圆幂定理讲义带答案)(二)

1、圆哥定理STEP1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2 .垂径定理典型例题的回顾检测。3 .分析学生圆部分的薄弱环节。（1）例题复习。1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含300锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN1,顶点A,B恰好都落在量角器的圆弧上,且AB/MN若AB=8cm则量角器的直径MN=cm.【考点】M3:垂径定理的应用；KQ勾股定理；T7:解直角三角形.【分析】作CD）±AB于点D,取圆心O,连接OA彳OHAB于点E,首先求得CD的长，即OE的长,在直角AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解.【解答】解

2、：作CDLAB于点D,取圆心0,连接OA彳OELAB于点E.在直角 ABC中，/A=30° ,则BCAB=4cm在直角 BCD中，/ B=90° - /A=60° ,CD=BC?sinB=4Xr_=2'/3 (cm).OE=CD=23,在AAOE中,AE=-AB=4cm贝UOA=/ae2+0e2=J16+12=跖(cm),贝UMN=2OA诉(cm).故答案是：4行.【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.2. （2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折

3、痕AB的长为（）A.2cmB.:cmC.2cmD.2：Ncm【考点】M2垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）【分析】通过作辅助线，过点。作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点。作ODLAB交AB于点D,连接OA;OA=2OD=2cmAD=gA?2=1,22_2=（cm）,.ODLAB,AB=2AD=23cm,故选：D.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y=x的

4、图象被。P截得的弦AB的长为4点,则a的值是（）A.4B.3+V2C.D.3+6【考点】M2垂径定理；F8:一次函数图象上点的坐标特征；KQ勾股定理.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】PCXx轴于C,交AB于D,彳P已AB于E,连结PB,由于OC=3PC=a易得D点坐标为（3,3）,则4OCD等腰直角三角形，PED&为等腰直角三角形.由PE±AB,根据垂径定理得AE=BE=AB=2/2,在RtPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1,贝UPD=2PE=/2,所以a=3+/2.【解答】解：作PCXx轴于C,交AB于D,彳PE±AB于E,连结PB,如图，0P的圆

5、心坐标是（3,a）,，OC=3PC=a,把x=3代入y=x得y=3,.D点坐标为（3,3）,.CD=3.OCM等腰直角三角形，.PEDtk为等腰直角三角形，PE±AB,AE=BE=AB=X4/2=2/2,在RtPBE中，PB=3,.PEsJ已亚产=1，PD=/2PE=/2,.-.a=3+72.故选：B.【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.4.（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0）,直线y=kx-3k+4与。O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为.【考点】FI:

6、一次函数综合题.【专题】16:压轴题.【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点。为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长，再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解：,直线y=kx-3k+4=k(x3)+4,k(x3)=y-4,k有无数个值，x-3=0,y-4=0,解得x=3,y=4,，直线必过点D(3,4),最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， 点D的坐标是(3,4),OD=5 以原点。为圆心的圆过点A(13,0),，圆的半径为13, .OB=13，BD=1Z，BC的长的最小值为24;故答案

7、为：24.【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置.STEP2:新课讲解1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。一、相交弦定理相交弦定理(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等).4/二7?几何语言：若弦AB、CD交于点巳则PA?PB=PC?PD(相交弦定理)/(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

8、所成)的两条线段的比例中项.C几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点巳则PC2=PA?PB(相交弦定理3论).?基本题型:【例1】（2014秋?江阴市期中）如图，。的弦ARCD相交于点P,若AP=3BP=4CP=2贝UCD长为（）A.6B.12c8D.不能确定【考点】M7：相交弦定理.【专题】11:计算题.【分析】由相交线定理可得出AP?BP=CP?DP再根据AP=3BP=4,CP=2可彳#出PD的长，从而得出CD即可.【解答】解：AP?BP=CP?DP.PD=PDCP.AP=3BP=4,CP=2PD=6.CD=PC+PD=2+6=8故选C.【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交

9、点分成的两条线段的积相等.【练习1】（2015?南长区一模）如图，矩形ABC时。的内接四边形，AB=ZBC=3点E为BC上一点，且BE=1,延长AE交。于点F,则线段AF的长为（）A.1.二B.5C.二+1D.,【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF的长.【解答】解：二四边形ABCD矩形，ae=/I再加五护m国二BC=3BE=1,CE=2由相交弦定理得：AE?EF=BE?CE,匚匚BECE1X22V5EF=皿询5 .AF=AE+EF=;故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并

10、能进行推理计算是解决问题的关键.?综合题型【例2】（2004?®州）如图，AB是。的直径，M是。上一点，MNLAB,垂足为N.P、Q分别是赢、版上一点（不与端点重合），如果/MNP=MNQ下面结论：/1=/2;/P+/Q=180;/Q之PMNPM=QM®mN=PN?QNS中正确的是（）A.B.C.D.【考点】M7:相交弦定理；M2垂径定理；M4:圆心角、弧、弦的关系；M5:圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16:压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.【解答】解：延长M戏圆于点W延长Q滋圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,Q

11、F ./PNMgQNMMNLAB,./1=/2（故正确），2与/ANN对顶角， ./1=/ANEAB是直径， .可得PN=EN同理NQ=NF点N是MWW勺中点，mn?nw=Mpn?nf=en?nq=pn?QN正确）,mMNNQ=PNMN./PNM=QNM.NPMTNMQ/Q之PMN（故正确）故选B.【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.?与代数结合的综合题【例3】（2016?中山市模拟）如图，正方形ABCDft接于。，点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO则QCQA的值为（A._-1B.-:；C.:-，：D.T【考点】M7:相交弦定理；KQ勾股定理

12、.【专题】11:计算题.【分析】设。的半径为r,QO=mUQP=mQC=r+mQA=r-m利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】解：如图，设。的半径为r,QO=m则QP=mQC=r+mQA=r-m.在。0中，根据相交弦定理，得QA?QC=QP?QD2_2即（r一成（r+m）=m?QD所以QD=1连接DO由勾股定理，得qD=dO+qO,IP解得所以，T-故选D.【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋？苏州期末）如图，OO过M

13、点，OM交。于A,延长。O的直径AB交。M于C,若AB=8BC=1则AM=.【考点】M7:相交弦定理；KQ勾股定理；MG圆周角定理.【分析】根据相交弦定理可证AB?BC=EB?BF=EM+MB（MF-MB=aM-mB=8,又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作过点MB的直径EF,交圆于点E、F,则EM=MA=MF由相交弦定理知，AB?BC=EB?BF=EM+MB（MF-MB=aM-MB=8,.AB是圆。的直径，/AMB=90,由勾股定理得，aM+mB=aB"=64,AM=6【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.二、割线定理割线定

14、理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：.PBA,PDC是。O的割线PD?PC=PA?PB（害U线定理）由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.?基本题型【例5】（1998M兴）如图，过点P作。的两条割线分别交。于点AB和点GD,已知PA=3AB=PC=2贝UPD的长是（）A.3B.7.5C.5D.5.5【考点】MH切割线定理.【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA?PB=PC?P即可求得PD的长.【解答】解：PA=3,AB=PC=2PB=5PA?PB=PC?PDPD=7.5,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【练习

15、2】（2003以津）如图，RtABC中，/C=9（J,AC=3BC=4以点C为圆心、CA为半径白圆与ABBC分别交于点DE.求ARAD的长.【考点】MH切割线定理；KQ勾股定理.【分析】RtABC中，由勾股定理可直接求得AB的长;延长BC交。C于点F,根据割线定理，得BE?BF=BD?BA由此可求出BD的长，进而可求得AD的长.【解答】解：法1:在RtABC中，AC=3,BC=4根据勾股定理，得AB=5.延长BC交。C于点F,则有:EC=CF=AC=3。C的半径），BE=BC-EC=1,BF=BC+CF=7由害U线定理得，BE?BF=BD?BABD1BA 5所以AD=AB-BdL法2:过C作C

16、M/LAB,交AB于点M,如图所示,由垂径定理可得M为AD的中点,11LSaab干AC?BC，AB?CM且AC=3BC=4AB=5,12.CM45在RtAACM,根据勾股定理得：AC=AM+CM,即9=AM+(工L)5解得：AM亳，AD=2Am1-.5【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.?综合题型【例6】(2015砒汉校级模拟)如图，两同心圆间的圆环的面积为16九，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?PB勺值是()A.16B.16兀C.4D.4几【考点】MH切割线定理.【分析】过P点作大圆的直径CD如图，设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PA?PB=(

17、OC-OB?(OP+OD=R2r：再利用兀R2兀r2=16兀得至UR2-r2=16,所以PA?PB=16【解答】解：过P点作大圆的直径CD如图，设大圆半径为R小圆半径为r,.,PA?PB=PC?PDPA?PB=(OC-OB?(OP+OD=(R-r)(R+r)=K-r2,两同心圆间的圆环(即图中阴影部分)的面积为16兀，n22._TtR兀r=16兀,R产=16,PA?PB=16故选A.【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到

18、每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：4dPBA,PDC是。O的割线）PD?PC=PA?PB（害U线定理）由上可知：pt2=pa?pb=pc?pd.田【例7】（2013出清区二模）如图，PA为。的切线，A为切点，。的割线PBC±点。与。分别交于RC,PA=8cmPB=4cm求。的半径.【考点】MH切割线定理.【专题】11:计算题.【分析】连接OA设O。的半径为rcm,由勾股定理，列式计算即可.【解答】解：连接OA设。的半径为rcm,（2分）则r2+82=（r+4）2,（4分）解得r=6,O的半径为6cm.（2分）【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌

19、握.【练习3】（2013秋？东台市期中）如图，点P是。直径AB的延长线上一点，PC切。于点C,已知OB=3PB=2则PC等于（）A.2B.3C.4D.5【考点】MH切割线定理.【专题】11:计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PB?PA再由OB=3PB=2,则PA=8,代入可求出PC【解答】解：:PGPB分别为。的切线和割线，PC2=PB?PA.OB=3PB=2,.PA=8,PC2=PB?PA=2K8=16,.PC=4故选C.2【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PC=PB?PA四、切线长定理切割线定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做

20、这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.【例8】(2015殊皇岛校级模拟)如图，一圆内切四边形ABCD且BC=10AD=7则四边形的周长为()A.32B.34C.36D.38【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等

21、，从而可求得四边形的周长.【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2X(7+10)=34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.【练习4】(2015?岳池县模拟)如图，PAPB切。于A,B两点，CD切。于点E交PAPB于C,D,若。的半径为r,PCD勺周长为3r,连接OAOP则黑的值AjBC._D.【考点】MG切线长定理；MC切线的性质.【分析】利用切线长定理得出CA=CFDF=DBPA=PB进而得出PA普r,求出即可.【解答】解：=PA,PB切。于A,B两点，CD切。于点E交PA,PB于C,D

22、,CA=CFDF=DBPA=PBPC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3rPA*r2则工此的值是：二-二PA3_37r故选：D.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键.【例9】（2014秋？夏津县校级期末）如图，P为。外一点，PAPB分别切。于A,B,CM。于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5则PCD勺周长和/COD分别为（）A 5,白(90。+/ P)B. 7, 90。卷 C. 10, 90/PD. 10, 90。蒋/P【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PBED=ADCE=BC从而求得三角形的周长=2PA；连接OAOE0计艮据切线

23、T质，/P+/AOB=180,再根据CD为切线可知/COD=/AOB2【解答】解：:PAPB切。于AB,CD切。O于E,PA=PB=10ED=ADCE=BC.PCD勺周=PD+DE+PC+CE=2PAPAPCD勺周长=2PA=10,;如图，连接OAOEOB由切线性质得，OALPA,OBLPB,OELCQDB=DEAC=CEAO=OE=OB易证AOCEOC(SAS，EO国BOD(SAS,/AOCWEOC/EODhBODCOX/AOB2，/AOB=180-ZP,./COD=90-1/P.2故选：C.【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直

24、构造直角三角形解决有关问题，是基础题型.五、圆哥定理请尝试解出下列例题:【例10】(2005?广州)如图，在直径为6的半圆篇上有两动点MN,弓gAMBN相交于点P,则AP?AM+BP?BNfi为.【考点】M7：相交弦定理；KQ勾股定理；MG圆周角定理.【专题】16:压轴题；25:动点型.【分析】连接AZBM根据圆周角定理，由AB是直径，可证/AMB=90,由勾股定理知，BP2=MP+BM,由相交弦定理知，AP?PM=BP?PN,原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=Ap+AP?PM+BPBP?PN=A2+BF2+2AP?PM=A+MP+BM+2AP?PM=A+(AP+PM2=aP+aM

25、=aB=36.【解答】解：连接AZBM,AB是直径，/AMB=90.bfmP+bM.AP?PM=BP?PN原式=AP(AP+PIM+BP(BP+PN=Ap+AP?PM+BPBP?PN=aF+bF+2AP?PM=aS+mP+bM+2ap?pm=bM+(AP+PM2=BM+AM=AE2=36.【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幕定理。（部分参考书以前三条为圆幕定理）圆幕定理：过平面内任一点P（P与圆心。不重合）做。的（切）割线，交。O与点A、B,则恒有PAPBOP2r2。（“OP2r2”被称为点P到。的幕。）STEP3:落实巩固一一查漏补缺理念：找到自己本

26、节课的薄弱环节。STEP4:总结理念：本结课复习了什么？学到了什么？方法：学生口述+笔记记录。STEP5:课后练习一.选择题（共5小题）1.如图所示，已知。中，弦AB,CD相交于点P,AP=GBP=ZCP=4MPD的长是（）A.6B.5C4D.3【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB,CD相交于巳因此AP?PB=CP?PD代入已知数值计算即可.【解答】解：由相交弦定理得AP?PB=CP?PD.AP=aBP=2,CP=4,PD=AP?PBCP=6<2+4=3.故选D.【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.2 .。的两条弦A

27、B与CD相交于点P,PA=3cmPB=4cmPC=2cm贝UCD=（）A.12cmB.6cmC.8cmD.7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD.DP=-=二_l=6cmCD=PC+PD=2+6=8cm故选C.PC2【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.3 .如图，O。中，弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4PB刊PD=Z则。的半径为（）A.9B.8C.7D.6【分析】根据相交弦定理得出APXBP=CP<DR求出CR求出CD即可.【解答】解：由相交弦定理得：APXBP

28、=CP<DR .PA=4,PB=6,PD=2 .CP=1ZDC=12+2=14.CD是。直径, 。0半径是7.故选C.【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出APXBP=CP<DP.4 .如图，A是半径为1的圆。外的一点，OA=2AB是。的切线，B是切点，弦BC/OA连接AG则阴影部分的面积等于（）【分析】连接OB，OC易证：BOC是等边三角形，且阴影部分的面积=4BOC的面积，据此即可求解.【解答】解：连接OB,OC.AB是圆的切线，/ABO=90,在直角ABO中，OB=1,OA=2/OAB=30,/AOB=60,OABC,COCOB=AOB=60,且S阴影部分=

29、Saboc,.BOB等边三角形，边长是1故选A.【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明BOB等边三角形是解题的关键.5 .如图，PAPB分别是。的切线，A,B分别为切点，点E是。上一点，且/AEB=60,则/P为（）A.120°B.60°C.30°D.45【分析】连接OABO由圆周角定理知可知/AOB=2/E=120°,PAPB分别切。O于点A、B,利用切线的性质可知/OAPWOBP=90,根据四边形内角和可求得/P=180°-ZAOB=60.【解答】解：连接OABQ ./AOB=2E=120°, ./OAP

30、hOBP=90, ./P=180°-/AOB=60.故选B.【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解.解答题（共3小题）6.如图,P为弦AB上一点,CP,。汽。于点C,AB=8匐卷求PC的长.【分析】延长CP交。O于D.由垂径定理可知CP=DP 由 AB=8二,得至Ij APd AB=2.PB 34AB=6.再根据相交弦定理得出PC?PD=AP?PB代入数值计算即可求解.【解答】解：如图，延长CP交。于D.CP±O只，CP=DP.AB=&里=LPB3hl3，AP±AB=2,PB4AB=644ARCD是。的两条相交弦，交点为P,PC?PD=AP?RBPC2=2X6,PC=2/3.【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7.如图，AB,BCC9别与。O相切于E,F,G,且AB/CDBO=6cmCO=8cm求BC的长.【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC是直角三角形.再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解：.AB,BC,CD分别与。O相切于E,F,G