2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案

1、2005 年全国初中数学联赛初赛试卷 3 月 25 日下午 2: 30-4:30 或 3 月 26 日上午 9: 00 11: 30 学校 _ 考生姓名_ 题号 -一- -二二 三 四 五 合计1 得分 评卷人 复核人 一、选择题：(每小题 7 分，共计 42 分) 1、 若 a、b 为实数，则下列命题中正确的是( ) (A) ab 二 a2 b2；(B)a 工 b 二 a2 丰b2； (C)|a| b 二 a2 b2； (D)a |b| ： a2 b2 2、 已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则 a2005+b2005+c2005 的值是() (A )0 (B) 3 (C) 220

2、05 (D)3 22005 3、 有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五 边形，白皮为 正六边形，(如图)，如果缝制好的这种足球黑 皮有 12 块，则白皮有( )块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 4、 在 Rt ABC 中，斜边 AB=5,而直角边 BC AC 之长是一元二次 2 方程 x (2m 1)x+4(m 1)=0 的两根，则 m 的值是( ) 2 6、如图，直线 x=1 是二次函数 y=ax +bx+c 的图像的对称轴，则有( (A) a+b+c=0 ( B) b a+c 、填空题：(每小题 7 分，共计 28 分) 2 2 x的二次方程

3、x +a x+a = 0 有实根，则该方程的根 至y的最大值是 _ 3、 p 是O o的直径 AB 的延长线上一点，PC 与O o相切于点 C,Z APC 的角平分线交 AC 于 Q 则/ PQC = _ . (A) 4 ( B) 1 (C) 4 或一 1 (D) 4 或 1 5、 在直角坐横坐标都是整数的点称为整点, k 的值可以取( ) 设 k 为整数，当直线 y=x 3 与 y=kx+k (A) 2 个 (B) 4 个 (C) 6 个 (D) 8 个 (C) c2b (D) abcv 0 1、已知: 1 1 x 为非零实数，且x2 八 =a,则 2、已知a为实数，且使关于 x 所能取 4

4、、 对于一个自然数 n,如果能找到自然数 a和b,使n=a+b+ab则称n为一个“好数”， 例如：3=1+1 + 1 X 1，则 3 是一个“好数”，在 120 这 20 个自然数中，“好数”共有个。 2 、（本题满分 20 分）设 A、B 是抛物线 y=2x +4x 2 上的点，原点位于线段 AB 的中点 处。试求A B 两点的坐标。 四、（本题满分 25 分）如图，AB 是O 0的直径，AB=d 过 A 作。0的切线并在其上取一点 C,使 AC=AB 连结 OC 叫O 0于点 D, BD 的延长线交 AC 于 E,求 AE 的长。 五、（本题满分 25 分）设 x = a+b c ,y=a

5、+c b ,z= b+c a ,其中 a、b、c 是待定的质数, 2 如果x =y , z _、y =2,试求积 abc 的所有可能的值。 参考解答及评分标准 解：原点是线段 AB 的中点二点 A 和点 B 关于原点对称 设点 A 的坐标为（a, b）,则点 B 的坐标为（一 a, b） 5 分 又 A、B 是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得： b =2a 2 ： 4a -2 2 . 10 分 2 db =2a -4a -2 解之得： a = 1 , b = 4 或者 a = 1 ,b = 4 . 15 分 故 A 为(1, 4), B 为(-1, -4)或者 A (-1,

6、-4), B (1 , 4).20 分 四、解：如图连结 AD，则/仁/ 2= / 3=/4 CDE CAD .T -1 T 1 C D C A . 5 分 2 2 D E A D 又 T ADE s BDA AE D E CD C E 2 2 又由 CDEs A CAD 可得 ，即 AE =CD =CE- CA . 20 分 C A C D 2 设 AE=x，贝U CE=d x，于是 x =d(d x) 、选择题 （每小题 7 分，共计 42 分） 1、D 2、B 3、C 4、 A 、填空题 （每小题 7 分，共计 28 分） 2 1、 a 2 2、盲 2 3、 45 4、 12 5、C 1

7、0 分 由、及 AB=AC，可得 AE=CD 15 分 r 即有 AE = x = 5 d （负值已舍25 分 2 五、解：a+b c=x,a+c b=y,b+c a =z ,1 1 1 a = (x -,-y ) , b= (x - z) , c= (y - z) 2 2 2 又 , 2 -y=x , 故 1 a= (x 2 x )- -(1); 2 b=l (x -z)- -(2) 2 1 2 c= ( -z)- -(2 .x=1+8a 2 /x是整数，得 1+88=，其中 T 是正奇数。 . 10 分 T -1 T +1 T _1 T +1 于是，2a= ，其中 a 是质数，故有 =2, =a 2 2 2 2 T=5,a=3 . 15 分 将 a=3 代入（4） 得 x=2或3. 当 x=2 时，y=x2=4, 因而二2=2， z=16 ， 代入（2 ）、（3