中心极限定理教学设计

1、概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100 分钟任课教师李g专业与班级人力资源管理B1601-02市场营销B1601课型新授课课题中心极限定理学 习 目 标知识与技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和列 维一林德伯格中心极限定理（独立同分布中心极 限定理）的结论和应用条件，并会用相关定理近似 计算启关随机事件的概率;过程与方法1中心极限定理产生的历史背景。2 .中心极限定理的提法.3 .林德伯格-勒维中心极限定理4 .-莫弗一一拉普拉斯定理5 .林德贝格中心极限定理6 .李推普诺夫中心极限定理7 .中心极限定理在管理中的应用页脚内容1情感态度与价值观1 .培养学生能够

2、自觉地用极限定理的视角观 察生活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实 际问题，提高认知能力和水平.2 .中心极限定理名称的得来是由于随机变量 和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在 长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心 课题，因此也得到了中心极限定理的名称.3 .让学生懂得，量变与质变的辩证关系。.教学分析教学内容1中心极限定理产生的历史背景。2 .中心极限定理的提法.3 .林德伯格-勒维中心极限定理4 .-莫弗一一拉普拉斯定理5 .林德贝格中心极限定理6 .李推普诺夫中心极限定理7 .中心极限定理在管理中的应用教学重点1-莫弗一一拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理；教学难点1-莫

3、弗一一拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理；页脚内容2教学 方法与策 略课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们问 的关系谈起，通过对概率论的经典定理一中心极 限止理在独立同分布和不1司分布两种情况卜的 结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根 本的性质一平均结果的稳定性.经过对中心极限 定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可 以用正态分布来表示的理论依据.同样中心极限 止理的内谷也从独立同分布与独立不同分布两 个角度来进行讨论；最后给出了一些中心极限定 理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险 业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定 理在各分支学科中的重要作用和应用

4、价值.板书设计教学进程教学意图教学内容教学环节页脚内容31极大似然估计的原理与思想（10分钟）概率统计学是一门研究随机现象统计规律，t1的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然 科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农 医学科、企业管理部门等.而大数定律和中心极 限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以 说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在 这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算， 而且主要是赌博中的概率计算 .极限定理最早 的成果有:伯努利大数定律，棣莫拉普拉斯定 理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要 研究方向一大数定律、中心极限定理及以正态分 布和泊松分布为代表的无穷可分分

5、布的研究.概 率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于 正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类 定理，有广泛的实际应用背景.在自然界与生产 中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影 响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总 的影响可以看作是服从止态分布的.中心极限定 理就是从数学上证明了这一现象.最早的中心极 限定理是讨论n重伯努利试验中，杲事件 A出现 的次数渐近于止态分布的问题.1716年前后，棣 莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件 A出现的 概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯 和李亚普诺夫等进行了推广和改进.自莱维在 1919-192肝系统地建立了特征函数理论起，中心 极

6、限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了 普遍极限定理和局部极限定理等.无论是在概率 论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的 研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基 石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对时间：10分钟中心极 限定理的名 称最早是由 仆里耶 （1920年）提 出来的，中 心极限定理 的一般形式 最早是由切 比雪夫 （1821 年一 1894年）提 出来的卜陶 我们介绍四 个主要定 理:1淋德伯页脚内容4中心 极限定理 的提法于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影 口防概率论的发展.同时新的极限理论问题也在 实际中不断产生.这样中心极限定理在概率论中 占有重要的地

7、位，同时极限定理的研究引起了现 代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等 方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究 具有一定的理论和实际意义.直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至无 穷多个）随机.因素的总合，其中每个随机因素的 单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均 匀，那么它就服从（或近似地服从）止态分布，下 面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.在许多情形下，一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和,X 12n（a）这里，每个直观上表示一种随机因素的效应，假如式（a泡含了决定X的充分多的随机因素n的效应（即n充分大），则j的分布就近似于 Xi 1的分布.中心极限定

8、理就是要说明，在什么条件 下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布， 即，在什么条件下，当n时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的.格f维定 理2）棣莫弗 一拉普拉斯 定理2）林德 伯格定理3） 李雅普诺夫 定理.其中 林德伯格定 理是最一般 的，其它情 形可以看作 它的推论.页脚内容5页脚内容6累计10分钟中心极限定理有多种/、同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项1, 2,上的条件不同.独立同分布随机变量列的中心极限定 理，是中心极限定理最简单又最常用（特别在数理 统计中）的一种形式，通常称做林德伯格-勒维 定理.历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉 普拉斯（积分）定理是它的

9、特殊情形.时间：5分钟页脚内容7引入 中心极限 定理的基 本思想累计 20分钟设k(k 1,2,)的方差D ，大于0 ,令 nak E k,b2 D k,B2b2k 1(1)我们说，随机变数列k服从中心极限定理，如果关于x R1均匀的有_ 1 n ,、1x ；,lim P (k ak) x ；= e 2 dt.nBn k 1厅(2)，一一、一一1n .(2)表小：随机变量数 工 (k ak)的分布Bn k 1函数关于x均匀的趋于正态分布 N (0,1)的分布函数.用足球 比赛事件引 入达到以下 目的：吸 引学生注意 力，使学生 尽快进入上 课状态； 帮助学生深 入浅出的理 解极大似然 估计的基

10、本 思想.教学教学内容教学环页脚内容8意图节独立同分布的两个定理：林德伯格-勒维中心极限定理设Xi,X2, , Xn,相互独立，服从同一分布，具有数学期望和力差：E(Xi),Var(x) 2 0.记X1 X2 . Xn nYn赤则对任意实数y ,有1 y 1lim p(Yny) (y)e dt.nV2(3)证明 为证(1)式，只须证 Yn*的分布函 数列若收敛于标准止态分布.又由定理4. 3. 43, 只须证Yn的特征函数列收敛于标准止态分布的特征函数.为此设Xn的特征函数为(t),则Yn*的特征函数为nY；(士时间20分钟提问：如何度里样 本值出现的可能性？页脚内容9林德伯格-勒 维中心又因

11、为 E(Xn ) 0,Var(Xn )2 ,所以有(0) 0,(0)2于是特征函数有展开式t22(t)(0)(0)t(0)- (t )212 221 2t2(t2)2从而有2 2 nt2t2t2Klim Y*(t) lim 1 (-2)e 2 ,nYnn2nn2二而e 正是N (0,1)分布的特征函数，定理得 证.例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从 参数为 2的泊松分布.若一年365天都经营汽 车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一 年中售出700辆以上汽车的概率.解:设x某汽车销售点每天出售的汽车辆数，则Y为X2X365，为一年的总销量.由E(Xi) Var(x) 2,知E(Y)

12、Var(Y) 365 2 730.利用林德贝格 -页脚内容10勒维中心极限定理可得，P(Y 700) 1 P(Y 700) 1(700 730) 1030这表明一年中售出700辆以上汽布的概率为0. 8665(111) 0.8665页脚内容11累计40分钟莫弗一一拉普拉斯定理(10分钟)教学意图教学内容教学环节在n重贝努里试验中，事件 A在每次试验中 出现的概率为p (0<p<1), n为n次试验中事件时间10分钟页脚内容12隶莫弗拉普拉斯定理A出现的次数，且记Yn nPnJnpq且对任意实数y ,有1y t2nhm p(Yny) (y) -j= e dt.此定理由定理1马上就得出

13、，也就是说定理 2是定理1的推论.例2某保险公司多年的统计资料表明，在索 赔户中被盗索赔户占20% ,以x表示在随意抽查 的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户 数.(1”出x的分布列；(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概 率近似值.解：(1) x服从n 100, p 0.2的二项分布b(100,2)，即p(x k) n 0.2k0.8100 k,k 1,2, ,n k(2)利用隶莫弗一拉普拉斯中心极限定理， 有主要依 据上边的例 题，归纳总 结离散型总 体下似然函 数的构建.页脚内容13累计50分钟30.5 100 0p(14 x 30)p(13.5 x 30.5)(.-J100

14、 0.2 (2.625)( 1.625)(2.625) 1(1.62这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0. 9437.()(流5) 0.99565100 0.20.2 0.80.9480.9437页脚内容14课间休息10分钟3.极大似然估计法应用（15分钟）教学意图教学内容教学环节对于独立同分布随机变量序列1, 2,只要时间5它们的方差有穷，中心极限定理就成立.而在实 际问题中说诸i具有独立性是常见的，但是很难说诸i是“同分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差工的产生是由大量“微小的”相互独分钟n立的随机因素叠加而成的，即Yni则i间具i 1林德 贝格中心 极限定理有独立性

15、，但不f 同分布，所以我们有必要讨 论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目 的是给出极限分布为正态分布的条件.林德伯格 （Lideberg近1922年找到了独立随机变量服从中 心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格 条件.2. 3. 1林德贝格中心极限定理通过指 数分布（连 续型）参数 的极大似然 估计，进一设独立随机变量序列Xn满足林德贝格步巩固极大条件，则对任意的x,有似然估计的方法与步骤，同时体页脚内容15limnP InBn i 1(Xi1x t2i) xJ e dt.尸现极大似然估计法在工为证此,先证卜列三个不等式：对任意实数件生活中启a ,有着很广泛、|e1a 1 a;很重

16、要的应用.2ia1,1aeiaI2!(5)ia).e1ia2 a比23!(6)实际上，对a 0上三式明显.设a 0,则.一a .ia Aix e 1 e dx a;0iaiaa .0(eix1)dxaxdx02!，2ix ee1a 1 ia 0 (eix 1 ix)dx2ax dx2 a0 2!3!1 ixdx利用 e1a cos a i sin a ,可见(4) (5) (6)页脚内容16累计15分钟方都是a的偶函数，故他们对a 0也成立.李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列k ,存在常数 0,时间15分钟页脚内容17李雅 普诺夫中 心极限定 理使当n时有1n2/E k ak|0（25）

17、B n k 11则（2）对x均匀的成立.证.只要验证林德贝格条件满足， 由（25）1 n,、2 、d2伙 al B（X 涿）dFk（X）B n k 1 x akl &nn1 i2- /、2 X ak dFk（x）B2n（ B） k 1 lxak| Bn144n211LC ,、2E k ak0,（n）B n k 1例3一份考卷由99个题目组成，并按由易到 难顺序排列.某学生答对第1题的率为0. 99; 咨对第2题的概率为0. 98;M地，他答对第题 的概率为1 i/100,i 1,2,|.加入该学生回答各 题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题 目以上（包括60个）才算通过考试.试

18、计算该学 生通过考试的可能性多大？解设页脚内容181,若学生答对第i题;Xi0,若学生答错第i题.于是Xi相互独立，且服从不同的二点分布：P(Xi 1) Pi 1 i 100, p(Xi 0) 1 Pi i 100, i 1,2,U,99而我们要求的是99 p( Xi 60). i 1为使用中心极限定理，我们可以设想从X100开始的随机变量都与 X99同分布.且相互独立.下面我们用1来验证随机变量序列Xn满足李雅普，若夫条件(25),因为BnVar(Xi)：口(1 p),(n)E(|XiPip)Pi3(1Pi)Pi(1Pi)3Pi(1Pi),于是页脚内容191 n 3、1_B3E( Xi Pi

19、 )n120n 1 1Pi (1 Pi )i 1(n),即Xn满足李雅普诺夫条件(25),所以可以使用中心极限定理.又因为999999E( Xi)Pi(1 3)49.5i 1i 1i 11009999iiB99Var(Xi)(1 )(_n) 16.665i 1i 1100 100所以该学生通过考试的可能性为99(99 X 60)49.5 62 49.5P i 1 ip日6.665日6.6651(2.5735) 0.005 .由此看出：此学生通过考试的可能性很小， 大约只有千分之五.页脚内容20累计30分钟页脚内容21中心极限定理在商业管理中的应用(20分钟)教学意图教学环节水房拥挤问题假设某高

20、校有学生5000人，只有一个开水 房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同 学用卜长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集 团公司提议增设水龙头.假设后勤集团公司经过 调查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在 总务处遇到的问题是：(1)木新装水龙头前，拥挤的概率是多 少？(2)需至少要装多少个水龙头，才能 以95%以上的概率保证/、拥挤？解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水龙 头的人数为X ,则X B (5000, 0. 01)拥挤的概率是45_ kkp( 45) 1 p(045) 1C5000 0.010.k 0直接计算相当麻烦，我们利用

21、隶莫佛-拉普拉时间10分钟提问， 请学生思 考.炉000 k页脚内容22斯定理.已知 n=5000,p=0. 01, q=0 . 99, np 50, Jnpq 7.04.故i445 500 50P(045)7.047.04从而 p( 45) 1 0.2389 0.7611 .怪/、得同学们有不少的抱怨.拥挤的概率竟达到 76. 11%(2)欲求m,使得P(045) 0.95即m 500 50- “0.95 7.047.04由于07.0907.04即m 50 0.95 7.04查标准正态分布表，得 m 50 彳1.6457.04即0.717.0.2389.页脚内容23m 61.6故需要装62个

22、水龙头.问题的父形：(3)需至少安装多少个水龙头,才能以99% 以上的概率保证/、拥挤？解：欲求m,使得P(045) 0.99即m 500 50- 2 0.997.047.04由于0 50八 7.090 . 767.04即m 50 八0.997.04查标准正态分布表，得m 50 c2.3257.04即m 66.4故需要装67个水龙头.(4)右条件中已有水龙头数年改为 55个，其余的条件/、父，1,2两问题结果如何？页脚内容24解：(1)55 50 p( 55) 1() 1(0.71) 0.2389 .7.04(2)同上.(5)若条件中的每个学生占用由1%提高到 1. 5%,其余的条件/、变，则

23、(1), (2)两问题 结果如何？解：(1)设同一时刻，5000个学生中占用水 龙头的人数为X ,则X B (5000, 0. 015),已知 n=5000,p=0 . 015, q=0 . 985 , np 75, Jnpq 8.60.拥挤的概率是45 75P( 45) 1 13.491.8.60拥挤的概率竟达到100%(2)欲求m,使得P(045) 0.95即口530.958.608.60由于页脚内容250 7508.60即m 75 八” 0.958.60查标准正态分布表，得m.25 1.6458.60即m 89.14故需要装90个水龙头.页脚内容26页脚内容27累计40分钟盈利问题:假设

24、一家保险公司有10000个人时间10参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一 个人死亡的概率为0. 006,死亡时，家属口向保 险公司领得1000元，问(1)保险公司亏本的概率有多少？(2)保险公司一年的利润不少于 40000元， 60000元，80000元的概率各为多少？解：设X为一年内死亡的人数，则X B(10000,1.06),即分钟巴工=可=%(0 0061(0 994广“*先=由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理(1)OJ. JO。盈禾1问题网保险金亏本)=PX=h.20-10000x0.06120-10000x0.06 1=_ F < > 1.40000x0.06x0.994