2=b2+c2-bc可得A=n3，再由正弦定理可得球的小圆半径为r= 1,进而可3得球的半径为R=，该球的表面积为 12n.答案：12n2n&在丁的二面角内，放一个半径为 5 的球切两半平面于 A,B两点，那么这两个切点在球面上最短距离是_解析：两切点对球心的张角为713,球面距5n可.P B10答案:三、解答题9.已知棱长为a的正方体ABC-A B C D中，M N分别是CD AD的中点，求证:11MNA C是梯形.证明：如图，连接AC/ M N分别为CD AD的中点，1 MN綊 qAC

12、由正方体性质可知AC綊A C,1MN綊2A C,四边形MNA C是梯形.10.在北纬 45的纬度圈上有A,B两点，它们分别在东经 上，设地球半径为R求A,B两点间的球面距离.解： 如图， 设北纬 45圈的圆心为O,地球中心为Q则/AOB= 160 70= 90,/OBO45,OB= R, OB=OA=R, AB= R.连接AO AB,则AO= BO= AB= R,/ AOB=60, | AB =- 2 nR=nR.631故A,B两点间的球面距离为nR11.如图所示,三棱锥V ABC中 ,VAX底面ABC/ABC=90(1) 求证：V,A B,C四点在同一球面上.(2) 过球心作一平面与底面内直线AB垂直.求证：此平面截三棱锥 所得的截面是矩形.证明：(1)取VC的中点M/ VAL底面ABC/ABC=90 ,BCLVB在 RtVBC中，M为斜边VC的中点，MB= MC= MV