平面向量数乘运算

1、优质资料欢迎下载平面向量的数乘运算一、知识精讲1,向量的数乘运算(1)向量的数乘运算的概念：实数。向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘，记作 抬，其长 度与方向规定如下：I冏=1刖a|;当 时，与a方向相同；后(a为)的方向彳、当 时，与a方向相反.特别地，当彩0或a = 0时，0a= 0或20=0.(2)向量数乘的运算律： X n )=(入)后 ；(狂(j)a =入升u 14a+b)=入升入b(3)向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量a, b, 以及任意实数 人 心 必恒有Xma±戌b)=入.1阻土建b2.共线向量定理向量a(awgb共

2、线，当且仅当有唯一一个实数 使b=入且小问题大思绸1 .若入户0,则仁0对吗?优质资料欢迎下载提示：不对.当入户。时，笈0或a = 0.2 .共线向量定理中b=4 a若为0如何？提示：当a=0时，则入不存在（bw。时）或者不唯一（b=0时）.3 .已知向量a, b不共线，则 m = a3b与n= 2a+6b共线吗?提示：n= 2m,故m与n共线.4 .与非零向量a共线的单位向量是什么？提示：由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量a共线的单位向量应为祠.二、典例精析,一 1 1例 1 32(2a+ 8b) (4a 2b)的结果是 ()A. 2a-bB. 2b- aC. b-aD. a-b答案

3、B变式练习：1 .若 a=b+ c,化简 3(a+2b) 2(3b+ c) 2(a+b)=()A. aB. bC. 一 cD.以上都不对解析：3(a+2b) 2(3b+c) 2(a+b)=3a+ 6b-6b- 2c-2a- 2b=a2(b+ c).又a=b+c,故原式=一 a.答案：A优质资料欢迎下载例2如图所示，四边形OADB是以向量OA = a,=b为邻边的平行四边形又BM=1B1CD,试用a, b表示弑ON,力 331115OM = OB + BM = b + 一 工。=+ 2公 0000， 112*- ON = OC + CN =OD + OD = OD263=j(CM + OB) =

4、 |(a + b).21511MN = ON - OM = (a + b)-a - -b =a - 7b.36626变式练习:1、在本例条件中，试用a, b表示CM2、设D、E、F分别是AABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD ， CE=2EA, AF =2FB,则 ad + bf +CF 与BC ()A.反向平行B.同向平行C,互相垂直D,既不平行也不垂直答案：A伤J 3设两非零向量a和b不共线，如果AB=a+b, CD = 3(ab), BC优质资料欢迎下载= 2a+8b.求证：A、B、D三点共线.证明:=+ CD = （2n + 8Z） + 3（j -b） = 5a + 5b,

5、AB = a+byA AB =（而，二方 11 丽，又行.而有公共点B,二月、B. 0三点共线.变式练习：已知ei, e2是两个不共线的向量，a= 2ei e2, b=kei + e2.若a与b是共线向量, 求实数k的值.解:与6是共线向量，二。=267二 2t?i - ez= A（kei + e：） = kke + 出，解题高手:如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L,且AKTT Tei, AL=e2,试用 ei, e2表小 BC, CD优质资料欢迎下载解法-：设£C=1则5K"AB =e-x,。工=于1-在5CUD =1，由AD+DL = 上得

6、x + 2ei 7V =仃,解方程:e 4-3-2-3-2-3 +九 二 ?2/ 4-3 - C万 2JC 即由2 - 3+白4 - 3-而得1评-法二：=Xt CDMl BK = jx, DL = 一 p由石+豆不=NT,而+瓦=石得 i八-J，+尹=在，Hx-y = &.- 2X + 将% - 2x = ei- 2f； * 解得某=并经一3*即就一= |(2g一) 4,同法将r =京一 2生+的卜 即。=一/+铲工.法三:如图所示，HC与HL的 延长线相望于点E.DLA空A CLE,从而/if = 2/2，CE /£),-1bC.由屈工亚京,得3a 242yBC = 2的

7、一 e，即RC =不2.-e)=3厂). 242同理可符8 =京-2的+的)=-/+*.三、课后检测、选择题1.已知两不共线的向量 a, b,若对非零实数 m,n有ma+nb与a2b共线，则m = ()优质资料欢迎下载A. 2B. 2D.212.解析： ma+ nb= an 2b),n= 一 2 入,答案：C2.如图，向量Cb ,设 OA = p,OC的终点在同一直线上，且OB =q, OC =r,则下列等式中成立的是(A r= 1p+ 2qB. r= p+ 2qD. r= q+ 2P31C r=2p 2q解析：AC =- 3CbAB =- 2Cb =2BC ,T T T T r= OC =

8、OA + AB + BC13= -2p+2q.答案：A3.在？ABCD中，AC与BD交于点T T F.若 AC =a, BD = b,则 AF =(O, E是线段OD的中点,AE的延长线交CD于点21B."a+ "b3311A4a+2b11C.2a+4b解析：如图./DEF s/bea.DF DE 1AB = EB =3.DF =1AB=1DC.33CF =3DC.AF = AC +CE =a+2CD3= a+3(CO + OD )优质资料欢迎下载21 , 121= a+3 - 2a + " 3a+32答案：B T T4.已知平面内有一点 P及一个 ABC ,若P

9、A + PB +A.点P在4ABC外部B.点P在线段 AB上PC = ABC.点P在线段BC上 解析：由PA+PB+即 A?=PA+；C,D.点P在线段AC上PC = AB,得 AB 制;或+PC,2AP = PC .答案：D二、填空题5在 ABC中，已知D是AB边上一点，若7D =2噌，CD =fA.入C ,则入解析：由ND=2db,cd-CA=2（cb-CD）? CD=1CA+2CB, 332所以入=2.32答案：26.在？ABCD 中，E, F 分别在 DC 和 AB 上，且 DE = ±DC , AF = 12AB ,则 AE 与 CF1313的关系是解析：设AD = a,A

10、B =b.DE=/c, AF 畤AB,AE = AD + DE =a+%,13CF = CB + BF = - a喜b= AE .13答案CF=-AE7.在？ABCD 中，AB =a, AD = b, AN = 3 NC , M 为 BC 的中点，则 MN.（用a, b表不）解析：由T T T T AN =3NC ,得 4 AN =3 AC =3（a+b）,= a+；b,所以 MN =；（a优质资料欢迎下载,、，111+ b) (a+ b)= ：a+ 4b.答案：-1a+4b线,8.如图，在三角形 ABC中，TB=a,G为ABC的重心，用a、b表示向量,BC = b, AD为BC边的中AG =

11、解析：D是BC的中点，G是重心,.元=, -"A- 1 = 0, 嬴3（累+靠）=3（制+2前）= 2a + 1b.答案：2a + 1b3333三、解答题9.已知a, b是两个不共线的非零向量，若 a与b起点相同，则实数 t为何值时，a,1tb,氯a+b）二向量的终点共线？3解：由已知，存在唯一实数 入1 一使 a tb= Ma- -(a + b), 3.，2入化简得(3L 1)a=(3t)b.由于a, b不共线，故、 13T = 0,3上2, 解得 ，lt=2,1 ,即t= 2时，三向量的终点共线.10 .设O是 ABC内部一点，且 OA + OC = 3OB ,求 AOB与 AOC的面积之比.解：如图，由平行四边形法则，知OA