二项式定理解题技巧

1、学习必备欢迎下载二项式定理1 .二项式定理：(a +b)n =C：an +Cnan,b +川 +*“为+| |+Cnbn(n e N *),2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 C n (r =0,1,2，,n).项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第 r+1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用TT=C：anbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有 (n+1)项。顺序：注意正确选择 a, b,其顺序不能更改。(a+b)n与(b+a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指

2、数从0逐项减到n,是升哥排列。各项的次数和等于n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是CnClC：,C；,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令 a =1,b =x, (1 x)n =C0 C：x Cnx2 IH C；xI Cnxn(n N )令 a =1,b = _x,(1-x)n =C0 Cnx+C：x2 HI +C：xr +|+(1)nCnxn(nW N*)5 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C0 =Cn , C： =C：/二项式系数和：令 a =b =1,则二项式系数的和为 C0 +Cn +C

3、n +川+C；+HI +Cnn = 2n ,变形式 C；+C： H+C； +|H+C2n-1o奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a =1,b = 1,则 C： C： +C： -c3 +川 +(1)nCn = (1 _1)n = 0 ,0 , 2 2 , 4 4 2r . .C1 c32r 1_1 cn_ on 1Htj 彳寸到. Cn C n Cn Cn Cn CnCn 2 -22奇数项的系数和与偶数项的系数和:学习必备欢迎下载n 仆0 n 0 c1 n 1 c2 n 2 2n 0 n12n(ax)=CnaxCna _xCna_x |Cnax a0a1xa2xH

4、| anxn 0 0 n 1 n J 2 2 n _2n n 0n21(xa)= CnaxCnax -Cnax 一|Cnax = anx |a2xa1x a0令x =1,贝1Ja0 +a1 +a2 +a31tl+an = (a+1)n令x = _1,贝1Ja0 -a1 +a2 -a3 +川 +an =(a-1)n+得，a0+a2+a4H|+an = (a+1、+(a-1)奇数项的系数和)2-得，a1 +a3 +a5H|+an =(二二(叱(偶数项的系数和)2n二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n J n 1如果二项式的哥指数 n是奇数时，

5、则中间两项的二项式系数 c/, Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别、，. .Ar1-Ar为A1，A2, , An书，设第r+1项系数最大，应有，从而解出r来。nAr 1 - Ar 26.二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：c1 +C： 6+c3 62+川+C； 6n=.解：(1 +6)n =C； +C： 6 +C： 62 +C； 63 +用 +Cn 6n与已知的有一些差距，c1.c2q.c3 2 , n n_1 1/c1 公.C2 2n n Cn Cn 6 Cn 6 Cn 6 =-(Cn 6

6、Cn 6 Cn 6 )6= 1(C：+Cn 6+C； d+lli + C： 6n-1)=1(1+6)n1=1(7n-1)666练：Cn 3C2 9C3 Hl 3ndCn =.解：设 Sn =G +3Cn +9C； +川+3n-*C；,贝U3S =C13+C232C333Cn3n=C0C13 C232C333Cn3n -1 = (1+ 3)n- 10n JnJnnnnJnJnnn1()S _ (1 3)n -1 . 4n -1Snc33题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式（，1+行户的展开式中倒数第 3项的系数为45,求含有x3的项的系数？解：由条件知 C：=45 ,即 C： =45

7、,n2 n 90 =0,解得 n = 9（舍去）或n =10 ,由学习必备欢迎下载10 r 2，八-Tri =C；0(x-4)10(x3)r =C；xy 3r,-10- r2-r,由题息一+ r =3,解得r = 6 ,43则含有x3的项是第7项丁64 =Ci6)x3 =210x3,系数为210。练：求(x2 1)9展开式中x9的系数？2x解：书=C；(x2)()=C；x18(l)rx,=C9(-)rx18r ,令 183r =9,则 r =32x22故x9的系数为 c；(一)3=-I1。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x2+=)10的展开式中的常数项？2 , x5解：T7=C

8、1r0(x2)10(，)r =C1r0()rx 引，令 20-5r =0,得 r =8,所以 丁9 =对(1)8=至2 , x 2222561 A练：求一项式(2x-)6的展开式中的常数项？2x解：Tr+ =C；(2x)(1)r (2)r =(1)rC；2(1)rx6/r,令 6-2 r =0 ,得 r =3,所以 T4 = (1)3C3 = 202x22 1练：若(x +一)的二项展开式中第5项为常数项，则n=. x解：T5 =C4(x2)i(1)4 =C4x2n2,令 2n -12 = 0 ,得 n = 6. x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(Jx-次)9展开式中

9、的有理项？1127解：T=C；(x2)(x3)r =(1)(叔丁，令 rwz,( 0 5 W9)得 r =3或r = 9,6所以当 r =3时，7r=4, T4 =(1)3C3x4 = 84x4 , 6当 r=9 时，27sL =3, T10 =(-1)3C9x3 =x3。6题型五：奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和；-256，求 n.例：若(疝-亍)n展开式中偶数项系数和为- x解：设(. x2 -n展开式中各项系数依次设为 a0,a1，an,令 x =1，则有 a。+a + -an =0,，令 x=1，则有 a。a1 +a? -a3 + + (T)nan =2n,学习必备欢迎下载将

10、-得：2(a1 + a3 + a + , 1 ) = 2，; a1 + a3 + a5 + , 1 = 2 ,有题意得，-2n- = 256 = 28,二 n = 9。练：若 QI +,J)n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。Or o 02 24 4 2 2 ri 1 3 32 2 r -1.c n _1n n1/ - 有力 /日/ /斛：,Cn +Cn +Cn -+Cn +-=Cn + Cn + + Cn +=2 ，J, 2=1024 ,解得 n =11所以中间两个项分别为 n=6, n=7,%邛=C；!）%,）5 = 462 .x , 丁6干=462 题型六：最大系

11、数，最大项；1例：已知（a+2x）n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最 大项的系数是多少？解：C：+C： =2C5,. n2 21n+98 = 0，解出n = 7或n=14,当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是1351 T4和T5，T4的系数=C7（a）2 = , , T5的系数=C7（3）2 =70，当n=14时，展开式中二项式系数1 r r最大的项是丁8, J.T8的系数 =C；4（）727 =3432。2练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n =Tn书，

12、也就是第n + 1项。，X 1 n练：在（一-7）的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2 3 x解：只有第5项的二项式最大，则 口+1=5,即n =8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（1）2 = 722例：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有3 4. 34 3. 4T4 = -C7a b的系数最小，T5 =C7ab系数最大。1C例:解:若展开式刖二项的二项式系数和等于79 ,求（-+2x）n的展开式中系数最大的项?(1 + 2x)12 =

13、 g)12(1 + 4x)122012由Cn +Cn +Cn = 79，解出n=12，假设Tr +项最大,Ar ArC1r24r -C12 4r一展开式中系4 r =2 12 书书，化简得到 9.4ErE10.4,又：0ErE12,，r=10, Ar 1 - Ar 2C；24r .C；214r l数最大白项为T11,有1 =（1）12c10 10 1010C124 x =16896x学习必备欢迎下载练：在（1 +2x）10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr4项最大，；Tr4=Cir0 2rxr. r r _ r 1 r 1Ar 1 Ar C102 C10 22(11 - r) r|r-

14、 r =厂010上上解得 / ()一，化简彳#至 6.3EkM7.3，又；0wr W10,Ar 1 - Ar 2 C1r02r _C1r012, r 1-2(10 - r)，r =7 ,展开式中系数最大的项为 T8 =d27x7 = 15360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当（x2 +3x+2）5的展开式中x的一次项的系数？解法：（x2+3x+2）5=（x2+2）+3x5,TT=C；（x2+2）5,（3x）r,当且仅当r=1时，1平的展开式中才有x的一次项，此时书=T2 =C5（x2 +2）43x ,所以x得一次项为C5C：243x它的系数为C5c：243 =240。解法：(x2 +3x

15、 +2)5 =(x+1)5(x +2)5 =(C5)x5 +C5x4 + + C/)(C5)x5 +C5x42 + + C；25)故展开式中含x的项为C；xC；25+C；x24 =240x,故展开式中x的系数为240.,一 ,、，、一13练：求式子（x +,2）3的常数项? 冈解:(x-1- -2 x）3 =（烟-木）6,设第r+1项为常数项，则T.=c6（1）r x6(1),x6 r 6/r =(-1) C61x,得 6 - 2r - 0, r - 3, . T3 1 二(-1) C6 二 一20 .题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数.解：，：(1 2

16、x)3的展开式的通项是Cm (2x)m =Cm 2m xm,(1x)4的展开式的通项是 C4 (x)n =C4 Tn /，其中 m = 0,1,2,3, n = 0,1,2,3, 4,令m +n =2MUm =0且门=2,m =1且n =1,m = 2且门=0,因此(1 +2x)3(1 - x)4的展开式中 x2的系数等于 C； 2 C2 (1)2+c3 21 C： (1)1+C； 22 C0 (-1) = -6.练：求(1+Vx)6(1+4)10展开式中白常数项. wxmn4m -3n解：(1 +荻)6(1+上)10展开式的通项为Cmx7 Ci;x =Cm C1o x学习必备欢迎下载m =

17、0- m=3m = 6其中m =0,1,2,6, n =0,1,2,10,当且仅当4m = 3即 或 或 n=0, n=4, n=8,时得展开式中的常数项为C； Cw - C； C10 C（6 C8o =4246 .练：已知（1 +x +x2）（x +4）n的展开式中没有常数项，n w N*且2 M n M8,则n =.x解：（x+）n展开式的通项为Cn父,xr =C； ,xi;通项分别与前面的三项相乘可得 xC；，xn,C； xzrC； fir42, ,:展开式中不含常数项,2n8二 n 4 4r且 n 4 4r 十 1且 n #4r +2,即 n #4,8且 n #3,7且n #2,6，二

18、 n = 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在（x -夜）2006的二项展开式中，含x的奇次曷的项之和为 S,当x=V2_时,S =解：设(x -72) 2006=a0 +a1x1 +a2x2 +a3x3+|+a2006x2006 /ox 20061232006公(-x -v2)=a0 -a1x +a2x -a3x +| + a2006x 得 2(a1x+a3x3 +asx5 +|+a2005x2005) =(x V2)2006 (x + V2)2006二(x-点)2006展开式的奇次事项之和为S(x) =,(x-扬2006 -(x + V2)20063 2006当x - 2It

19、, S( , 2)(,2 - 2) 2006 -( -.2 、.2)2006= 一4二=-23008 22题型十：赋值法；1例：设一项式(33/x + -)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若xp+s=272，则n等于多少？解：若(33/x + l)n = a0 +a1x +a2x2 + + anxn ,有 P = a。+a十 +an , S = C0 + +Cn = 2n , x令 x =1 得 P =4n ,又 p +s=272 ,即 4n +2n =272= (2n +17)(2n 16) = 0解得2n =16或2n = -17（舍去），二 n=4.J 厂 1、n练：若 3&-7 J的展开式中各项系数之和为