07直线方程(教案教学设计导学案)

1、个性化教学辅导教案学生姓名年级高二学科数学上课时间2017 年 月 日教师姓名课题人教 A 版必修 2 第三单元 直线方程教学目标1.掌握直线的五种形式方程，能够辨析五种形式的方程的优缺点，能将五种形式互化， 灵活选择合适的方法去求解直线方程；2 .灵活应用相关知识解决头际冋题.教学过程教师活动学生活动1 .直线的点斜式方程 y yi= k(x xi)()A 可以表示任何一条直线B .不能表示过原点的直线C .不能表示与坐标轴垂直的直线D .不能表示与 x 轴垂直的直线答案：D2.直线 I 经过点 P(2, 3)，且倾斜角a=45。，则直线的点斜式方程是()A . y+ 3= x 2B . y

2、 3 = x+ 2C. y+ 2= x 3D . y 2 = x+ 3答案：A3.直线扌4= 1 在两坐标轴上的截距之和为()A . 1B . 1C . 7D . 7答案：B4.直线 5x 2y 10= 0 在x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则有()A . a = 2, b = 5B . a= 2, b= 5C . a= 2, b= 5D . a = 2, b= 5答案：B5.三角形的顶点坐标为 A(0, 5), B( 3,3), C(2,0)，求直线 AB 和直线 AC 的方程.解：直线 AB 的万程为 8x+ 3y+ 15= 0,直线 AC 的方程为 5x 2y 10= 0

3、.1._经过点(一 5,2)且平行于 y 轴的直线方程为_ .直线 y= x+ 1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90后得直线 I，则直线 I 的点斜式方程为_.(3)求过点 P(1,2)且与直线 y= 2x+ 1 平行的直线方程为 _.答案(1)x= 5(2)y 4= (x 3) (3)2x y= 02 . (1)倾斜角为 150 ,在 y 轴上的截距是一 3 的直线的斜截式方程为(2)已知直线 I1的方程为 y= 2x+ 3, I2的方程为 y= 4x 2，直线 I 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线I 的方程.解(1)y=垄3(2)由斜截式方程知直线 I1的斜率

4、 k1= 2,又TI / I1的斜率 k= k1= 2由题意知 I2在 y 轴上的截距为一 2,AI 在 y 轴上的 截距 b = 2,由斜截式可得直线 I 的方程为 y= 2x 2.3.三角形的三个顶点是 A( 1,0), B(3, 1), C(1,3),求三角形三边所在直线的方程.y 一 一 1x 3解由两点式，直线 AB 所在直线方程为一 一=13，即x+ 4y+1= 0.即 2x+ y 5= 0.即 3x 2y + 3= 0.44.直线 I 过点 P3，2，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于(1) 当厶 AOB 的周长为 12 时，求直线 I 的方程.(2) 当厶 AOB 的面积为

5、6 时，求直线 I 的方程.解(1)设直线 I 的方程为x+ y = 1(a0, b 0), a b由题意知，a+ b+ = a2+ b2= 12.同理，直线 BC 所在直线方程为y 3 =1 3=x 13 1，直线 AC 所在直线方程为yjx 1_1 1,A, B 两点，O 为坐标原点.又因为直线 I 过点 P 4, 2 ,42所以 C +1，即 5a2- 32a + 48= 0,3a b12a1= 4,解得b1= 3a2= 了， 或 9b2= 2，所以直线 I 的方程为 3x+ 4y 12 = 0 或 15x+ 8y- 36 = 0.(2)设直线 I 的方程为X+ b = i(a0, b0

6、),42由题意知，ab= 12,+= 1,3a b消去 b,得 a2-6a + 8= 0,a1= 4,a2= 2,解得或b1= 3b2= 6,所以直线 I 的方程为 3x+ 4y- 12 = 0 或 3x+ y- 6 = 0.5.(1 )已知直线 1 仁 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0 与直线 I2： mx+ 3y 2= 0 平行，求 m 的值；(2)当 a 为何值时，直线 11： (a + 2)x+ (1 -a)y-1 = 0 与直线 l2: (a- 1)x+ (2a + 3)y+ 2=0 互相垂直？解(1)法一：由 l1： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,I2： mx+ 3y- 2

7、= 0,1当 m= 0 时，显然 I1与 I2不平行.2当 mz0 时，11/ I2,4-2.解得 m= 2 或 m=- 3./ m 的值为 2 或3.法二：令 2X3= m(m+ 1),解得 m=- 3 或 m= 2. 当 m=-3 时，I 仁 x-y+ 2= 0, I2： 3x-3y+ 2=0, 显然 I1与 I2不重合， |1/ I2.同理当 m= 2 时，I1: 2x+ 3y+ 4= 0, I2： 2x+ 3y- 2= 0, I1与 12不重合，I1/ I2, m 的值为 2 或一 3.法一：由题意，11丄 12,1若 1 a = 0，即 a = 1 时，直线 11： 3x- 1 =

8、0 与直线 I2： 5y+ 2= 0,显然垂直.32若 2a + 3= 0,即 a=- ?时，直线 li: x+ 5y 2= 0 与直线 12： 5x 4= 0 不垂直.ma + 23若 1 a丰0，且 2a+3 工 0，则直线 li,- 12的斜率 ki,k2都存在，ki= ,k2= 1 aa 一 12a+3，当丄 12时，k1k2= 1,即斗 口 = 1,1 a 2a + 3综上可知，当 a = 1 或 a = 1 时，h 丄 b.法二：由 11丄 12,所以(a + 2)(a 1)+ (1 a)(2a + 3)= 0,解得 a= 1.将 a = 1 代入方程，均满足题意.故当 a= 1

9、或 a= 1 时，直线丨1丄|2.【知识点 1】1.直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线 I 过定点 P(x0, yo),斜率为 k,则把方程 y yo= k(x xo)叫 做直线 I的点斜式方程，简称点斜式.说明：如图所示，过定点P(x。，y。)，倾斜角是 90。的直线没有点斜式，其方程为xX0= 0,或 x= X0.2.直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线 I 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0, b)，则方程 y= kx+ b 叫做直线 I 的斜截式方程，简称斜截式.说明：一条直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距.倾斜角 是直角的直线没

10、有斜截式方程.几点说明1.关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点 P(x0,y0)和斜率 k;斜率必须存在.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.方程 y y0= k(x X0)与方程 k =；不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉 点 P(x0, y0)的一条直线.(3)当 k 取任意实数时，方程 y y0= k(x x)表示恒过定点(x, yo)的无数条直线.所以 a= 1.2 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y= kx+ b 的形式，但有区别，当 Q 0 时，y= kx+ b 即为一次函数；当 k= 0 时，y= b 不是一次函数，一次函数 y= k

11、x+ b(k 0)必是 一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零【知识点 2】直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件Pi(xi, yi)和 P2(X2, y2)，其中xi丰X2, yi工 y2在 x 轴上截距 a，在 y 轴上截距 b图形方程y yix xiy2 yiX2 xia+b= i a b适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线几点说明v yix xi1 要注意方程= 和方程(y yi) (xi)= (x xi)(y2 yi)形式不同，适用范y2 yiX2 xi围也不同.前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形

12、式方程，适用于过任何两点的直线方程.2.直线方程的截距式为x+ y= i , x项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的a b分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“ + ”相连，等式的另一端是i，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如 34=i，3+y=i 就不是直线的截距式方程【知识点 3】1.直线与二元一次方程的关系(1) 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x, y 的二元一次方程表示.(2) 每个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线.2.直线的一般式方程的定义我们把关于 x, y 的二元一次方程 Ax+ By + C = 0(其中 A, B 不同时为

13、 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.几点说明i.求直线的一般式方程的策略BCB CA(1) 当 A丰0 时，方程可化为 x+A+A= 0,只需求A,人的值；若 B丰0，则方程化为BCACx+ y+B = o,只需确定B, B 的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2) 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.2.直线的一般式转化为其他形式的步骤(1) 一般式化为斜截式的步骤1移项得 By=- Ax C;2当 BM0 时，得斜截式：y= Ax ?B B(2) 一般式化为截距式的步骤1把常数项移到方程右边，得

14、Ax+ By= C;2当 CM0 时，方程两边同除以一 C，得 A：+罠=1;C C3化为截距式：x+ y=1.C CA B由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.【例题剖析】【例 1】(1)经过点(5,2)且平行于 y 轴的直线方程为 _ .直线 y= x+ 1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90后得直线 I，则直线 I 的点斜式方程为_ .(3) 求过点 P(1,2)且与直线 y= 2x+ 1 平行的直线方程为 _.答案(1)x= 5 (2)y 4= (x 3) (3)2x y= 0【例 2】(1)倾斜角为 150

15、。，在 y 轴上的截距是3 的直线的斜截式方程为(2)已知直线 I1的方程为 y= 2x+ 3，I2的方程为 y= 4x 2，直线 I 与 l1平行且与 I2在 y 轴上的截距相同，求直线 I 的方程.解(1)y=_33x 3(2)由斜截式方程知直线 11的斜率 k1= 2，又TI / I1，.|的斜率 k= k1= 2由题意知 I2在 y 轴上的截距为一 2，AI 在 y 轴上的 截距 b= 2，由斜截式可得直线 I 的方程为 y= 2x 2.【例 3】三角形的三个顶点是A( 1,0)，B(3， 1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程.解由两点式，直线 AB 所在直线方程为 y-1=

16、3 即卩 x+ 4y+ 1 = 0.0 _ _ 1 一 I 一 3即 2x+ y_ 5= 0.直线 AC 所在直线方程为即 3x_ 2y + 3= 0.4【例 4】直线 I 过点 P 3，2，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点，O 为坐 标原点.(1) 当厶 AOB 的周长为 12 时，求直线 I 的方程.(2) 当厶 AOB 的面积为 6 时，求直线 I 的方程.解(1)设直线 I 的方程为扌+ b= 1(a0, b 0),由题意知，a+ b+、：.：:a2+ b2= 12.4又因为直线 I 过点 P 3, 2 ,42所以 一+= 1，即 5a2_ 32a + 48= 0,

17、3a b12a2=a1= 4,5解得或b1= 3_9b2= 2，所以直线 I 的方程为 3x+ 4y _ 12 = 0 或 15x+ 8y_ 36 = 0.(2)设直线 I 的方程为 x + b = 1(a 0, b 0),42由题意知，ab= 12,+-= 1,3a b消去 b,得 a2_ 6a + 8= 0,a1= 4,a2= 2,解得或b1= 3b2= 6,所以直线 I 的方程为 3x+ 4y _ 12 = 0 或 3x+ y_ 6 = 0.【例 5】(1)已知直线 I 仁 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0 与直线 l2: mx+ 3y_ 2= 0 平行，求 m 的值；同理，直线y 3

18、 =一 1 一 3=x_ 13_ 1，(2)当 a 为何值时，直线 I1: (a + 2)x+ (1 _ a)y_ 1 = 0 与直线 l2: (a_ 1)x+ (2a + 3)y+ 2=0 互相垂直？解法一：由 li： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,12： mx+ 3y 2= 0,1当 m= 0 时，显然 li与 12不平行.2当 mM0 时，li/ |2,解得 m= 2 或 m= 3./ m 的值为 2 或3.法二：令 2X3= m(m+ 1),解得 m= 3 或 m= 2. 当 m= 3 时，I 仁 x y+ 2= 0, I2：3x 3y+ 2= 0, 显然 li与|2不重合， |

19、1/ |2.同理当 m= 2 时，li: 2x+ 3y+ 4= 0, I2： 2x+ 3y 2= 0, li与 I2不重合，li/ l2, m 的值为 2 或一 3.法一：由题意，li丄 12,1若 i a = 0，即 a = i 时，直线 li： 3x i = 0 与直线 12： 5y+ 2= 0,显然垂直.32若 2a + 3= 0,即 a= 3 时，直线li: x+ 5y 2= 0 与直线 l2: 5x 4= 0 不垂直.a i ,2a+3,当 li丄 12时，kik2= i,综上可知，当 a = i 或 a = i 时，li丄|2. 法二：由 li丄 12,所以(a+ 2)(a i)+

20、 (i a)(2a + 3)= 0, 解得 a= i.将 a =1代入方程，均满足题意. 故当 a= i 或 a= i 时，直线 li丄|2.i.若直线 I 过点(2,i)，分别求 I 满足下列条件时的直线方程：(i)倾斜角为 i35平行于 x 轴；(3)平行于 y 轴；(4)过原点.若 i aM0，且 2a+3M0，则直线 h,匕的斜率 ki, k2都存在,ki=a+ 2i aa+ 2i aa i2a + 3=i,所以 a= i.；(2)m解：直线的斜率为 k= tan 135 =- 1,所以由点斜式方程得y 1 = - 1x(x 2),即方程为 x+ y 3 = 0.平行于 x 轴的直线的

21、斜率 k= 0,故所求的直线方程为y= 1.过点(2,1)且平行于 y 轴的直线方程为 x= 2.1过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率 k=2，1故所求的直线方程为y=；x.2.写出下列直线的斜截式方程:(1) 直线斜率是 3,在 y 轴上的截距是3;(2) 直线倾斜角是 60,在 y 轴上的截距是 5;直线在 x 轴上的截距为 4,在 y 轴上的截距为2.解：(1)y= 3x 3.Tk=tan 60 =.3, y = . 3x+5.直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为一 2 ,直线过点(4,0)和(0,3 .已知直线经过点 A( 3, 1)和点 B(3,7)，则它在 y

22、轴上的截距是_答案：34._ 若点P(3, m)在过点 A(2, 1), B( 3,4)的直线上，贝 U m=_答案：25.求经过点A( 2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1 的直线方程.解：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 a, b,1则有 S=2|a b|= 1.ab= 士2设直线的方程是：+ b=1.22直线过点(-22)，代入直线方程得 a+2=12a a + 2.2),2 00 41 12，y= ?x 2. ab =a?2=2当 a2：；=2时，化简得齐汨2=0，方程无解;当 a：2 =2时,化简得 a2 a 2 = 0,解得a=1,b= 2,或a=2,b= 1.直线方

23、程是即 2x+ y+ 2= 0 或 x+ 2y 2 = 0.6. (1)求与直线 3x+ 4y+ 1 = 0 平行且过点(1,2)的直线I 的方程;求经过点 A(2,1)且与直线 2x+ y 10 = 0 垂直的直线 解：(1)法一：设直线 I 的斜率为 k,I 的方程.3TI 与直线 3x+ 4y + 1 = 0 平行， k=4.又Tl 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y 2 =4(x 1)，即 3x+ 4y 11= 0.法二：设与直线 3x+ 4y + 1 = 0 平行的直线 I 的方程为3x + 4y+ m= 0./ I 经过点(1,2), 3X1 + 4X2 + m= 0，解得 m

24、= 11.所求直线方程为 3x+ 4y 11 = 0.(2)法一：设直线 I 的斜率为 k.直线 I 与直线 2x+ y 10= 0 垂直,1k= 2*又Tl 经过点 A(2,1),1所求直线 I 的方程为 y 1 =；(x 2),即 x 2y= 0.法二：设与直线 2x+ y 10= 0 垂直的直线方程为 x 2y+ m = 0.直线 I 经过点 A(2,1),22X1+m=0, m= 0.所求直线 I 的方程为 x 2y= 0.、求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用

25、两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导 致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.二、 用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1) 由截距式方程可直接确定直线与x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.(2) 在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.(3) 但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为 零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论.三、 几点重要结论1 .直线 11: Aix+ Biy + Ci= 0，直线 1

26、2： A2X+ B2y+ C2= 0.(1) 若 li/ 12? AiB2- A2Bi= 0 且 BiC2- B2C1M0(或 AiC2- A2C1M0).(2) 若 li丄 12? AiA2+ BiB2= 0.2.与直线 Ax+ By + C= 0 平行的直线方程可设为Ax+ By+ m= 0(m C)，与直线 Ax+ By+ C= 0 垂直的直线方程可设为Bx Ay+ m = 0.【经典例题剖析】典例求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线I 的方程.解当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意此时，直线的斜 率为 2,所以直线方程为 y=；x.当直

27、线不过原点时，由题意可设直线方程为x+y= 1 ,又过点 A,所以= 1.a ba b因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|=|b|.a= 6,a= 2,由联立方程组，解得或b= 6,b= 2.所以所求直线的方程为x+y= 1 或：+= 1,6 6 2 2化简得直线 I 的方程为 x+ y = 6 或 x y= 2.1综上，直线 I 的方程为 y=或 x + y= 6 或 x y= 2.多维探究1.截距相等问题 求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线I 的方程.解：当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为1,1所以直线方程为 y=；x.当

28、直线不过原点时，由题意可设直线方程为X+ a= 1,又过 A(4,2),a = 6,方程为 x+ y- 6 = 0.1综上，直线方程为 y=或 x+ y 6 = 0.2.截距和为零问题求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线I 的方程.1解：当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为1,1所以直线方程为 y=2x.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xy= 1又过 A(4,2),a a.4 2-= 1,即卩 a= 2, x y= 2.a1综上，直线 I 的方程为 y= 或 x y= 2.3.截距成倍数问题求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在

29、 y 轴上截距的 3 倍，求直线 I 的方程.1解：当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上截距都是 0，满足题意，此时直线斜率为1,1所以直线方程为 y= 2X.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为 产+y= 1,又直线过 A(4,2),所以严+23aa3a a=1,解得 a=10，方程为 x + 3y 10= 0.综上，所求直线方程为y=；x 或 x+ 3y 10= 0.4.截距和是定数问题求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12 的直线 I 的方程.解：设直线 I 的方程为x+y= 1,a b42_+= 1, 由题意得a b，a + b = 12. 4b+ 2a= ab,即 4(1

30、2 - a) + 2a = a(12 a), a1 2 3 4- 14a + 48= 0，解得 a= 6 或 a= 8.a= 6,因此b= 6,a= 8, 或b= 4.所求直线 l 的方程为 x+ y 6= 0 或 x+ 2y 8= 0特别提醒如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互 为相反数”在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍（m0）”等条件时,截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.1.已知直线的方程是y+ 2=- x- 1，则（）A .直线经过点（一 1,2），斜率为一 1B .直线经过点（2 , - 1），斜率为1C .直线经过点（

31、1 , - 2），斜率为1D .直线经过点（2, - 1），斜率为 1答案：C2.直线 y= ax+ b 和 y= bx+a 在同一直角坐标系中的图形可能是（）答案：D3 .与直线 y = 2x+ 1 垂直，且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程是（1C. y= 2x+ 4D . y= ?x+ 4答案：D4 .过点（1,3）且垂直于直线 x- 2y+ 3 = 0 的直线方程为（）A . 2x+ y 1 = 0B. 2x+ y 5= 0C . x+ 2y 5= 0D . x 2y + 7= 0答案：A5.直线 y= 2x+ 3 与 y 2 = 2（x+ 3）的位置关系是（）A .平行B

32、.垂直C .重合D .无法判断可采用1A . y= 2x + 4B . y= 2x+ 4答案：A6 平面直角坐标系中，直线x+i 3y+ 2 = 0 的斜率为（）A 罟B -3C-3D. . 3答案：B化为()A A(x+ X0)+ B(y+ y0)+ C = 0B A(x + X0)+ B(y+ y0)= 0C A(x X0) + B(y y0)+ C = 0D A(x X0)+ B(y y0)= 0 答案：D10.若直线 x+ 2ay 1 = 0 与(a 1)x ay+ 1 = 0 平行，则 a 的值为(C 0 答案：A21 过点（一 3,2）且与直线 y 1 =5 6（x+ 5）平行的直

33、线的点斜式方程是5答案：y 2 = 3（x+ 3）2 直线 y= ax 3a+ 2（a R）必过定点 _ 答案：（3,2）6 已知斜率为2 的直线的方程为5ax 5y a+ 3 = 0，此直线在 y7.直线 ax+ by= 1(a, b 均不为0） 与两坐标轴围成的三角形的面积为B 2lab|C. 2；12|ab|答案：D&已知直线 ax+ by+ c= 0 的图象如图，贝 U ()A .若 c0，贝 U a0, b0B 若 c 0，贝 U a 0C 若 cv0，则 a0, b0D 若 c0 , b0答案：D9 已知直线 l: Ax+ By+ C= 0(A, B 不同时为0)，点 P(xo, yo)在 I 上,则 I 的方程可轴上的截距为1答案：154._ 若直线 li：ax+ (1 a)y= 3 与 12：(a 1)x + (2a + 3)y= 2 互相垂直，则实数 a=_.答案：1 或35.垂直于直线 3x4y 7 = 0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6 的直线在 x 轴上的截距是_.答案：3 或36 .过点 P(2, 1)，在 x 轴、y 轴上的截距分别为