抛物线三角形面积求法

1、抛物线内接三角形面积的计算通法、问题的提出(2016(2016 年酒泉中考题) )如图 1(1)1(1)，已知抛物线经过A(3,0),B(0,3)两点. .(1)(1) 求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)(2) 如图 1(1)1(1)，动点E,从O点出发，沿着OA的方向以 1 1 个单位/ /秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从点A出发，沿着AB方向以,2个单位/ /秒的速度向终点B匀速运 动，当EF中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动连结EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，VAEF为直角三角形？图1(3)(3)如图 1(2)1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处

2、，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标; ;如果不存在，请简要说明理由本题第(3)(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通 用的方法呢？值得我们探究二、几种特殊情况1.1.抛物线内接三角形有一边在x轴上：( (这里约定A点的横坐标记为xA，A点的纵坐标记为为yA) )如图 2(1)2(1)，有11Sk/Baskwyc如图 2(2)2(2)，有1iSBC= AB汇DC=卜人一沧汉yc. . 如图 2(3)2(3)，有11

3、SABC二ABDC = 2XA- 沧在以上特殊情况下，只要求出A、B、C、D的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时( (如图 4)4)，三角形的面积又该怎么计算呢？解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决如图 4 4，过点C作“轴的垂线交AB于点D, ,则ABC被分成了两个以CD为一公共边 的三角形过点A作AE _ CD于点E,过B作BF _ CD于点F，贝U1 1S.ABC=S.CDAS.ABCnCD AE CD BFCD (AE BF),yc. .2 2抛物线内接三角形有一边与X轴平行：如图 3(1)3(1

4、)，有SABC= AB汉DC = |XA XB汉 必221 1或S普BC= AB乂0C=XB XA如图 3(2)3(2)，有1 1SBC= AB汇DC=卜人沧汉1 1或SBC= AB汉0C = xB xA少22yc yD, ,yD yC；yC yD,yD yc. .CD =AE +BF = xC XA十xB xCQ XA：Xc: XB, ,，” AE +BF = xAxB设a =xA牝，h = y CyDa为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽；h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高. .在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为：SABC= qah.此公式适用于坐标

5、系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. .当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设则a =XA X B，即是水平宽过点C作x轴的垂线，与直线AB的交点记为D，则h= yc- yD，即是铅直高，于是有c11S必BC=3ah=2XAXByc_ yD.四、问题解决上述问题中，过点P作PN/X轴，垂足为N，交AB于点M( (如图 1(2)1(2)，抛物线解 析式为y = -x22x 3, ,直线AB的解析式为y = -X 3. .设N(x, -x 3)，则M(x,-x22x 3). .于是有SBC二刁仪人XB，ypXMSABC= 2XA_yC _yD综合上述

6、，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC的面积公式XA：XC: XB. .= 1(3_0) (-x22x 3)-(-x 3)329x x223273 27即当x时，VABP面积最大，最大面积是，此时P点的坐标为(一，). .282 8五、模型应用( (动点B在定点A与C之内) )例 1 1 如图 5 5,二次函数与x轴交于点C, ,与y轴交于点A，B为直线AC下方抛物线上一点，求VABC面积的最大值. .解 易得点A(0, M)，点C(6,0)，则水平宽a=XA冷=6. .2直线AC的解析式为y x - 4. .313设点B的坐标为(x, x2x-4), ,34一2则点D的坐标为(x,

7、x -4). .321241铅垂高h = yB _yD = x _4 _(_ _x_4) = x2+2x,323311222故SABC6 (- X22x)=x26x=(x-3)29. .23Q 0：x：6, ,当x =3时，即当点B(3,-5)时，厶ABC面积最大，最大面积是 9.9.评注 题中的ABC满足公式中的A,C为定点，B为一动点，但在运动过程中，B的横坐标介于AC的横坐标之间，所以直接套用公式即得由此题可看出，在这种动点问题中， 水平宽是两个定点间的水平跨度， 铅直高即是由动点向x轴作垂线，垂线与两定点的连线交 于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度六、模型拓展( (动点P在定点A与

8、C之外) )例 2 2 如图 6(1)6(1)，二次函数与x轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与x轴平行， 且点B在抛物线上，点P是直线AC上方抛物线上的动点，是否存在点P，使S.PAC=2SJ：AB若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. .解析由题意不难得出S.ABC=8,要使S.PAC= 2SABC，即求S.FAC=16因为PAC为动点三角形，由通用公式SPAC二ah，其中a为水平宽，a二XC-XA=6,h为铅直高，应该过动点P向x轴作垂线；交直线AC于点D，则h = yp- yD问题是此时动点P不在两定点A,C之间，而是运动到了两定点AC之外，那么通用公式还成立吗？由图 6(2)6(2)可知，当动点P在两定点A,C之外时,1 1-SpoAPD CE-?PD AF1 1 1 PD(CE-AF)PD(冷-xA)ah