(word完整版)高三数学试题

1、高三数学试题一填空题：1.假设某 10张奖券中有 1张，奖品价值 100 元，有二等奖 3张，每份奖品价值 50元；其余 6张没有奖 . 现从这 10张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 E 的 概率为 .2.已知对任意的 x ,0 U 0, ,y 恒成立，则实数 a 的取值范围为1,1 ，不等式 x2 已知一玻璃杯杯口直径 6cm, 杯深 8cm. 如图所示 , 其轴截 面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分 , 一个玻璃小球放入玻璃 杯中 , 若小球能够碰到杯底 , 求小球半径的范围 (不记玻璃杯的2 2xy 玻璃厚度 ). 1 y2 a 0xx223. 在 xOy 平面

2、上，将两个半圆弧 (x 1)2 y2 1(x 1) 和22(x 3)2 y2 1(x 3) 、两条直线 y 1和 y 1围成的封 闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 ，过 (0, y)(| y | 1) 作 的水平截面，所得截 面面积为 4 1 y2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆 柱和一个长方体，得出 的体积值为4.已知 y f (x)是定义在 ?上的增函数 , 且y f (x)的图像关于点 (6,0)对称. 若实数 x, y满 足不等式 f(x2 6x) f(y2 8y 36) 0, 则 x2 y2的取值范围 .6. 已知 O是ABC 外接圆的圆心

3、, A,B,C为 ABC 的内角 , 若cosB sinCuuurABcosC sinBuuurACuuur2m AO, 则 m 的值为答A. 1B.sinAC. cosAD. tanA选择题：7. 已知点列 An an,bn n Nx均为函数 y ax a 0,a 1的图像上，点列 Bn n,0 满足 AnBn任意连续三项能构成三角形的三边，则5 1 5 1 A) 0, U ,223 1 3 1 C) 0, U 228. 过圆 C：(x 1)2AnBn 1 ，若数列 bn 中a 的取值范围为（B）D）2（y 1）2 1 的圆心，作直线分别交5 1,13 1,11,5121, 32 12x、y

4、 正半轴于点 A、B，分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足 S S￥ S有（ ）（A） 0 条（B） 1条（C） 2 条（D） 3 条三解答题：S|, 则直线 ABAOB被圆1 的一条渐近线，点A 1,0 ,M m,n n 0 都2 x 9.已知直线 y 2x 是双曲线 C : 2 a在双曲线 C 上，直线 AM 与 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴相交的对称点为 N，直线 AN与 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否 存在定点 T，使得 TP TQ ?若存在，求出点 T的坐标 ;若不存在，请说明理由 .uuurRS ，试求直线 l 的uuur u

5、uur2）若过点 D 0,2 的直线 l 与双曲线 C 交于 R,S两点， 且 OR OS方程 .x2r10. 已知双曲线 C:x y2 1, 设过点 A( 3 2,0)的直线 l的方向向量为 e (1,k) .2(1) 当直线 l与双曲线 C的一条渐近线 m平行时, 求直线 l的方程及 l与 m的距离 ;(2) 证明: 当k 2时, 在双曲线 C的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l的距离为 6.211. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f (x)的全体：存在非零常数 k，对定义域中的任意 x， k等式 f (kx) f(x) 恒成立2(1)判断一次函数 f (x) axb(a 0)是否

6、属于集合 M；(2)证明函数 f(x) log2 x属于集合 M，并找出一个常数 k；(3) 已知函数 f(x)logax( a>1)与 yx的图象有公共点，证明 f(x)logaxM12. 设函数 f(x)和g(x)都是定义在集合 M上的函数 ,对于任意的 x M ，都有f(g(x) g( f (x)成立，称函数 f(x)与g(x)在M 上互为“ H函数”.(1)函数 f(x) 2x与g(x) sinx在M 上互为“ H 函数”，求集合 M ；(2)若函数 f (x) ax(a 0且a 1)与g(x) x 1在集合 M 上互为 “H 函数”, 求证： a 1 ；(3)函数 f(x) x

7、 2与g( x)在集合 M x|x1且x 2k 3，k N* 上互为“H函数”，当0 x 1时, g(x) log2(x 1)，且 g(x)在( 1,1) 上是偶函数 ,求函数 g(x) 在集合 M 上的解析式 .213.设数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn 1 2 anSn n N1）求出S1,S2,S3 的值，并求出Sn 及数列an 的通项公式；2）设 bn1an an 1 nN ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ；3）设 cnan n N，在数列 cn 中取出 m m N 且m 3项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn ，若对任意的数列 dn ，均有 d1 d2L d

8、n M ，试求 M 的最小值 .14.已知数列an 的各项均为 正数，其前n项的和为Sn，满足（p 1）Sn p2 an （ n N * ），其中 p 为正常数，且 p 1 （1）求数列 an 的通项公式；（2）是否存在正整数 M ，使得当 n M 时， a1 a4 a7a3n 2 a78 恒成立？若存在，求出使结论成立的 p 的取值范围和相应的 M 的最小值；若不存在，请说明理由；1（3）若 p，设数列 bn 对任意 n N * ，都有 b1an b2an 1 b3 an 2bn 1a2n1bna1 2nn 1，问数列 bn 是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，2 请说明理由15

9、.已知抛物线 C: y22px(p 0)上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于5。(1) 求抛物线的方程。(2)设直线 y kx b(k 0)与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2) ，且 | y1 y2 | a(a 0)，M 是弦 AB的中点，过 M 做平行于 x轴的直线交抛物线于点 D ， 得到 ABD ；在分别过弦 AD, BD的中点作平行于 x轴的直线交抛物线于点 E,F ，得到三 角形 ADE , BDF ；按此方法继续下去。解决如下问题：求证： a2 16(1 2 kb) ；计算 ABD的面积 S ABD ；根据 ABD 的面积的计算结果， k2写出 ADE , BDF

10、的面积； 并求出封闭图形的面积。请设计一种求抛物线 C与线段 AB 所围成封闭图形面积的方法，1.假设某 10 张奖券中有 1 张，奖品价值100 元，有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元；其余6 张没有奖 .现从这 10 张奖券中任意抽取2 张，获得奖品的总价值不少于其数学期望概率为2.知对任意的x,0U 0,y1,1 ， 不x2162x822xy 1 y2x实数a的取值范,84 23. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧(x1)21(x1)和(x 3)2 y2 1(x 3) 、两条直线1和1围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过 (0, y)(|

11、 y| 1)作 的水平截面，所得截面面积为 4 1y2 8，试利用祖暅原理、一个平放的圆的体积值为 。? 上的增函数 , 且 y f (x) 的图像关于点 (6,0) 对称. 若实数 x, y满 的取值范围 .f (x) 0; x 6时, f (x) 0;28y 36到 6的距离不超过比 x222y(及其内部 ), 结合图形可知 , 故其取值范围为 16,36 .如图所示 , 其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的6x到 6的距离 ,226x 8y 24 0 (x 3)2 (y 4)2 1,柱和一个长方体，得出4. 已知 y f (x)是定义在 足不等式 f(x2 6x) f(y2 8y 36) 0

12、, 则 x2 y2 解: 由对称性可知 f(6) 0, 由单调性可知 x 6时, 由 y2 8y 36 (y 4)2 20 6, 则 x2 6x 6, 结合草图可知 y2 即 y2 8y 36 6 6 (x2 6x), 整理得 x 其几何意义是以 (3,4) 为圆心 , 1为半径的圆 而 x2 y2 即为该区域内点到原点距离的平方5. 已知一玻璃杯杯口直径 6cm, 杯深 8cm.一部分 , 一个玻璃小球放入玻璃杯中 , 若小球能够碰到杯底 , 求小球半径的范围 (不记玻璃杯 的玻璃厚度 ).解 : 如图建系 , 抛物线方程为抛物线 y 8x ,x 3,3,9小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到

13、圆心C 距离最短的点由小球能碰到杯底 , 则有|CO| |CP|,设 P(x,y)(x 3,3) 在抛物线上 ,设小球的半径为 r, 则圆心的坐标为 C(0,r),|CP| x2 (y r)2y2 (89 2r)y r2, y 0,3 ,19由| CP |min |CO |, 即当 y 0 时, |CP|最小, 故 ( 2r) 所以 r (0, 9 .uuur2m AO , 则 m 的值为由 cosBsinCuuurABcosC uAuCur sinBuuur2m AO ,选择题：6. 已知 O是 ABC 外接圆的圆心 , A,B,C为 ABC的内角 , 若 cosB uuur cosC uu

14、urAB AC sinC sinB答 B A. 1B. sinA C. cosA D. tanA解: 不妨设外接圆的半径为 1, 如图建立直角坐标系 , 则有 AOB 2C, AOC 2B ,故可设 B(cos2C,sin 2C) , C(cos(2 2B ),sin(2 2B) , 结合诱导公式得 C (cos2 B, sin2B),uuur uuur则 AB (cos2C 1,sin 2C), AC (cos2B 1, sin 2B) ,cosBcosC得 (cos2C 1) (cos2 B 1) 2m,sinCsinB22 又cos2C 1 2sin 2 C , cos2B 1 2sin

15、 2 B , 上式化为 cosB 2 cosC 2( 2sin2 C)( 2sin 2 B) 2m,sinC sinB 整理得 m sinC cos B cosC sin B sin(B C) sinA, 故选 B.7. 已知点列 An an ,bn n NBn n,0 满x均为函数 y ax a 0,a 1 的图像上，点列足 AnBnC）AnBn 10, 5 120, 32 12若数列 bn 中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为8. 过圆 C：(x 1)2 (yB）5152 1,1511, 52 1312D）32 1,121, 32 121）2 1 的圆心，作直线分别交x、

16、y 正半轴于点 A、B， AOB被圆分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足 S S￥ S有（ ）（A） 0 条（B） 1条（C） 2 条（D） 3 条三解答题：S|, 则直线 AB9.已知直线 y2 x 2x 是双曲线 C : 2 a2 y b21 的一条渐近线，点A 1,0 ,M m,n n 0 都在双曲线 C 上，直线 AM 与 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 TP TQ ?若存在，求出点 T的坐标 ;若不存在，请说明理由uuur uuuruRuSur ，试求

17、直线 l 的(2) 若过点 D 0,2 的直线 l 与双曲线 C 交于 R,S两点， 且 OR OS 方程 .x则 1 k2x02 2y02 2, 由(1) 得 y0 kx0 3 2k 6 1 k2 , 设 t 3 2k 6 1 k 2 ,当k2 时, t 3 2k 6 1 k2 0, r10. 已知双曲线 C:x y2 1, 设过点 A(3 2,0)的直线l的方向向量为 e (1,k) .2(3) 当直线 l与双曲线 C的一条渐近线 m平行时, 求直线 l的方程及 l与 m的距离 ;(4) 证明: 当k2时, 在双曲线 C的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l的距离为 6.2(1)解: 双曲

18、线 C的渐近线 m:直线 l 的方程为 x 2y 3 2y0,0, 即 x2y0,6, (1)(2)t 3 2k 6 1 k22k2 13k21 k2直线 l 与 m 的距离为 d 3 2 6 .12(2)证法一 : 设过原点且平行于 l 的直线 b:kx y 0,则直线 l 与 b 的距离 d 3 2 |k |, 当k2 时 , d61 k22又双曲线C 的渐近线方程为 x 2y0,双曲线C 的右支在直线 b 的右下方双曲线C的右支上的任意点到直线l 的距离大于6,故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l 的距离为 6 . 证法二 : 假设双曲线右支上存在点 Q(x0,y0)到

19、直线 l的距离为 6 ,|kx0 y0 3 2k |1) 0 ( ),1) 0 ,l 的距离为 6 .将 y0 kx0 t 代入 (2)得 (1 2k2)x02 4ktx0 2(t 22 2 2Qk , t 0, 1 2k2 0, 4kt 0, 2(t22方程 ( )不存在正根 , 即假设不成立 , 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q, 使之到直线11. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f (x)的全体：存在非零常数 k，对定义域中的任意 x， k等式 f (kx) f(x) 恒成立2(1)判断一次函数 f (x) axb(a 0)是否属于集合 M；(2) 证明函数 f (x) log2

20、 x 属于集合 M，并找出一个常数 k；(3) 已知函数 f(x) logax( a>1)与 yx的图象有公共点，证明 f(x)loga xMk解：(1)若 f (x)axbM，则存在非零常数 k，对任意 xD均有 f (kx) akx b 2f (x) ，即 a(k1)x k 恒成立，得 k 1 0 无解，所以 f (x) M2 k 0，kk(2) log2 (kx) log2 x，则 log2k ， k 4， k 2时等式恒成立，所以 f (x)22log2 x Mx(3) 因为 y loga x ( a>1)与 yx 有交点，由图象知， y loga x 与 y 必有交点2k

21、k设logak ，则 f (kx) log a(kx) loga k log a x f(x)，所以 f (x)M2212. 设函数 f(x)和g(x)都是定义在集合 M上的函数,对于任意的 x M ，都有f(g(x) g( f (x)成立，称函数 f(x)与g(x)在M 上互为“ H函数”.(1)函数 f(x) 2x与g(x) sinx在M 上互为“ H 函数”，求集合 M ；(2)若函数 f (x) ax(a 0且a 1)与g(x) x 1在集合 M 上互为 “H 函数”, 求证： a 1 ；(3)函数 f(x) x 2与g( x)在集合 M x|x1且x 2k 3，k N* 上互为“H函

22、数”，当0 x 1时, g(x) log2(x 1)，且 g(x)在( 1,1)上是偶函数 ,求函数 g(x) 在集合 M 上的解析式 .(1)由 f(g(x) g(f(x)得 2sinx sin2x化简得， 2sinx(1 cosx) 0，sinx 0或cosx 1 2解得x k 或x 2k ，k Z，即集合 M x|x k k Z2分(若学生写出的答案是集合 M x|x k ,k Z 的非空子集，扣 1分，以示区别。 ) (2)证明：由题意得， ax1 ax 1(a 0且a 1 )，变形得， ax(a 1) 1，由于 a 011且 a 1， ax，因为 a x 0 ，所以0，即 a 1a

23、1 a 1(3)当 1 x 0，则 0 x 1，由于函数 g(x) 在( 1,1)上是偶函数则g(x) g( x) log 2(1 x) ，所以当 1 x 1时， g(x) log 2(1 |x|)由于 f(x) x 2与函数 g(x)在集合M 上“ 互为H函数”所以当 x M ， f(g(x) g(f(x) 恒成立,g(x) 2 g(x 2) 对 于 任 意 的 x (2n 1,2n 1) ( n N ) 恒 成 立 , 即 g(x 2) g(x) 2，所以 gx 2(n 1) 2 gx 2(n 1) 2, 即 g(x 2n) gx 2(n 1) 2，所以 g(x 2n) g(x) 2n,当

24、 x (2n 1,2n 1) ( n N )时 , x 2n ( 1,1)g(x 2n) log 2(1 |x 2n|) ，所以当 x M 时，g(x) g(x 2n) 2n g(x 2n) 2n log 2(1 | x 2n|) 2n213. 设数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn 1anSn n N .(1)求出 S1,S2,S3 的值，并求出 Sn及数列 an 的通项公式；(2)设 bn ( 1)n 1(n 1)2anan 1(n N )，求数列 bn 的前 n项和 Tn；(3)设 cn n 1 an n N ，在数列 cn 中取出 m m N 且m 3 项，按照原来的 顺序排列成

25、一列， 构成等比数列 dn ，若对任意的数列 dn ，均有 d1 d2 L dn M ， 试求 M 的最小值 .14.已知数列an的各项均为 正数，其前n项的和为Sn，满足(p 1)Sn p2 an ( n N* )，其中 p 为正常数，且 p 1 (1)求数列 an 的通项公式；( 2)是否存在正整数 M ，使得当 n M 时， a1 a4 a7a3n 2 a78 恒成立？若存在，求出使结论成立的 p 的取值范围和相应的 M 的最小值；若不存在，请说明理由；1(3)若 p，设数列 bn 对任意 n N * ，都有 b1an b2an 1 b3an 2bn 1a22n1bna1 2n n 1，

26、问数列 bn 是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是， 2 请说明理由解：（1）由题设知，( p 1)a1 p 2a1，解得 a1 p （ 1 分）2 由 ( p 1)Sn p22a n ,两式作差得， （ p 1） an 1 an1an 1，即 an 1a n ，(2 分)( p 1)Sn 1 p2an1,p所以，数列 an 是首项为p ，公比为11 的等比数列，（3 分）pn1n2所以 an p 11( n N* ）（ 4 分）pp125(3n 4) n(3n 5)761121(2)a1 a4 a7a3 n 2（ 5分）而 a78pppn(3 n 5)76121由题意， 1（ 6

27、分）所以，pp 当 p 1 时， 011，则 n(3n5) 76 ，即 3n2 5n152 0 ，p2解得 n 8（舍去）；（ 7 分）3 当0 p 1时， 1 1，则 n（3n 5） 76，即 3n2 5n 152 0， p2解得 n 8 或 n（舍去）此时存在满足题意的 M min 8 （ 8 分）3 min综上，当0p 1时，存在 M 的最小值为 8 ,使 a1a4a7a3 n 2a78 恒成立（ 10 分）（3）令n11，则 b1 a1 211 ，因为 a11，所以b1 1 （ 11 分）22121n2因为b1anb2 a n 1b3a n 2bn 1a2 bn a12n1所以b1a n 1b2 an 2b3a n 3bn 2 a2 bn1a12 n 111n(22n 2）（13 分）因为 an 的公比 1p2 ，所以在的两边同乘以2 得，b1anb2an1b3a n2 bn1a2 2n n 1（n2）（ 15 分）减去得， bn a1 n ，所以 bn n （ n 2），（ 17 分）n 1 2因为 b1 1，所以 bn 是等差数列，其通项公式为 bn n （ 18 分）减去得， bn a