原子物理学杨福家16章课后习题答案

1、原子物理学杨福家1-6章-课后习题答案原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著（高等教育出版社）第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章:原子的量子态：波尔模型第三章:量子力学导论27第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第一章习题1、2解1.1速度为v的非相对论的a粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明:粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞（靶核不动）.注意这里电子要动.证明：设a粒子的质量为Ma,碰撞前速度为V,沿X方向me表入射；碰撞后，速度为V',沿0方向散射。电子

2、质量用示，碰撞前静止在坐标原点o处，碰撞后以速度v沿6方向反冲。a粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有:LMaV2=-MV,2-my2222(1)MaV = M cos3 + mevcos(p(2)(3)0=MaVfsinOmevsin(pmevMaV作运算：(2)Xsine土Xcos。，得sin(e+e)(4)MaV'=MaVsin(Psin(e+夕)(5)再将(4)、(5)二式与(1)式联立，消去V'与v,=MV*+竺厂2:sin-(6+0)mesirr(夕+cp)化简上式，得(6)A33 若记 M°可将（6 ）式改写为sin2(6+o) = /sin2

3、 ?+sin2 0视。为6的函数0 (小)，对(7)式求esin 20 - sin(8 + 0)=/-sin 2<p + sin 2(0 + (p)d(p丝=0令 d(p ，贝!I sin2 ( 0 + 4) -sin2 4)=02cos (8+26) sin 0 =0若 sin 9 =0,贝!| 9 =0 (极小)(2 )若 cos ( 0 +2 4) =0,则(7)的极值，有即(8) 0 =90° -2 4)(9)将（9）式代入（7）式,有/sin2(90° (p)/sin2(p + sm2 0sin，= =Ma 4x1836sin2(e+夕)=sin?°

4、;+"sin26me0-10-4弧度（极大）此题得证。1.2（1）动能为5.00MeV的a粒子被金核以90°散射时,它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？（2）如果金箔厚1.0Um,则入射a粒子束以大于90。散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？要点分析:第二问是90。180。范围的积分.关键要知道n,注意推导出n值.n '总分子数_ molNAfl -= _L(E£Na)= A%V A A A a，其他值从书中参考列表中找.解:Z2=79(1)依7 a 0b 二 cot 22Z,Z2e2a 三一一 47r%E金的原子序数b=79x1,44cot4

5、50=22.752x10-15(/n)240E25.00答：散射角为90。所对所对应的瞄准距离为22.8fm.（2）解：第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.（问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出）从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197,pAu=1.888X104kg/m3a2dN'=ntN2万sinOclO依:a4816sindN'27cr27rsn6d3fmz-J16sin4-22sine(10=2sin-cos-2J(-)=2sin-2J(sin-)222r2W*念”万嘿）c.eo2sincos22pe16xsin42c

6、e2cos一16xsin3M e2 7 2Z=)-2ttx(Jy 4 EA . o zz. e、 4sin (sin)222,一.4夕 lox sin 2注意到:即单位体积2内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。z e2、2 乃 /2Z、2ntW 4XV是常数其值为L0x10.6x1.88x10-x6.22x10-197=1(1.44x1015)2-x(r21Z2)2=9.648x1O-545.00e乃cosf2.!.36£sin22最后结果为：dN'/N=9.6X10-5,说明大角度散射几率十分小。1-31-4练习参考答案（后面为褚圣麟1-31-4作业）1-3试

7、问4.5MeV的a粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何？要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。解：对心碰撞时"180。时,r = (1 + esc 90°) = a2 /离金核最小距离Z = 2X79XL44 = 5056fm4兀砧 4.5离7Li核最小距离4 兀/E4.5结果说明：靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反。1-4(1)假定金核半径为7.0fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的

8、能量应为多少？设铝核的半径为4.0fmo要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重考虑靶核的反冲，用相对运动的质心系来解.79AAu=19613AA1=27时，m« M可直接用公式计算;靶核较轻时,m « M不满足,应解：若入射粒子的质量与原子核的质量满足m«M,则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为1 + CSC，2"180。时,即1 x79E = 1.44fmMeV x= 16.25MeV7.0fm即:反冲在散射因子中，应把E理解为质心系能EC若金核改为铝核，m«M则不能满足，必须考虑靶核的1mMI/2M厂Z,Z9e2m+M=

9、Ej/=2m+Mm+M4啊）MZ.Ze2m+M.El=2=4.85MeV47rzMA/说明靶核越轻、Z越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小.核半径估计值越准确.褚圣麟教材作业题解1.3若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C，放射的,其动能为7.68X106电子伏特。散射物质是原子序数Z=79的金箔，试问散射角9=150°所对应的瞄准距离b多大？aea=Z"解：依=*万和3E72Z"32x79x(l.6xl0T9)2人，八一、b=7cot=可cot75=3.9664<10(?)吗24x3.14x8.85x10-12xx1062答：散射角为150°所

10、对所对应的瞄准距离为3.9664X10-15m1.4钵放射的一种a粒子的速度为1.597X107米/秒,正面垂直入射厚度为10-7米,密度为1.932X104公斤/米3的金箔,试求所有散射在0290°的a粒子占全部入射粒子的百分比，己知金的原子量为179o解：此题解的要点是注意将大于90。的散射全部积分出来.依:dnNtdon0产 cos一设散射入大于90。角的粒子数为dn，,入射的总粒子数为n,金箔的单位体积内的粒子数为N。j%ie = 2：.3 0£sin 注意到:夕、ncl(sin)J一新句T.30£sin22最后结果为：dn/n=3.89X10-7问答:如

11、果知道散射的总粒子数，如何计算散射入某一角度内粒子的数量？如何求出其散射截面？如何算出散射几率?散射入某一角内的粒子数dN'=N-""QnAt=niN(16Asin41 ZjZ2e2 2 dQ4% 4E sin4 £2散射几率（微分散射截面）2s(_L工4"2习题1-5、1-6解%271sin3d3si，补：求积分式解：积分式的积分结果2的积分结果% 2/rsin 3cl0sin 224”2寸sin o e2sin cos 220八 cos 44fsin 2.4。sin 结果:°角散射的质子。计数器圆形输入孔的面积为L5cm2,离金箔散

12、射区的距离为10cm,输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度Pm定义为单位面积的质量Pm=Pt,则P=Pm/t其中P为质量密度，t为靶厚）。要点分析：没给直接给nt。设置的难点是给出了质量厚度,计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t。需推导其关系。解：输入圆孔相对于金箔的立体角为dQ=-v=1.5xIO-AAu=197rIO2m,单位体积内的粒。二60。（注意密度为单位体积的质量”"子m1pzn=N=-N、数为依公式VAAAAA”dQUNntN-16.4,sin一=nt- = x6.022x1023xN 16 皿

13、4g 1972(79xl.44xl0-15)2 1.5x10-216= 8.9x101-6一束a粒子垂直射至一重金属箔上，试求a粒子被金属箔散射后，散射角大于60。的a粒子与散射角大于90。的粒子数之比。要点分析：此题无难点，只是简单积分运算。解：依据散射公式7a?2万sin比。ntN16sin"/e、,2d(sin)=N竺飞4今16瓜sin3g2因为0r180(JSin7)sin"2J60同理算出z.。(dsin)2.3®sin可知加双二3/2_31/2一,补：求积分式2 l/rsmOdOsi，sin sin 习题1-7、8解rd2/rsin3dO宁.46sin

14、2的积分结果解：积分式的积分结果e21-7单能的窄a粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的留箔上，这时以散射角。0>20°散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0X10-3.试计算：散射角。=60。角相对应的微分散射截面源1要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系。解:ZTa=73P m= 2. Omg/cm2dN9一至2JL = 2,0x10-2NATa=1810=60°n = £nLN、tAnt - Na A八de cr 1依微分截面公式知该题重点要求出a2/16由公式x6.O22xlO23x xf 2,7S1H= 6.65x 1021 x

15、 x(-4) L- ' =4.3x1 O-318116 ”噌 '1乩2上 = 2.33x10261626.65xlO21xx(44)x(-22.13)=4.3xIO'3所以1-8(1)质量为ml的入射粒子被质量为m2(m2«ml)的静止靶核弹性散射,试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角9由下式决定.a恤sin=-m1(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大？要点分析：同第一题结果类似。证明：1Tr71Yrf?10(1)mV=mV-+(2)222一0=inyrsin0一sincp(3)作运算：(2)Xsin。土

16、Xcos。，得- sin(，+ e)(4)广w sin。sin(6 + e)再将再)、(5)(5)二式与(1)式联立，消去V,与v,得.222八mVmy = m1Vz'cos9 + /%2ucos°=mV2Sm+V2Sm11sin2(+9)m2sin,(g+0)化简上式，得sin2(<9+>)=sin20+竺sin29mx见/=-若记犯，可将(6)式改写为/zsin2(9+e)=/sin2+sin20(6)(7)视。为。的函数6（6）,对（7）式求0的极值，有sin2 ( 0 +4>)-sin2 4> =0sin26-sin(6+(p)J=/-sin2

17、(p+sin2(6+(p)jd(p2cos(0+24>)sin0=0若sin。=0,则0=0(极小)(8)(2)若cos(。+26)=0,则0=90°-26(9)将式代入式，有sin2(90°-0)=/sin2+sin2()sin 9 = =m9由此可得sine="=1,9=90。若m2=ml则有町此题得证。第一章习题1-9、10题解1-9动能为1.0Mev的窄质子束垂直地射到质量厚度（Pt）为1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少？要点分析：此题靶为一个复合材料靶,关键找出靶的厚度t.然后计

18、算出金原子数和银原子数,即可积分计算，从书后表可知:ZAu=79,AAu=197,PAu=l.888X104kg/m3;ZAg=47,AAg=108,pAg=1.05X104kg/m3.解：先求金箔的厚度tPt=(0.7PAu+0.3PAg)t=1.5mg/cm2"5"=与空h>。.91加0.7/7b(+0.3夕收0.7x1.888x1+0.3x1.05x1(这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为四N金七AAA“A和再计算质子被金原子与银原子散射到6>30°范围内的相对数目。被金原子散射的相对数目为:180sZ7au = J飞叵的嘤=也I 16 sin

19、 2立;Z； 1.44?1 12 . 2d sin 一230°式中,N为入射质子总数,dNAif为被金原子散射到0>30°范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数目为:180°rdN；浮/2疫m闵6PAJ或;Z；L44?JN/16sm"3230。2被散射的相对质子总数为1 1. ,30一 . 180sin- sin-22 J_P.JN芯;Z；(L44xlO-s)2p/<Z；(1.44xl(T5)2将已知数据代入：NA=6.02X1023,E=l.OMeV,t=0.916um,ZAu=79,AAu=197,PAu=18.88X103kg

20、/m3,ZAg=47,AAg=108,PAg=10.5X103kg/m3n=1.028X10-5结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换，很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束，垂直地射到厚为1.5Um的金箔上，试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度(P=l.888X104kg/m3)1 59° 61° ; 0>6 0=60°3e<eo=io°要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系.注意:第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0°)散射，故可

21、先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得。解：设j为单位时间内入射的粒子数，I为粒子流强度，因I=je,j=I/e,时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个：N = jT =IT 5.0x10-9x5x60e 1.602177x10199.36X1012再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿9方向,射到dQ立体角内的质子数为：za2dRdN'=N16Asin42单位时间内，被所有靶原子沿e方向，射到dQ立体角内的质子数为, a2dQ(1N = N16Asin4 29nAt= ntN 16 . sindn = N -&nAt = jT1

22、6Asin4 2a2dCla2 27rsnOd 3-nt = jTnt-16sin4 16sin4 22式中，n为单位体积的粒子数，它与密度的关系为:n = NA A A所以，上式可写为/4Qpa227rsin0dedn=N-nAt=jT-nt=jT16Asin416sin416sin4222CM”«22sin OdOIosin A A 16. 4。sin 22 6>1.88x104x6.02x1023：x1.5x1O-x9.36x吁x196x1()3=-5.719x109x-(0228)=1.3x109解：2仍然像上式一样积分，积分区间为60。-180°,= 5.7

23、19xlO9x3 = 1.7151xlO,0然后用总数减去所积值。即9>00=60°的值。解：3由于0。的值为无穷大，无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°,然后用总数减去所积值，即8<。0=10°的值。= 5.719x109x32.16 = 1.84x1011总数为9.36X1012-7.56X1011=8.6X1012(个第二章习题解答2.1 葩的逸出功为L9eV,试求:(1)葩的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多少波长的光照射?解:光电效应方程"反(

24、1)由题意知"0即=0= 4.59x10" Hz.9ev一万一4.136xl(T%-s351.9ev(2)-mv；n = .5ev 2个che1.24nm-Kev.A=652.072/7?c.5ev=/rv一=一一2che1.24?,Kev“4rA=364.7?.5ev+1.5v+1.9ev2.2 对于氢原子、一次电离的氢离子He+和两次电离的锂离子Li+,分别计算它们的:(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；(2)电子在基态的结合能;(3)由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长。解:(1)由波尔理论及电子的轨道半径公式n为氢

25、原子第Z一波尔半径(力C)2(197.3)2mee2jc2e2/47i£o0.51IxlO6xl.44nin%0.053/7/7/氢原子第二波尔半径=4钎0.2可知:He+(Z=2)y=o。265？22,n=ax=0.1067777?212Li(Z=3)a=o.oi76？22r,=4=0.0705/z/h213电子在波尔轨道上的速率为于是有Hv.=ac=x3x10,次=2.19x10(>m-1137匕=LlxlO“ZS-l-2v,=2ac=4.38x106/h也=2.19x一2Li=3ac=6.57x10''八4a(*匕=3,28x1。6八5-122（2）电子在

26、基态的结合能Ek在数值上等于原子的基态能量。由波尔理论的能量公式可得Ek=|Ej=-intXacz)2=3.6z2ev2故有Ek=3.6ev=13.6x22=54.4evLi+'：Ek=13.6x32=122.4v（3）以电压加速电子，使之于原子碰撞，把原子从基态激发到较高能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势o=1362(1-9,1匕、=13.6x(l-)=10.2v4He+:S<7=13.6x2 4运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使锂原子发射出光子，质子至少应多大的速度运动?解：欲使基态氢原子发

27、射光子，至少应使氢原子从基态激发到第一激x(1-1)=40.8vLl:V12=13.6x3-x(l-)=91.8v共振线(即赖曼系第一条)的波长：AE12E2-EHec1.24/2777kev4)=121.6nmk10.2ev口+1.24八附ne羽=30440.8”，T4+】.24nm-kev1.4)=35i91.8次2.3欲使电子与处于基态的锂离子Li+发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能？解：Li-基态能量为E=_；/n,(acz)2=-122.4ev,从基态到第一激发态所需能量为片2=13.6xZ2x(l-y)=122.4x-=91.8v2故电子必须具有91.8ev的动能.发态，因

28、此有:1、Ek=(1+/)"搂=2AE.2=20.4ev, _ l2x20.4evx3x 10s m/s = 6.26 x 104 m/s(质子静止能量叫/=938L)2.5(1)原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的，即处于能量为En的激发态的原子数为:N=N红二与心磔"'gigl式中N|是能量为民状态的原子数，k为玻尔兹曼常量，gn和为相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大气压、20温度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态？已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权重分别为gl=2和g2=8o(2)电子与室温下的氢原子气体

29、相碰撞，要观察到Ha线，试问电子的最小动能为多大?略。2.6在波长从95nm到125nm的光带范围内，氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线?解:对于专=95nm，有=二E=!95xlO-M,O973731xl(f=4g'以泼-1V95xlO-9xl.O973731xlO7-l-故=95,”"的波长的光子不足以将氢原子激发到n=5的激发态，但可以将氢原子激发到n=4的激发态ni=4同理有:端小_I125xlO-9xl.O973731xlCr-V125xlOxl.O973731xlO?-lV对应于n=l的辐射光子的波长应比125nm更长，在波段以外n2=2又氢原子的吸收谱对应于赖曼系，

30、在(95si25nm)波段内只能观察到3条即%("7=1,77=2)工。，=3)%("7=1,=4)2.7试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于133.7nm?解：赖曼系主线：=应2(1-5)=：应2巴耳末主线：班=RZ吟-()=怖RZ，2yJo二主线波长差:A/i=4“-2为=X(108一20)=88、=133.7，5RZ 9电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求出：（1）基态时两电子之间的距离；（2）基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能；（3）由第一激发态退激到基态所放光子的波长。3RZ2T5RZ25RZ2=488_8815x/?

31、x133.7nm-15x109737.31x10-7x133.7.Z=22.8一次电离的氢原子He,从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能量处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。解：He*从E2-E1跃迁辐射的光子的能量为hv=E?E=RcZ2（-V-1）=3Rhc2氢原子的电离能为E=Eg-E=O(Rhc)=Rhe电离的电子的能量为Ek=3Rhc-Rhc=2Rhc该电子的速度为_/4xl3.6xl.6xI0-19= 3.09xl06/n/5"0飞K飞9.11x10-77解:电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替，

32、对电子偶素，其折合质量为：(1)rnMni卜i=mc+M2=4啊？=24%匕=2%=2x0,053?=0.106?（2）电离能为E,=EX-El=RAhc式中于是耳=1Rxhc=gx1.0973731xxL24x10'eu=6.80”，则电离电势为匕=L=6.80v第一激发电势为A£R/cZ(-T-T)3RheL=%=1一2_=二三”=5.10vee2e(3)共振线波长为he1.24xlO37?/?(?v=243.1加5.10匹2.10-子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的207倍外，其余性质与电子都一样。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成“子原子，试计算：（1

33、）P子原子的第一波尔轨道半径；（2）口子原子的最低能量；（3）R子原子赖曼线系中的最短波长。解：(1) 口子原子可看作类氢体系，应用波尔理论，其轨道半径为4呜科f式中207m M N ='207/ne+M207x1836207 + 1836me = 186.0“其第一波尔半径为186.0”£2ax_O.O53n/?z186.0186.0=2.85x1O'4/?/?(2) 口子原子的能量公式为En=-p(ac)2=-x186.0/?zr(ac)22n2n最低能量=1E)=-x186.0/«f(ac)2=-186.0x13.6v=-2.53x103ev(3)由波

34、长公式T今hehe八口4nin=：=0.49/7/72A£maxEE10-(-2.53x1034)2. 11已知氢和重氢的里德伯常量之比为0.999728,而它们的核质量之比为叱/111产0.50020,试计算质子质量与电子质量之比。解:由&=*可知1+-监1+"配=一以=0.999728%1+反%,又:0.50020，见1+M邑=0.9997281+"MMh0.499528=1836.5q1,8x10me0.0002722.12当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时，（1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大？（2）试估计氢原子的反冲能量与所

35、发光子的能量之比。解：（1）所发光子的能量113/?v=E2_Ei=R/?c（r"）=1乂13.6。）=10.2tv光子的动量"=3XCC氢原子的反冲动量等于光子动量的大小，即竺Chv叱痴7% = 3.26%10.2x1.602xl0T91.67x10-27x3x1(/（2）氢原子的反冲能量为Ek=-mH=lxl.67xIO-27x(3.26)2J=8.87x1O-27J22= 5.4x10"Ek_8.87x10-27/7r-10.2x1.602x10-192. 13钠原子的基态为3s,试问钠原子从4P激发态向低能级跃迁时，可产生几条谱线（不考虑精细结构）？解：不

36、考虑能级的精细结构，钠原子的能级图如下:根据辐射的选择定则&=可知，当钠原子从4P态向低能级跃迁时可产生6条光谱。2.14钠原子光谱的共振线（主线系第一条）的波长等于人=589.3nm,辅线系线限的波长等于%=408.6nm,试求（1）3S、3P对应的光谱项和能量；（2）钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能。解：(1)由Na的能级图可知，3P能级的光谱项和能级分别为:= 2.447x1()6尸%=一%=1.24/?/?/ Kev4086=一3.O3a3S能级的光谱项和能级可通过下式求出:T3-3P=区/1T3.=r+=2.447x106+!-=4.144x1063”458

37、93x10'E3s=-hcTix=-1.24x103nm-x4.144x106m-l=-5.i4ev(2)Na原子的电离能为Et=ExE3s=0-(5.14ev)=5.14ev故电离电势为匕=5.14ve第一激发电势为v_AE.一片3/,七九_3.0%i，一(5.142)_h，第三章题解3-1电子的能量分别为10eV,100eV,1000eV时，试计算相应的德布罗意波长。解：依计算电子能量和电子波长对应的公式电子的能量：Ek一p=由德布罗意波长公式:PJ2”号九二用加4e1.226Vionm = 0.388 nm1,226 Twotun = 0A226tuniwaz=nm=0.03Si

38、m.V10003-2设光子和电子的波长均为0.4nm,试问：(1)光子的动量与电子的动量之比是多少？(2)光子的动能与电子的动能之比是多少？解：(1)由入，可知光子的动量等于电子的动量，即p光子:p电产1:1P(2)由光子动能与波长的对应的关系.1.24入#字=nmnE(KeV)电子动能与波长的关系则知口 J226、2E电子二（）nm人电子E光子 _ 1.24xl()3x04E电子 一1.226?329.963-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？其相应的德布罗意波长是多少?解./VT （1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是:E m c2 E Ek+

39、mc1m（? 2moc2 m 2m02g)所以3 v2一ZZ 4 c2(2)0.866c根据电子波长的计算公式:= 0.001715nm1.226nm_1.226nm再(eV)V511xlO3eV3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量.若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm,-级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30。，试求这些热中子的能量.解：根据布喇格衍射公式nl=dsm02=Jsin，=0.18Xsin30°nm=0.09nm几_1.226nm一向eV）Ek=（J，226nm）2=136222eV=185.56eVA3-5电子显微镜中所用

40、加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正.试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为:式中V产V(1+0.978X10-，)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特.分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式将其平方整理乘c2,得其能量动量关系式zn2l-（-）2c2=m02c2cE2-p2c2+m02c4EEk-mcEk=EE°p=-y/E2-m02c4=：J（&+尸一=：加卜区+2moe2）1.226.（4+27tle2）,（马+2网02

41、）区区+2?展？）V1.226+1）2mAe1.2261.22681+0.9785x10,花36题意得证.试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于/IF式中反和石分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.（康普顿波长九斗加呜如）为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论）当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?证明：根据相对论能量公式理乘C2222)2)mL=外一厂Ek=E-E0将其平方整m2l-(-)2c2=m02c2cE2=pc+m02c4E=Ek+mc1/r-,9741。L八224P=7E_m(:c+60。-)-一帆(c=：5(+2"?“2)p=ylE2-

42、mc4+w0c2)2-/n02c4=Ek(Ek+2/woc2)=1(E-E0)(E+E0)(1)相对论下粒子的德布罗意波长为：_h_he_heP7(E-E0)(E+Eo)E1-El粒子的康普顿波长为m°cm()cE()he.儿.一瓦.段-以)_rr-2heE。NE0/e2-e20)(2)若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长(二月=2,E=应E0E。E=啦E。=x511=722.55KeVE.=E-E。=722.55-511=211.55(KeV)KU则电子的动能为211.55KeV.则电子的动能为211.55KeV注意变换：1.AP转化为A2表示；2. AE转化为秘表示；3-7原子的

43、激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为芋=1。1试问该原子态的寿命为多长？人I解：依AEAt>h求AtAtAE>2= 1.6x10-9s600x10-9x1。2AE2hcAX4mAX4x3.14x3xl083-8一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能.解：以刈耳粒子被束缚在线度为r的范围内，即Ax=r那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：Mx之事NZAA.=&Px-Px)2氏=0，(夕*)2平均="(")平均，电子的最小平均动能为Ek=2.848x1()8/3-9已知粒子波函数=限4詈募一

44、号，试求：归一化常数.N乙UNLjN；(2)粒子的x坐标在。到之间的几率；(3)粒子的y坐标和Z坐标分别在-T+%和-cT+c.之间的几率.解：(1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是：£>|dv=1一上，尸-2过尸一2昆1一 2目即：J JL M 八二解1e -adx e 2hdy e 2cdz.所以N=T8abe区域内几率(2)粒子的x坐标在。-2H_2bll_2且为：2adxje2bdye2cdz小4人(/-1)=1(1-1)(3)粒子的ye(b,b),Ze(c,c)区域内的几率为:9r+x-2姓十-2以广4-219171)Ne2adxedye入dz=N

45、-8abc(1)-=(_)-j-8j-b”j-cec3-10若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为"3,Ji,zux2,九z2),其中足标1,2分别代表质子和电子，试写出：(1)在同一时刻发现质子处于(1,0,0)处，电子处于(0,1,1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0,0,0),而不管质子在何处的几率密度;发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小3-11对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在,并证明：当8时，上述任意本征态中的平均值了及(1有结果与经典结果相一致.3-12求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置.第三章习题1

46、3,143-13设氢原子处在波函数为公。的基态，处为第一 九九玻尔半径，试求势能U(r)=-!的平均值.呷r3-14证明下列对易关系：y/=1£,py=ox,Zx=0£,£=访J区,4=。M,£y=i花第三章习题15解3-15设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动，此方阱的表达式为：y (x)=8X<000<x<aV)x>a试求：(1)粒子能级表达式；(2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深匕和阱宽a之间满足关系式:解：(1)在x<0时,由薛定调方程可得:2m因为V(x) = 十% W = Ew所以 火(幻=

47、0。二人,V(x)=0,体系满足的薛定蹲方程为：-浮>整理后得：学+誓%=。令八疝而贝IJ:等+攵初=。drTr4r因为忆(。)=。所以波函数的正弦函数：2 "sin的x>a ,(4)整理后得：贝IJ：心)叫薛定得方程为dM (匕E)dx2dx2方2 k'2 忆=0夕3 = 0k = y2m(V0 - E) / ti方程的解为：忆=8产(3)J-半1+匕河3 =七犷32m dx：式中A, B为待定系数,根据标准化条件卷的连续性,有将(3),式代人得：kctgak = k, ：1JE 明：令 U ="i v = k'a (7)(5)*2 (a) _

48、 83 (a) “2 (a)-3 (a)(6)则(6)式可改为：=-v同时，U和V还必须满足下列关系式：it2+v2=(k2+k,2)(r=2"?%/j2(8)联立(7)(8)可得粒子的能级的值.用图解法求解:在以V为纵轴为横轴的直角坐标系中(7)(8)两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.因A右都不是负数,故和独不能取负值,因此只能取第一象限.由图可知(7)(8)两式至少有一解得条件为:即匕心工32?4-1一束电子进入1.2T的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大？分析要点：恤=1/2,&=2;4二士叫二土8解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投

49、影=土机二依磁矩与磁场的作用能量E=juB=jLiBcos0自旋与磁场平行时E=&B=4s5cos0。=坊8自旋与磁场反平行时刍=&,月=/SBcos180°=-/jbB贝ijAE=E2-Ej=2AB=2x1.2x0.5788X10"eV=1.389xlOeV4-2试计算原子处于2%2状态的磁矩"及投影"Z的可能值.解：已知：7=3/2,2/仁2卢1/2,1=2依据磁矩计算公式依据磁矩投影公式”二一利那卅8吗知=±£,土（J4-3试证实：原子在6G3/2状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.解：因为2

50、3+1=65=5/2J=3/21=4叼=3/2,1/2,T/2,-3/23 13 1g 1 =一十一(一) = -+-7 2 2J2 2 2| +卜(4 + 1)汨+ 1=0gjmj=Q这是一个多电子耦合系统,相互作用产生的总效果为零.说明多电子作用有互相抵消的情况.4-4在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围=10cm,磁极中心到屏的距离0=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2S1/2,质量为107.87u.解：原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示

51、:对原子态2sL=Q5=1/2片1/2故朗德g因子为:g=2对于上屏边缘的线束取M=-J,对于下屏边缘的线束取M=J所以也=2的也贮=叫=监工(1)“口2Ek&JGnBDdWAZ=2xio-»J=g=2z/O.SVSSxlOeV-T-1Z>=25xlO-2md=10x10-2代入上式得：=1.24xlO2T/m4-5在史特恩-盖拉赫实验中（图19.1）,不均匀横向磁场梯度为-=5.0T / cm,磁极的纵向范围tZ=10cm,磁极中心到屏的距离P=30cm,使用的原子束是处于基态竽的钢原子，原子的动能解：对于多个电子3 1 g'=”(2S+1=4S=3/2J2-12)-3+】(4 _2)-2+2(nr 54L=3, J=3/2311372 2 2 2依公式rdB dDZo = -m / & z r2B 次 341 ?-mV2 =5OMeV2SB dD法,而3kT=mVQ. 1eV3 2i x x 5 >0 x"25Z210x30 =±0.52092cm50dB dD-m Z £