2微分中值定理

1、考研高等数学基础班讲义§ 2.2微分中值定理、罗尔定理设函数f（x）满足(1)(2)在闭区间a,b 在开区间（a,b）上连续;内可导;(3)f(a) f(b).则至少存在一点 x ? （a, b）,使得f Qx) = 0.几何意义：条件（1）说明曲线yf (x)在A(a, f (a)和B(b, f (b)之间是连续曲线包括点A和点B.条件（2）说明曲线yf （x）在A, B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点 A和B条件（3）说明曲线yf x在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线y f x在A点和B点之间不包括点 A和B至少有一点，它的切线平行于x轴。注意：构造辅

2、助函数时，可考虑以下形式(1)F(x)kx f (x)(加法)(2)F(x)f (x)、(加法)x(3)F(x)f （x）ekx （函数加导数）【例1】设fx在0,3上连续，在 0,3内可导，且f 0 f 1 f 23,1 ,试证：必存在0, 3，使f0。Q f (x)在 0, 3上连续,f (x)在 0,2上连续，且有最大值 M和最小值m,f (0) M ； mf (1) M；m f(2)2.2.1考研高等数学基础班讲义一1 一一 一故 m - f(0) f (1) f(2)M o3由连续函数介值定理可知，至少存在一点c 0, 2 ,使得1 f c - f(0) f(1) f(2)13因此f

3、 c f 3 ,且f x在c, 3上连续，c, 3内可导，由罗尔定理得出必 存在c, 303，使得f 0。1【例2】 设f x在0,1上连续，在 0,1内可导，且32f x dx f 0 . -3求证：存在x? (0, 1)使f年x)二0证由积分中值定理可知，存在 c ?*1 ,使得2 f x dx f c 1 1得至Uf c 3 2 f x dx f (0)3对f x在0, c上用罗尔定理(三个条件都满足)，故存在x翁(0, c)(0,1)，使fx) = 0【例3】(07)设函数f(x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在 相等的最大值，f(a) g(a), f (b

4、) g(b),证明：存在 (a,b),使得f ( ) g ()。分析：令F(x) f(x) g(x) F(x)在a,b连续，在(a,b)可导，在题设条件下， 要证存在(a,b), F ( ) 0。已知F(a) F(b) 0,只需由题设再证c (a, b),F(c) 0。证明：由题设 x1 (a,b),M max f (x) f (x1), 'a,b'x2 (a,b),M maxg(x) 9(x2)。 a,b2.2.2考研高等数学基础班讲义若 x1x2，取 cx1x2，则 F (c)0。若 XiX2,不妨设XiX2,则 F(Xi)f(Xi)g(Xi)0 , F(X2)f(X2)g

5、(X2)0c Xi,X2, F(c) 0由F(a) F(c) F(b) 0 ,对F(x)分别在a,c和c,b用罗尔定理再对F (x)用罗尔定理i (a,c),2 (Gb),使得 F ( i) F ( 2) 0。(i, 2)(a,b),使得 F ( ) 0,即 f ( ) g ()。二、拉格朗日中值定理设函数f x满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间a,b内可导。则存在a,使得或写成f b有时也写成fX0X f X0这里X。相当a或b都可以，x可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线y f x在点A a, f a和点B b, f b之间包 括点A和点B是连续曲线。条件(2)说明曲线y f

6、 x 不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明曲线 y f X在A、B之间不包括点 A和点B至少有一点，它的切线与 割线AB是平行的。2.2.3考研高等数学基础班讲义推论1 若f x在a, b内可导，且f x 0,则f x在a, b内为常数。推论2 若fx,gx在a, b内皆可导，且 f x g x ,则在 a, b内f x g x c,其中c为一个常数。推论3 设f (x) , g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f (x) g(x)(x a, b)(1)f (x) g (x),x (a,b)(2)x0a,b, f (x0)g(xo)(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f a f

7、 b时的特殊情形，就是罗尔定理)【例1】 设不恒为常数的函数f x在a, b上连续，a, b内可导，且f a f b ,证明a, b内至少有一点己，使得f 0.证 由题意可知存在c?(a,b)使得 f c f a f b如果fc fa,则fx在a, c上用拉格朗日中值定理存在xi ? (a,c),使f(c) f(a)c a如果f b f c ,则f x在c, b上用拉格朗日中值定理存在x2 ? (c,b),使f(b) f(c)b c0,因此，必有x? (a,b),使得f 0 成立.【例2】 设f (x) 0 , f (0) = 0 ,证明对任意x1 > 0 , x2> 0恒有f(x

8、i+ x2)< f (xi)+ f(x2)证 不妨假设x1 £ x2 ,由拉格朗日中值定理有2.2.4考研高等数学基础班讲义 f (x1) = f (x1)- f (0) = (x1 - 0) f 叔1) ,0 < X1 < X1从而可知 f(Xi+X2)- f(X2)=(Xi+X2)-X2f(X2),X2<X2<Xi +X2,Xi < X2 ,. fQ)< 0, < f (x)单调减少，于是f收1)> f (x2)这样由两式可知f(X1)> f (x1 + x2)- f (x2)因此，f(X1+X2)V f (x1)+ f

9、 (x2)成立.【例 3】(04)设 e a b e2,证明 in2 b in2 a g (b a). e22分析：即证1nb ln a 3,符合拉格朗日中值定理。(b a) e证明：令f(x) ln2x,在a,b上用拉格朗日中值定理得f ( ) 2ln-22f(b)f(a)ln2b ln2ab ab a其中 (a,b)(e,e2)。注意到则(x) Un 0(x e)x(X)in xx(x)在(e,)单调下降in(e2)in e22- ein2b in2a(b a)解法二引入辅助函数，利用函数单调性 三、柯西中值定理设函数f x和g x满足：(1)在闭区间 a, b上皆连续；(2)在开区间 a

10、, b内皆可导且g x 0。则存在a, b使得2.2.5考研高等数学基础班讲义（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g x x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线 Ab的参数方程 xya, b ,点 A g a , f a ，点B g b , f b曲线Ab上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有点，它的切线平行于割线 AB。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理 最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看 作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽 然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯 西

11、中值定理也是较少。【例1】设f x在a, b上连续，a, b内可导，且b a 0,证明：存在x? (a,b),h? (a,b)使 f (h) =证考虑柯西中值定理（g x待定）f ¥x) = f (b)- f (a) = f (h)(b- a) g (x) g(b)- g(a) g(b)- g(a)最后一步是把分子用拉格朗日中值定理 再把欲证的结论变形，f x) _ f (h) _ f?(h)(b- a)2x a + bb2 - a2两式比较，看出令g（ x） = x2即可.2.2.6考研高等数学基础班讲义类似地，欲证f （h）=b2 + ab+ a2g(x) =x3即可四、泰勒定理

12、（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）在xo处有n阶导数,则有公式xof x0 x1!xof x02!2x0nx0n!xx0其中Rnnx x0xo称为皮亚诺余项。x x0nx x0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的所以对常用的初等函数如ex,sin x,cosx,ln（1 x）和（1 x）a （ a为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2 （拉格朗日余项的n阶泰勒公式）设f x在包含x0的区间a,b内有n 1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对x a,f x0x0nf x0n!nx0Rn x其中Rn xfn1n 1（在与x之间）称为拉格朗日余项上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。当x00时，也称为n阶麦克劳林公式。如果lim Rn xn0,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论o【例1】设函数f x在0,1上二阶可导，且f 0f 0 f 10, f 11.2.2.7考研高等数学基础班讲义求证:存在 x? (0, 1),使得 f i(x) 3 4先把f x在x= 0处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式12f 0 f 0 x f 1 x22!1(01x)再把fx在x= 1处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公