10向量及其运算

1、向量及其运算 一、选择题 1. 下列各量中是向量的是（） A. 密度 B.体积 C.重力 C 2. 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的 （） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 B 3. A.平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为 0 D. 共线向量是指在一条直线上的向量 C 4. 化简AB AC BC 等于（） A. 2BC B.0 C. 2BC C 5. 如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC, CA 的中点, 则下列等式中成立的是（） A. FD + IDA = FA B. FD + DE +

2、FE = 0 C.DE + DA = EB D. DA + DE = ED A 6. 在平行四边形 ABCD 则下列各等式不成立 中，设AB= a,AD = b, AC = c, BD = d, 的是（） 7. A. a+ b = c C. b a = d A.向量 a 与 b 同向, B. a b= d D. c a= b 则向量 a+ b 与 a 的方向相同 D.质量 D.即不充分也不必要条件 D.2 AC B. 向量 a 与 b 同向，则向量 a+ b 与 b 的方向相同 C. 向量 a 与 b 反向，且| a| | b|，则向量 a+ b 与 a 的方向相同 D. 向量 a 与 b 反

3、向，且|a| v |b|，则向量 a+ b 与 a 的方向相同 D 8. 在平行四边形 ABCD 中，0是对角线的交点，下列结论正确的是 () A. AB= CD, BC = AD B. AO + OD = DA C. A0+ OD = AC + CD D. AB+ BC + CD= DA 9. 在四边形 ABCD 中，AB + CA + BD =() C 10. 如图，设 AB= a, AD = b, BC= c,则 DC =() A. a b + c B. b (a + c) C.a+ b + c D.b a+ c A 在正三角形 ABC 中，P, Q, R 分别是 AB, BC, AC

4、的中点，则与向量PQ 相等的向量是（ A. PR 与 QR B.AR与 RC C. RA与 CR D. PA与QR 12. 已知正方形 ABCD 的边长等于 1, AB = a, BC= b, AC= c,贝 U a+ b + c 的模等于() A.0 B.3 C. 2 D.2 2 D 13. 如图，在 ABC 中，AD, BE, CF 分别是 BC , CA, AB 边上的中线，G 是他们的交点，则 B 14. 设 e1, ei是两个不共线的向量，则向量 a= 2e1 ei与向A. AB B. BC C. CD D. BA 11. F 列等式中不正确的是（） T 2 T A. BG= 3BE

5、 B. DG = 1 T 2AG C.CG=- 2FG D.5DA+|FC = |BC C 量 b= e1+总（入 R）共线的充要条件 是（）1 B. 入=一 1 C. )= 2 D. 入=一 2 D 15. 有下面三种说法： 一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向两的基底； 一个平面内有无数多对不共线的向量可以作为表示该平面所有向两的基底； 零向量不可以作为基底中的向量 . 其中正确的说法是（） A. B. C. D. B 16. 设 0 是平行四边形 ABCD 对角线的交点，给出下列四组向量： AD 与 AB，DA 与 BC，CA 与 DC，0D 与 0B 其中可以作为这个

6、平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是 （） A. B. C. D. B 1 17. 设四边形 ABCD 中，有 DC = 2AJB,| AD| = | BC|，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C C.等腰梯形 D.菱形 18. 4( a b) 3( a+ b) b=() A. a 2b B. a C. a 8 b D. a 6b C 19. 下列命题中是假命题的是 （） k,满足 a = kb, 则 a, b 共线 A.对于两个非零向量 a, b,若存在一个实数 B. 若 a = b,则|a| = | b| C. 若 a, b 是两个非零向量，则|a+ b| |a b| 1

7、 D. 若两个向量 a, b 方向相同，贝 U |a+ b| = | a| + | b|已知 A(0, 0) , B( , C( 2, |)，则下列计算正确的是() 设向量AB = (2 , 3)，且点 A 的坐标为(1 , 2)，则点 B 的坐标为() 3 1 设 a=(2 , sin a , b= ( cos a -),且 a / b,则锐角 a=() 2 3 A.30 B.60 C.45 D.75 C 与向量 a = ( 5 , 4) 一疋平仃的向量是 () 5 4 A.( 5k , 4k) B.( - d k) C.( 10 , 2) D.(5 k , 4k) 20. 21. 22.

8、23. 24. 25. 26. A.向量 AB 的坐标是(一 2，3) 1 B. 向量 BC 的坐标是(0, 3) C. 向量 6AC 的坐标是(3 , 4) 1 D.向量 AC+ AB 的坐标是(0 , 3) 3 A. (1 , 1) B.( 1, 1) C 下列各组向量中，共线的是 () A. a= ( 2, 3) , b = (4 , 6) (1 2) b C. (3 , 5) D.(4 , 4) a 若三个点 P(1 , 1) , A(2 , 4), B(x , 9)共线,则 x=( A. 1 B.3 D.51 A.正方形 D 四点的坐标依次为 (1, 0) , (0, 2) , (4

9、, 3), (3, 1),则四边形 ABCD B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 A. 2m n B.2 n m C. n m D. m + n B 28. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 的坐标分别是(一 2, 1) , (3 , 4) , ( 1, 3), 则第四个顶点 D 的坐标为() A.(2 , 2) B.( 6 , 0) C.(4 , 6) D.以上都不对 B 29. 已知非零向量 a 与 b 反向，下列等式成立的是() A.| a| | b| = | a b| B.| a + b| = | a b| C. | a| + | b| = | a b| D.| a

10、| + | b| = | a+ b| C 30. 点 M(4 , 3)关于点 N(5 , 6)的对称点为() D 31. 设线段 AB 的长为 6cm ,若点 P 在 AB 的延长线上，| BP| = 1cm ,贝 U P 分有向线段 AB 的比 为() A.7 B. 6 C. 5 D. 7 D 32. 已知点 A(m , n) , B( m , n),点 C 分有向线段 AB 的比为一 2,则点 C 的坐标为() A.( 3m , 3n) B.( m , n) C.(3 m , 3n) D.( m , n) A 33. 已知点 P 分有向线段 AB 的比为一 3,则点 A 分 BP 的比为(

11、) 27. 若 P, Q, R, S 四点共线，且依次排开, R 是 QS 的中点，| PQ| = m, | PR| = n,则 | PS| A.( 4 , 3) B.( 2 , 0) C.( 1 , 3) D.(6 , 9) 4 - 3 - 34. 设点 P 分有向线段 AB 的比为入且点 P 在有向线段 AB 的延长线上，则入的取值范围是()1 已知三点 A( 1, 0) , B(5 , 6) , P(3 , 4)，那么点 P 分有向线段 AB 的比为() 已知 ABC 的两个顶点 A(3 , 7)和 B( 2, 5)，若 AC 的中点在 x轴上，BC 的中点在 y 轴 上，则顶点 C 的

12、坐标为() 的值为() A.4 或一 2 B. 3 或 1 39. 3 - 2 - B 5 - 2 -D. 3 设点 P 分有向线段 AB 的比为 入且 |AB| = 3| BP| ,贝 U 冶( 40. 已知点 A(4, 9)与 B( 2 , 3),则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 AB 的比X=() 1 B.2 C.2 D.3 35. A.( g , 1) B.( 1, 0) C.( g , D.( g, 2) 1 A. 3 1 B.2 C.2 D.3 36. 37. 38. A.(2 , 7) 点 P 分有向线段 3 AG 已知点 M( 2 , B.( 7, 2) AB 的比为3

13、, 7 B.3 3) , N(1 , C.( 3, 5) 则点 A 分 BP 的比为() 7 C. 7 D.(5 , 3) 3 D.7 1),点 P(x , p 在线段 MN 的中垂线上，则点 P 的横坐标 x C. 4 或 2 D. 3 或一 1 41.平行四边形的三个顶点是（4 , 2） , （5 , 7） , （ 3, 4），则第四个顶点不可能是 （） 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. A.(12 , 5) B.( 2, 已知菱形的三个顶点是 A（a, A.(2 a, b) 9) b)，B( b. B.( a b, a+ b) F面有四个关于向量数量积的关系

14、式: 0 0= 0:心 b) c= a 其中正确的是 A. 若 a bv 0, A.0 , 90 已知| a| = 8, A.4 ,3 已知| a| = 6, A.3 3 B. 则 a 与 b 的夹角 B.90 -(b c); C.( 4, 1) D.(3 , 7) a），C（0，0），则它的第四个顶点是 C.( a + b, b a) a b= b a;| a C. 0的取值范围是（） 180 C.(90 , 180 ) D.( a b, D. b a) D.(90 , 180 e 为单位向量, B.4 e 为单位向量, B.3 当它们之间的夹角为 60 时，a 在 e 方向上的投影为（）

15、C.4 _2 D.8 +于 当它们之间的夹角为 120 时, 设 e1, e2是两个平行的单位向量，则下列结论正确的是 （） A. e1 e2= 1 B. e1 e2= 1 C.| e1 e2| = 1 已知向量 a, A.60 e=() D. 3 3 D.| e1 e2| v 1 b 满足 a b= 40, |a| = 10, | b| = 8,则向量 B. 60 C.120 a, b 的夹角为（） D. 120 如果 a b= a c,且 a丰0，则（） A. b= c C. bc D. b, c 在 a 上的投影相等 已知 |a| = 3, | b| = 4, (a+ b) ( a+ 3

16、b) = 33，则 a 与 b 的夹角为()50. A.30 B.60 C.120 D.150 51. 15 已知 ABC 中，CB= a, CA = b , a b v 0 , SABC= , | a| = 3 , | b| = 5，贝 U a 与 b 的夹角 52. 53. 54. 55. A.30 B. 150 若 |a b| = 41 203 , | a| = 4 , B. 10 .3 A.10 .3 设 a= (2 , 3), A. 3 已知 a= (3 , A.45 C.150 | b| = 5 ,贝 U a b=() b = (x, 2x)，且 3a b= 4,贝 U x=( 1

17、 B. 3 C.3 0), b = ( 5, 5)，则 a 与 b 的夹角为( B.60 C.135 D.30 或 150 D.10 1 D.3 D.120 已知 A(2 , 1), B(3 , 2) , C( 1 , 4)，则 ABC 是( A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 56. 设 a= (X1, y, b= (X2, y2)，则下列命题种错误的是 () A.| a| = ,X12+ y12 B. b = ,X22 + y22 C. a b= X1X2 + 屮y D. a 丄 b X1X2 + y1y2= 0 57. 已知 a= (3 , 4), b

18、= (2 , 1),如果 a + xb 与一 b 垂直，贝 U X的值为() 23 A.亍 3 B.23 C.2 58. 下面与向量(3 , 5)垂直的向量是() A.(5 , 3) B.( 5, 3) C.(3 , 5) D.( 3, 5) B 59. 若 a, b 是两个非零向量，则下列命题正确的是 () A. a 丄 b b a= 0 B. a b= | a| ) b| C. ( a b) c= a ( b c) D. a b = | a| ) b| A 60. 点 A(3 , 5)与点 B( 2, 4)的距离是() A.10 B. . 26 C.2 . 10 D.8 B 61. 以 0

19、(0, 0), A(a, b) , B(b+ a, b a)为顶点的三角形是() A.直角不等腰三角形 B.等腰非直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 D 62. 已知向量 i = (1 , 0), j = (0 , 1)，则与 2i + j 垂直的向量是() A.2i j B. i 2j C.2 i + j D. i + 2j B 63. 按向量 a 将点 P(0 , m)平移到 P , P的坐标为(m, 0)，则 a =() A 64. 按向量 a 将点(2, 3)平移到(1 , 2),则 a 把点(一 7 , 2)平移到() A.( 6 , 1) B.( 8 , 3) C.(

20、6 , 3) D.( 8 , 1) B 65. 将函数 y= x+ 2 的图像按 a = (6 , 2)平移后的图像的解析式为 () A. y= x+ 10 B.y= x 6 C. y= x+ 6 D. y= x 10 B 66. 将图形 F 按 a= (h , k)(其中 h0 , k0)平移，就是将图形 F() A. 向 x轴的正方向平移 h个单位，同时向 y 轴的正方向平移 k 个单位 A.( m, m) B.(0 , m) C.( m , m) D.( m, m) B. 向 x轴的负方向平移 h个单位，同时向 y 轴的正方向平移 k 个单位 C. 向 x轴的负方向平移 h个单位，同时向

21、 y 轴的负方向平移 k 个单位 D. 向 x轴的正方向平移 h个单位，同时向 y 轴的负方向平移 k 个单位 A 67. 已知 A(1 , 2) , B(4 , 2)，则向量 AB 按向量(一 1, 3)平移后得到的向量是() A.(0，5) B.(3，5) C.( 4, 3) D.(2 , 3) D 68. 将函数 y= x2 + 4x+ 5 的图像按向量 a 经过一次平移后得到 y = x2的图像，贝 U a =() A.(2 , 1) B.( 2, 1) C.( 2, 1) D.(2 , 1) A 69. 若 OA= a,OB = b，则/ AOB 平分线上的向量 OM 为() A.裔

22、+廿 B.亍 a?+吉(入由OM确定) C a + b D |b|a + 丨丨 a| b C.|a + b| . |a| + | b| B 2 2 70. 将椭圆 9x + 16y 18x 64y 71 = 0 按向量 a 平移，使中心与原点重合，则 a =() A.(1 , 2) B.( 1, 2) C.( 1, 2) D.(1， 2) B 71. 设 a, b, c 是任意的非零平面向量，且互不共线，则 (a b) c (c a) b = 0 | a| | b| v| a b| (b c) a (c a) b 不与 c 垂直 (3a+ 2b) (3 a 2b) = 9| a|2 4| b|

23、2 其中是真命题的有() A. B. C. D. 二、填空题 72. 设向量 a = (2 , 1)，向量 b 与 a 同向且| b| = 2聽，贝 U b = _ (4 , 2) _ 73. 设向量 a = (x 2, 3) , b= (4 , x 3) , a / b 且 a, b 方向相同，贝 U x= 6 _ . 74. 化简(x y)( a+ b) (x y)( a b) = _ 2(x y) b _. 75. 向量 a, b 满足|a| = 8, |b| = 12，则|a + b|的最大值是_20 _ ，最小值是 _ 4_1 ABC 中，AE = AB , EF / BC 交 AC

24、 于 F 点，设 AB= a, AC= b,则用 a, b 表示向量 BF = 5 1 - 5b _ a - 设平面内有四边形 ABCD 和点 O, OA = a, OB = b,OC = c, OD = d,若 a+ c= b+ d，则四边 形 ABCD的形状是 _ 平行四边形 _ . 已知| a| = 2, | b| =寸 2, a 与 b 的夹角为 45，要使 力一 a 与 a 垂直，则 k= _ 2 . ABC 中，AB= a, AC = b，用向量运算写出 ABC 的面积公式 正方形 OABC 的边长为 a, D, E 分别是 AB, BC 的中点，则 已知 A, B, C 三点共线

25、，且 A(3 , - 6) , B( 5, 2)，如果 C 点的横坐标为 6,贝 U C 点的 纵坐标为 _ 9 _ 15 在 ABC 中，AB ACV 0, ABC= 一ABI = 3ACI = 5，则/ BAC = 150 4 设点 A(4 , 1) , B( 2, 5)，则线段 AB 与 y 轴的交点 P 的坐标为 已知点 A( 1. 4) , B(5 , 2)，有向线段 AB 上的三等分点顺次为 P1, P2，贝卩 A 分 PP 所成 1 的比为 _ _ 点(x, y)关于点(y, x)的对称点的坐标为 _ (2y x, 2x y) _ 设点 A(1 , 1) , B( 4, 5)，延

26、长线段 AB 到 C,使 AC= 3AB，则 C 点的坐标为 _( 14, 17) 已知 | a| = 3, | b| = 5,如果 a / b，则 a b =_ 15 _ 已知 | a| = 2sin15 , | b| = 4cos15，如果 a 与 b 的夹角为 30，贝 U a b =_ y3 _ 在菱形 ABCD 中，(AB + AD)(BA+ BC)= _ 0 _ 在厶 ABC 中，已知|AB| = | AC| = 4，且 AB AC= 8，则这个三角形的形状是 等边三角形76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89.

27、90. cos/ DOE 11 (0, 3) 已知 A(2 , - 2) , B(5 , 1) , C(1 , 4)，则/ BAC 的余弦值为 已知 ABC 的三个顶点为 A(4 , 5) , B( 2,- 1) , C(7 , 2) , M 分 BA 为 1 : 2, N 分 AC 为 1 : 2，贝 y SAMN : SABC = _ 2 : 9 _ 将函数 y= x2-2x+ 2 的图像按 a= ( - 1,1)平移，则平移后的图像对应的函数解析式为 y 2 =x + 2 _ 将函数 y = 4x-8 的图像 I按向量 a 沿水平方向平移到 r ,1的函数表达式为 y= 4x，则向 量

28、a= _ ( -2, 0) _ 把一个函数的图像按向量 a = (3 , - 2)平移后得到的图像对应的函数解析式为 y= Iog2(x+ 3) + 2,则原来的函数解析式为 _ y= Iog2( x+ 6) + 4 _ 已 知 OP1+ OJP2+ 赤3= 0, | OP1I = | OP2I = | (5P3| = 1，则 OP1、OP2、(5P3 两两 的 夹角为 120 1 在 ABC 中，已知 a = 3 寸 2, cosC= 3, SABC =令，贝 V b= _ 2 寸 3 _ 3 三、解答题 如图，已知 ABC 中，M , N , P 顺次是 AB 的四等分点，CB = e1,

29、 CA = B,试用 8, e2表 示CM , CN, CP 答：=4e1+4e, CN=2e1+壮苗=4e1+4e 在静水中划船的速率为 40m/ min，水流的速率为 20m/min，如果船从岸边 A 处出发，沿着垂直于水流 的航线到达对岸，那么船的行进方向应指向何处？ 答：船的前进方向应向上游且与河岸的夹角为 60 ABCD 是一个梯形， AB / CD，且 AB = 2CD , M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，已知 AB =1T, AD =，试用 a , b 分别表示 DC, Be, MN BC=百-1孑,MN=4 宅百 5 74 - 74 - 1 ABC 中，D、E 分别是

30、AB、AC 的中点，求证： DE / BC 且 DE = _BC91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 证： D、E 分别是 AB、AC 的中点, AD = 2AB, AE = 1AC DE = AE AD = 1( AC-AB) = 1BC 且 D、B、C 不共线 1 DE / BC 且 DE = BC 2 只需证 E、E重合即可, 设 0A= a , 0B= b，贝 U B D = _ a , O D = b + _ a 3 3 / BE = OE Db, EA= Da OE , 3BE = EA 3(OE b ) = a OE OE =

31、 i(i+3 百)=3(卞+3i) 4 4 3 OE = 4OD , 0、E、D 三点共线，即 E、E重合 1 BE= 4BA 103. 证明：三角形的三条中线交于一点，且交点是每一条中线的三分点 104. 求证：直径所对的圆周角为直角 . 105. 证明：三角形的三条高线交于一点 . 106. 已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1 , 1) , B(5 , 3) , C(4 , 5)，直线 l / AB 交 AC 于 D, 且 I平分 ABC 的面积，求 D 点的坐标. 答：(4 322, 5 2 述) 102.平行四边形 OACB 中, 1 BD = 3BC, OD 与 BA 交于

32、E,求证: 证：设 E 是 AB 上一点，且 BE = ：BA 1 BE=4BA 107. 已知平行四边形 ABCD 中，A(0, 0) , B(3 , 1) , C(4 , 3) , D(1 , 2) , M、N 分别是 DC、 AB 的中点，求AM, CN 的坐标，并判断 AM , CN 是否共线. 5 5 5 5 答：丽=(2，2)， = ( 2， 2)；共线. 108. 已知 ABC 中，A(7 , 8) , B(3 , 5) , C(4 , 3) , M、N 分别是 AB、AC 的中点，D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于 F，求 DF. 答：(1.75 , 2) 109. 已

33、知两个向量 a 和 b,求证：| a+ b| = | a b|的充要条件是 a 与 b 垂直. 110. 已知两个力 F1与 F2的夹角是直角，且它们的合力 F 与 F1的夹角为 60 , |F| = 10N，求 F1 和 F2的大小. 答：|F1| = 5N, I F2I = 5 3N 111. 已知四边形 ABCD 的顶点为 A(2 , 1) , B(5 , 4) , C(2 , 7) , D( 1 , 4),求证：四边形 ABCD 是正方形. 112. 已知 ABC 中，A(2 , 1) , B(3 , 2) , C( 3, 1) , AD 是 BC 边上的高，求 AD 及 D 点 坐标

34、. 答：AD = ( 1, 2), D(1 , 1) 16 8 113. 已知 ABC 的顶点 A(6 , 6),重心为 G(y , 3)，AC 边上的中点为 M(7 , 4),求 BC 边的 长. 答：2 10 114. ABC 的三个顶点为 A(4, 1) , B(7 , 5) , C( 4 , 7).试求： 三边的长；(2) AB 边上的中线 CM 的长；/ A 的角平分线 AD 的长. 答： | AB| = 5 , | BC| = 5 5 , |AC| = 10 CM = 一厂 102 AD = 3 3答：一 115.已知等边三角形 ABC 的边长为 1, AB =c , BC=a ,

35、 CA =b，求 a b+ b c+ c a 116. 以原点 O 和点 A(4 , 2)为两个顶点的等腰直角三角形 OAB 中，/ B= 90，求点 B 的坐标 和向量 AB. 答：B(1 , 3) , AB= ( 3, 1)，或 B(3 , - 1) , AB = ( 1, 3) 117. 已知抛物线 y= x2 2x 8 求这条抛物线的顶点坐标； 将这条抛物线平移到顶点与 (2 , 3)重合，求函数的解析式； 将这条抛物线沿 y 轴平移到通过原点时，求函数的解析式 答：(1 , 9) 2 y= x 4x+ 1 y= x2 + 6x 或 y= x2 6x 118. 已知 a= (1 , 2

36、), b = ( 3, 2)，当 k 为何值时 ka + b 与 a 3b 垂直？ ka + b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 答：k= 9 k= ，反向 119. 已知 ABC 的顶点 A(0 , 0) , B(4 , 8) , C(6 , 4)，点 M 内分 AB 所成的比为 3, N 是 AC 边上的一点，且 AMN 的面积等于 ABC 面积的一半，求 N 点的坐标. 答: (4, - 3) 120. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A( 2, 1) , AB 的中点 M(3 , 0) , CD 的中点 N( 1 , 2), 求B、C、D 的坐标. 答：B(8 , 1) , C(4, 3), D( 6. 1) 121 将函数 y= f(x)的图像上一点 P(1 , 0)变为 P(2 , 0),求将此函数按上述平移得到的新的 解析式 答：y= f(x 1) 122. 将函数 y= x2进行平移，使得到的图形与函数 y = x2 x 2 的图