13度量空间的可分性与完备性

1、1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的， 我们称此性质为实数空间 R 的可分性.同时，实数空间 R还具有完备性，即 R中任何基本列必收敛于某实数.现在我们 将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,B X ,如果B中任意点x B的任何邻域O(x,)内都含 有A的点，则称A在B中稠密.若A B ,通常称A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B.例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数 中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个

2、有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1 设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) x B, xn A,使得 limd(xn,x) 0; n(3) B A (其中A a|Ja , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；(4)任取 0,有B U0(x，).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X,若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理1.1知B A , C B,而B是包含B的最小闭集，所以 B B A ,于是 有C A,即A在C中稠密.口注

3、2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集 Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：1.3度量空间的可分性与完备性(2)连续函数空间 Ca,b在有界可测函数集 Ba,b中稠密.(3)有界可测函数集 Ba,b在p次哥可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ). 利用稠密集的传递性 定理1.3.2可得：(4)连续函数空间Ca,b在p次哥可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,b Lpa,b.定义1.3.2 设X是度量空间，A X

4、,如果存在点列xj A,且4在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称 X是可分的度量空间.注3: X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集例1.3.1欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明设Qn (1,2,口|%)| r Q,i 1,2,|,n为Rn中的有理数点集，显然Qn是可数集，下证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x四?2,|,4),寻找Qn中的点列rj,其中rk(rk, r2k ,| |,r：),使得rk x(k ) .由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x(i 1,2,|,n),存在有理数列rk

5、 x(k ).于是得到Qn中的点列rk,其中rk(J r2k,|,：)，k 1,2,|.现证 rkx(k ) .0 ,由 rk x(k )知，Ki N ,当 kKi 时，有1,2,|,n> KmaxK1,K2,|,Kn,当 k K 时，对于 i 1,2,“|, n ,都有 | rkd (rk, x)n| r i即rkx(k ),从而知Qn在Rn中稠密.口PO a, b在例1.3.2连续函数空间Ca,b是可分的.具有有理系数的多项式的全体Ca,b中稠密，而POa,b是可列集.证明 显然Ra,b是可列集. x(t) Ca,b,由Weierstrass 多项式逼近定理知，x(t)可表示成一致收

6、敛的多项式的极限，即0 ,存在(实系数)多项式p (t),使得d(x,p) max|x(t) p(t)| 2p0(t) P0a,b,使得另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式d(p r) m汽1P (t) p0(t)| 2因此,d(x, Po) d(x, p ) d(p ,Po),即 p°(t) O(x,),在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域内必有P>a,b中的点,按照定义知Poa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3p次哥可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于Ra,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集 P>a,b在Lpa,

7、b中稠密.口例1.3.4p次哥可和的数列空间1P是可分的.证明 取 E。(ri，r2,|p,rn,0,|,0,|)|ri Q,n N,显然 E。等价于 Jon ,可知 E。可数, 下面证Eo在1P中稠密.x(Xi,X2,| ,Xn,|)1P，有 |x |pi 1,因此 0, N N ,当n N时,|X|Pn N 1又因Q在R中稠密，对每个x(1 i|x于是得Pr 1P 求，。12训，N)NP|x r|P -i 121P pr |P|x |P)T (一 一口i N 122令 X0 (11,2,| 卜N,0, |,0,|) E。，贝N d(x0,x)(|i 1因此Eo在1P中稠密.口(X,d0)是

8、不可分的.例1.3.5 设X 0,1,则离散度量空间证明 假设(X,d0)是可分的，则必有可列子集% X在X中稠密.又知X不是可列集1.所以存在x X , x .取 -,则有-，* 、， *、1*O(x , )xd°(x,x ) -x即O(x*,)中不含xn中的点，与%在X中稠密相矛盾.口思考题：离散度量空间(X,d0)可分的充要条件为 X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)20.625 2=1.25取 1; 0.25 2=0.50 取 0; 0.5 2=1.00 取 1.二进制小数可转化为十进制小数

9、，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2),第二位为1则1.3度量空间的可分性与完备性加上0.25(1/4),第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推.即n 1(0.X1X2 I |lxn)2(-r x )10 1i 1 2例如111(0.101)2= (2 1 4 0 8 1)10(0.625) 10.因此0,1与子集A X (X1,X2,|,Xn,|) Xn 0或1对等，由0,1不可数知A不可列.例1.3.6有界数列空间l是不可分的.x (x) , y (yi)l ,距离定义为0或1,则当x, y A , x y时，有A与0,1对应，故 A不可列.l X (X,X2,“|,Xn1W

10、= (x)| X为有界数列,对于 d(x,y) sup | Xi yi | .i 1证明 考虑l中的子集A X (为区,“|,人,川)4 d(x,y) 1 .因为0,1中每一个实数可用二进制表示，所以假设l可分，即存在一个可列稠密子集 Ao,以A0中每一点为心，以1为半径作开球，所3有这样的开球覆盖l ,也覆盖A .因A)可列，而A不可列，则必有某开球内含有 A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为 x0 ,于是1 121 d(x,y) d(x,X0) d(x0,y)3 3 3矛盾，因此l不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy歹U)必收敛.即基本列和收敛

11、列在 R中是等价的，现在 将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3 基本列设4是度量空间 X中的一个点列，若对任意0,存在 N ,当m,n N时，有d(Xm,Xn)则称4是X中的一个基本列(或Cauchy列).定理1.3.3 (基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1)如果点列Xn收敛，则Xn是基本列；(2)如果点列Xn是基本列，则Xn有界；(3)若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设% X , x X ,且 x .则 0 , N N ,当 n N 时，d(Xn,x)-,从而n , m N时，d(Xn,Xm) d(Xn, X) d( X, Xm

12、) 一 一 .2 2即得X.是基本列.(2)设Xn为一基本列，则对 1 ,存在 N ,当n N时，有d(xN 1,xJ1 ,记M maxd(x1,xN 1),d(x2,xN 1),|,d(xN, xN 1),1 1,那么对任意的 m,n,均有d(xn,xm) d(Xn,xN 1) d(xm,xN 1) M M 2M ,(3)设%为一基本列，且xn是4的收敛子列，*俅x(k).于是,0, N1N ,当 m,n Ni 时，d(xn,xm) - ； N2 N ,当 k N2 时，d(xnk,x)万.取 N maxNi,N2,则 当n N , k N时，nk k N ,从而有d(xn，x) 西入)d-

13、,x)-,故 xnx(n ) . 注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列 (Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？例1.3.7 设X (0,1), x,y X ,定义d(x, y) x y ,那么度量空间 (X,d)的点列Jxn 是X的基本列，却不是 X的收敛列.n 11 证明 对于任用,的0,存在N N ,使得N - ,那么对于 m N a及n N b,其中a,b N ,有 1a bN a 1 (N a 1)(N b 1) a b1Na NbN'0 X,故4不是X的收敛列.上的基本列，可知 0 , N N ,当n,m N时有也是X上的基本列.口 n 1d (xn , xm

14、) I xnxmmaxa,b(N a 1)(N b 1)即得4是基本列.显然lim， n n 1或者利用4 匚是Rn 11 _1_n 1 m 1.于是可知4如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义1.3.4 完备性如果度量空间X中的任何基本列都在 X中收敛，则称X是完备的度量空间.1.3度量空间的可分性与完备性例1.3.8n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及 R的完备性易得.口例1.3.9连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,

15、g) max | f(t) g(t) |)t a,b证明 设xn是Ca,b中的基本列，即任给 0,存在N,当m,n N时，d(xm,xn)即m篇 Xm(t) xn 故对所有的t a,b, xm (t) xn(t) |,由一致收敛的 Cauchy准则，知存在连续函数x(t),使10| f(t) g(t)dt,那么(X,d1)不是Xn(t)在a,b上一致收敛于 x(t),即 d(Xm,x)0(n)，且 x Ca,b.因此 Ca,b完备.口例 1.3.10 设 X C0,1, f(t),g(t) X,定义 di(f,g)完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)证明设fn(t)n(t1

16、2)12121212fn(t) C0,1的图形如图 1.3.1 所示.显然 fn(t) C0,1,1,2,3j|.因为4(*, fn)是下面右图中的三角形面积，所以1N 一，当 m,nN时,d1(fm,fn)2 nm图 1.3.1Y*12 an am 1T101fm(t) fn(t)|dXfn(t)C0,1图像及有关积分示意图于是fn是X的基本列.卜面证 fn在X中不收敛.若存在f(t)使得1由于 d"fn，f)0|fn(t)d1(fn,f)0(n).11 122 "f(t)|dt 0 | f(t)|dt % |fn(t) f (t) | dt11 iII2 nf(t)|d

17、t,显然上式右边的三个积分均非负，因此 d1(fn,f) 0时，每个积分均趋于零.推得f (t)0 t0,i1 t(g,1可见f(t)不连续，故fn在X中不收敛，即C0,1在距离di下不完备.口表1.3.1常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性 完备性n维欧氏空间(Rn,d)X可数离散度量空间(X,d0)X不可数连续函数空间Ca,b有界数列空间lp次哥可和的数列空间lpp次哥可积函数空间(Lpa,b,d)d(x,y)do (x, y)d(f,g)d1(f,g)d(x,y)dp(x,y)n(x y)2愉1f (t)ba f(x)sup| xi 1Ixi 1d(f,g) (abl| f(t)a

18、,bg(t)|g(x) dx1y|p p1g(t)|p dt)T由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知闭区间a,b上多项式函数集 Pa,b、连续函数集Ca,b、有界可测 函数集Ba,b、p次哥可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次哥可和的数列空间1P也是可分空间，而有界数列空间l和不可数集X对应的离散度量空间(X,d。)是不可分的.从上面的例子及证明可知，n维欧氏空间Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离X (0,1)却不是完备的；连续函数空间Ca,b是完备的度量空间，但是在积分

19、定义的距离1d1(f,g) o| f(t) g(t)|dt下，C0,1却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同 一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次哥可和的数列空间ip是完备的度量空间，p次哥可积函数空间Lpa,b(p 1)是完备的度量空间，有界数列空间的完1.3度量空间的可分性与完备性备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理1.3.4 (闭球套定理)设(*3)是完备的度量空间，Bn O(Xn，n)是一套闭球:如果球的半径 n证明BiB W0(n),那么存在唯一的点

20、(1)球心组成的点列Bn|dBnXn为X的基本列.当m n时，有Xm Bm Bn ( O(Xn, n),可得(2.4)d ( xm > Xn ) n -0 ,取N ,当n N时，使得n ,于是当m,n N时，有d(Xm,Xn)所以%为X的基本列.(2)x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点x X ,使得lim Xn x .令(2.4) n式中的m ,可得即知 x Bn, n 1,2,3, (I),因此 x(3) x的唯一性.设还存在从而 d(x,y) d(x,Xn) d(Xn，y)d(XX) ny X ,满足y 0Bn ,那么对于任意的2 n 0 (n ),于是 x y . 口注4：完备度量空间的另一种刻画:设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：B1民II B其中Bn O(Xn, n),当半径n 。伊),必存在唯一的点大家知道lim(1 1)n e,可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空 n n间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用.那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回