【典型例题】第五章线性微分方程组

1、5-1 考虑方程组不=A(t)x(1)其中A(t)是区间a岂t岂b上的连续n n矩阵，它的元素为aij(t), i, j = 1,2/ , n,1)如果Xi(t), x2(t),xn(t)是(1)的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式WXi(t),X2(t), Xn(t)三W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=a11(t)乜22化)*nn(t)W(2)；2)解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：，玄门心)*Ljfann (S)dSW(t) =W(t0)e”，to,Wa,b。证 1)根据行列式的微分公式X11(t).X1；(t)X11(t).X1n(t)X11(t).X1n(t)W(t) =X

2、21(t).X2n(t)+x；1(t).也+X21(t).X2n(t)(3)Xn1(t).Xnn(t)Xn1(t).Xnn(t)x：1(t).X：n(t)由于X1(t), X2(t),Xn(t)是(1 )的解，所以n所以Xik(t)=v aij(t)Xjk(t), (i,k =1,2，n)，把这些等式代入(3)的右端，化j#简计算每个行列式，如(3)式右端第一项等于第五章线性微分方程组an(t)Xk(t)二a21(t)S1(t)am(t)丫X1k(t)a2n(t)IX2k(t)I :I -ann(t)人Xnk(t)fn为a“(t)Xjk(t)jmn艺a2j(t)Xjk(t)jmn送anj(t)

3、Xjk(t)ljmnn类似地可以算出(3)式右端其它各项分别为a22(t)W(t),ann(t)W(t)，代入(3)得W =aii(t) a22(t) ann(t)W( 2)2)方程(2)是关于W(t)的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为W(tHCettoail(Sann(S)dS，C为任意常数。若t二t,W二W(t。)，贝UC二W(t。)，于是W(t) =W(t0)eai1fn(s)ds。an (s)十*4ann(s) ds评注：公式W(t) =W(to)etJ) 11称为刘维尔公式，反映了线性齐次方程组n的解与系数矩阵A (t)的关系。7 aii(t)二aii(t)P22(t) ann

4、(t)称为矩阵A (t)的迹，i VI trA(s)ds记为trA(t)，所以刘维尔公式又可表示为W(t) =W(t0)et0。从公式中可以看出，线性齐次方程组(1 )的n个解构成的朗斯基行列式W(t)或者恒为零，或者恒不为零。5-2 设A(t)为区间atb上连续的n n实矩阵，(t)为方程x=A(t) x的基本解矩阵，而x =0(t)为其一解。试证：1)对于方程y二-AT(t) y的任一解y二(t)必有(t)0(t)二常数；2)W(t)为方程y_-AT(t) y的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C,使屮T(t)(t)二C。证 1)由于y = (t)为方程y丄-AT(t) y的解，则

5、、aij(t)Xj,t)j丄X21(t)Xnl(t)送aij(t)Xjn(t)j二X2n(t)=aii(t)Xii(t)X21(t)Xn1(t)Xin(t)X2n(t)Xnn(t)=aii(t)W(t)nn如(t)二-AT(t)t),F两边转置，得(f(t)T=(t) A(t)，即(t) =(t) A(t)。因为d 】=(几+(t)/(t)dt=(t) A(t)片(t)+(t)( A(t)0(t)=0 ,所以必有(t)0(t)二常数。2)必要性。由于W(t)为方程y - -AT(t)y的基本解矩阵，则 屮(t) -AT(t)屮(t), 转置后，得WT(t)二-WT(t) A(t)。因为d (t

6、)I:些T(t)屮T(t)(t)dtmT(t)A(t)(t)屮T(t) A(t)(t)=0(零矩阵)。所以WT(t)(t) =C(常数矩阵)，而W(t)和(t)都是基本解矩阵，因而C还为非奇异矩阵。充分性。由于存在非奇异的常数矩阵C，使WT(t)(t) = C,两边关于t求导数，有d W I WT(t)(t) WT(t)(t)dtr=；WT(t)(t)WT(t)A(t)(t)= 0F即WT(t)(t)= -WT(t)A(t)(t),而(t)是基本解矩阵，则(t)为非奇异矩阵，故有WT(t)- -WT(t) A(t)，即W(t)T= -WT(t) A(t)，两边再转置，得W(t)二-AT(t)W

7、(t),即证明了W(t)为方程y -AT(t)y的基本解矩阵。评注：由证明过程可以看出，方程些二AT(t) y和xA(t)x的解曲线之间满足5-3 设(t)是n阶线性方程组dxAx(A是n n的常数矩阵)的标准基本解矩阵， (即(o)= E)证明(t)(to)=(t to)其中to为某一值。证因(t)为基本解矩阵，则有d(t)A(t),det(t)=0dt所以(t -to)也是基本解矩阵。由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故(t一鮎)=(t)C,由条件(0) = E得，(to)C二(0) = E，即得C =1(to)，所以有(t)(to)=(t -to)。评注：这是标准基本

8、解矩阵的一个性质，即exo(t - to)AAt)e)p( -toA)。5-4 试求下列方程的通解nn1)x x = sect, t222t2)x -8x = e。解 1)呆1 = 0, L二i，齐次方程的基本解组为捲二cost, x2(t)二si nt才、cost si nt 所以Wx1(t), x2(t) =1，取to= o,禾U用常数变易公式 sint costd(t to)d(t -to)-A(t to),d(t to)dt-A(t - to),tx2X1(s)X1(t)X2(叫(s)dstoWX1(S),X2(S)l(t)=可得原方程的特解为t（t） = （s in t coss-c

9、ostsins）原方程的通解为x =tsint +costn cost +G cost +C2sint。2）丸8=0,釦=2,丸2,3 =一1 ,齐次方程基本解组为xjt)二e21, x2(t) = cos】.3t, x3(t)二esin；3t。利用常数变易公式，原方程满足初始条件的特解为：Z Xk（t）fWkXl（s）X2（s），X3（s）心0WX1（s）, X2（s）, X3（s）其中WkX1(s), X2(s), X3(s)是在朗斯基行列式 WX1(S),X2(S),X3(s)中的第k列代以0,0,1T后得到的行列式。经计算可得W(t) =12Wt)淀W2(t)二et(3sin、3t -

10、3 cos . 3t),W3(t)二-et3 sin、3t 3cos .3t),可得原方程的特解为(t)=te2t丄e2t+edcos J3t -esi n J3t1224192576原方程的通解为x = (C1co 3t C2sin 3t)eC3e2te2t。评注：此题主要是常数变易公式的应用。常数变易公式表明线性非齐次方程的特解可以由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示。当然，此题中的 解会更简单。5-5 给定方程x 8x 7x二f (t)其中f (t)在0乞t-上连续，试利用常数变易公式，证明:1)如果f (t)在0乞t：:上有界，则上面方程的每一个解在0乞t：:上有界;1cossd

11、s = tsin t + cost In costf （s）2)用待定系数方法求特2)如果当t：时f(t)0,则上面方程的每一解強)，满足 垠) 0(当。 8.；.,7二0,讪二_7,心二-1，齐次方程有基本解组e,e可得原方程的一个特解所以原方程的任一解为s17tt7se f (s)ds e_e f (s)ds。6L00：e-1，故在0_ t：:上有2)因为(tC1eiC2eJt1e4esf (s)d1e_7t6106f(t) 0,所以若oesf (s)ds和oe7sf (s)ds均有界，则当t时，0,er 0因而，对每一个解：(t)都C1+C2+吕(2)+务(1)勻G +C2642所以，每

12、一个解；:(t)在Ot：:上有界。M21证 i).2W(t)e-e1-7訐一6e$。利用常数变易公式:tX2(t)X1(s) X1(t)X2(s)f(S)ds0Wx1(s), X2(s)7(t)二18s .e (e6ts0e f (s)dsJte-eJes) f (s)dsetoe7sf (s)ds,因为f (t)有界，故存在M0，使得f (t)込M ,t 0,：)，而在0岂t：二上,(t)兰Cieds+石ee7sdsfs7sd2)如果当t：时f(t)0,则上面方程的每一解強)，满足 垠) 0(当。lim惟)Jimt6t 有一0。tt 7设0 esf (s)ds和f esf (s)ds都是无穷

13、大量则0esf (s)dstee2c+又(t)是基本解矩阵，(t)二A(t)O(t),1retf(t) 1e7tf (t)nlimtlimyro。6t：et6 i 7e所以， 方程的每一个解gt)，满足gt)o,当t :。评注：一般地，对于高阶常系数线性非齐次方程有如下结论：若 其 对 应 齐 次 方 程 的 特 征根的实部均为负，则当非齐次项f(t)在Omt：:上有界，则方程的每一个解在Ot：:上5-6 给定方程组空=A(t) xdt这里A(t)是区间a辽tmb上连续的n n矩阵，设 (t)是方程(1)的一个基本解矩阵,A(t) x + F (t, x)gto) = n的解g(t)是积分方程

14、组1t1x(t)工(to)nt(t)(s)F (s,x(s)ds(3)to的连续解。反之，(3)的连续解也是初值问题(2)的解。证因为 雉)是初值问题(2)的解，所以&(t)二A(t)(b(t) - F (t,雉),这说明F (t, x)是t的向量函数，且 雉)是线性非齐次方程组x= A(t)x - F (t,gt)的满足初始条件Mt。)= n解，于是有.t丄gt)=(t)(t)n+ f(t)(s)F (s,gs)ds,这说明gt)是积分方程组(3)的连续解。反之，设gt)是积分方程组(3)的连续解，则有(3)式成立，微分(3)的两边得g(t)二(t)4(to)V (t):(s)F (

15、s,gs)ds(t)Ft)F (t,gt)To=(to)n + f ，(s)F (s,gs)ds十F (t,gt)5有界；若当t:时f(t) O，则方程的每一个解gt)，满足(Kt)r o，当t ：:。(1)维向量函数F (t, x)在a乞t乞b,X:上连续，to a,b，试证明初值问题(2)所以6(t)二A(t)(t)(to)nA(t)(t)t(s)F (s,(Ks)ds F (t,卅)=A(t)(t)(to)n (t):J(s)F (s,Ms)ds F (t,t)=A(t)(t)+ F (t,t)且Mt。)= n故 林t)也是初值问题(2)的解。评注：方程组x = A(t) xF (t,

16、x)虽是线性非方程组，但和它等价的积分方程组在形式上与线性非齐次方程组的常数变易公式相同。这个积分方程组在微分方程定性理论方面有 广泛的应用。5-7 试证：如果 雉)是方程组Ax满足初始条件Mt。)=n的解，那么t)二exp A(t -to)n证 由于方程组x =Ax的基本解矩阵是exp(At)。设M(t)的形式为Mt) =exp( At)C(1),则由初始条件得n= Mt0) =exp( At0)C,而exp( A to)二exp( -At。),所以C =exp( -Ato)n代入(1)得Mt)二exp A(t -to)n评注：一阶常系数线性齐次微分方程组x =Ax的标准基本解矩阵为exp(

17、At);通解为Mt) =exp( At)C；满足初始条件Mto) =n的解为Mt) = exp A(t -t)nexp( At)，其中A为:2-33、o3 -2 12)4-533)81-11-1 2-425 1T5-8 试求方程组x二Ax的一个基本解矩阵，并计算1)入-2二“，得 m3。解 1)由det(:E - A)二又由代数方程组73+2-1173 2二0,求得属于特征值入二?3的特征向量为U,二同理属于特征值石-3的特征向量为所以基本解矩阵为(t) = (e3tu1e3tu2e(2 - .3)lt标准基本解矩阵为ex pA(t)=(t)(0)e3te(2+43 e(2-V3e*丿1234

18、3(為teJ3tez6& +A/3e(2-Ve2- 3- 2323 e_3t2-、3訂e3te_e-1b七t-3 e_3t入-23-3入-23-32)由det(疋A)=-4入十5-3=-4入十5-3-44入-20-(入 +1)入+1入-20-3二-4入+2-300入+1(入 +1)(入 +2)(入2)0, e.3t得特征根为石=-1, & =-2, =2。所以基本解组为0_2te_2te标准基本解矩阵为-5=，3_2_15，_9 = 0 ,Q-23-3、3由特征向量方程组-4V5-3U2=044，分别求得属于特征根11和10丿的特征向量为_J2te2te丿J-1 1)r2t2t

19、_t2tee-e-e+ eJ2t丄2t-J2t2t2t-e+ ee+ e-e-e+ eJ2t丄2t-J2t2t2t-e+ ee-ee-110入一10-3_Le2te-2te得特征根为 -3,丛=2士乜7。入一1由特征向量方程组入一1-5-1f、U1U20丿23-3分别求得属于特征根1V1_t2t、e2te2teexp( A t)=(t)二(0)f -Le_L e0-2te_2tee2tY12te2te、f -Le02te人0丫0-13)由det(疋- A)=-8入一1-1(t)二e2t_54.7的特征向量为7_344.7 - 531.7所以基本解组为(t)二et标准基本解矩阵为ex pAt).

20、3te7：te343e314.7(2w 7)tJ3te7 3e343e3二(t)(0)(2 7)te47 -5e317(.：7)t- e3t e7te34J3te331 - , 74、7 -531.73(2 !W7)te4 .7-5(2術)t- e317(2-.7)t-e3e(2 7)t4 15(2 f7)te31_ 7(2- e3e(2刁4 7-531.74一7 531-747 - 5(2血7)te31 - 7(2亠7)te3475(2 _ 7)te317e(2T：7)t33.7_372. 735- .73573_8/7、3 _-2+4/73 _2 + 4/7丿由于所求标准基本解矩阵表达式占

21、空间比较大，我们将它的每一列表示如下:54.72仏3 （3.7甘5一（3-、.7甘一一14.7_3t131 ,1（2 7）t- 13、.7（2-；：7）t-eee333-8 .1J3t10 4、7（2爲7）t-10 4、7（2_ 7）t-eee333评注：求基本解矩阵或标准基本解矩阵是求解线性方程组的基础。对于常系数线性方程组，且其系数矩阵的特征值为互不相同的单根时，求基本解矩阵的关键是转化为求系数矩阵 的特征值和特征向量的问题。0-3X；+2X1+X2-X2=O（ d 2x1+ x；十x2= 01）试证上面方程组等价于方程组 U =Au（ 2）；纭1、X1 010 其中u =U2=X；，A=

22、44203X2J2_1一12）试求与（1）等价的方程组（2）的基本解矩阵；3） 试求原方程组满足初始条件X1（0） =0,X1（0） =1,X2（0） = 0的解。证 1）令 5=X1,U2=捲，出=X2，则方程组（1）化为14*75 -、_7e_3_-14 . 73-5325：7e9. 一24,1（2%7）t- e92、7e3J3te987j3te9（2 7）t5.7（2j：7）t-e35325.1（2 &7）t-e9+ 2 + 4 7 e（2 J1）t98打t4/7-2e3356 7122 -28、7e99327326 2、7e（2 7）tee（2 7）te（2咛7）t2 4i7（

23、2j7）te3_12227（2/）te9 _26 21 7（2r；1）t-e914 .75-9 给定方程组u1= u2214-2-1-31u = 0,得u2= 111、2)，尸0,= 3u? 2u U3+ U3,U3 =u2*2ui u31h将上式的第三式代入第二式得u, =u2* u-比+4u?*2口3,u 2u1u2u3上式向量形式为(010、Iu = -4 42 U,I2-1_1丿即u = Au(2)。反之，设x1=比“=u2,x2= u3，则方程组(2)化为x= 4X1+4x1+2X2即X =2为x；x2x/ = 3x； 2% x；+ x2。x；= 2x1- x；-x22)求方程组(2

24、)的基本解矩阵。x；-2x13x1x2-(2x1- x；-x2) x2= 2x1- x；-x2可得u1= u22入_ 10由det( 2E -A)=4入4-2X入=0-21入+10,4=1,=2。正是互不相同的单根。0_ 10 x由(入E A)u =44-2 u = 0，得u1= a0-211丿a丿求特征根和特征向量,得特征根为a 0,第止步得u3=Y2丫式0。广2-1由(kE A)u =42-2 1仃t 2t1e e则基本解矩阵为(t)eSe2 = 0et2e2t2-et0 2洛(0) =0,禺(0) =1x(0) =0的解。解法1令比=捲，u2= x1,u3=x2，则（1）化为等价的方程组

25、（2）且初始条件变为1 11、v1 =0，V2 =1，V3 =21迈丿1。 第二步求标准基本解矩阵取0、-2 u = 0,3所以，由于标准基本解矩阵exp( At)二（t） （0）,所以有exp(At)二tete1te22te2e2ttete1te22te2e2t-1-22-232-2-1 4et-2e2t4et-4e2t-2 2et1- 2et2-2et3e1 -et32te22tt 2t1 -2e e-2et2e2t23）求原方程组满足初始条件得u3=Y2丫式0。U1（0） = 0, U2（0） =1,U3（00，而（ 2）满足此初始条件的解为f_1 +4g _2e2t10t+32t2e

26、+ eA1 - 2d+e2t(022exp( A t) n =4d _4e2t-2e3e2t-2d + 2e2t1-2+2d1-et2-d丿1t32t一 一2e +-e22-t - 2t-2e + 3ete解法 2 拉普拉斯变换法。设x/t）的拉普拉斯变换记为Xj（s），i =1,2。在方程组两端施行拉普拉斯变换得s2X1（s） -1 -3sX1（s）+2X1（s） + sX2（s） - X2（s） =0SX1（s） 2XMs） +sX2（s） + X2（s） =0r9（S23s + 2）X1（s） +（s 1）X2（s） =1、（s2）X1（s）+（s + 1）X2（s） = 01 1131

27、解得X1（s- - - 2-2 s s 12 s2再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为% （t）二丄2d3e2t，X2（t） =1yt。2 2评注：高阶方程组可转化为一阶方程组，且它们对应的初值问题是等价的。利用这个等价原理，有时在解方程组时消去某几个未知函数，使方程组用一个未知函数及其各阶导数来 表示，从而转化为高阶方程的求解问题；有时也可将高阶方程组转化为一阶方程组来求解；有时也可直接求解高阶方程（组），拉普拉斯变换法就具有这样的功能，见5-12 题。5-10 假设m不是矩阵A的特征值，试证线性非齐次方程组x AxCemt有一解形如強）二Pemt，其中C,P是常数向量。证设方程有形如y

28、t）二Pemt的解，下面证明P是可以唯一确定的。事实上，将Pemt代入方程组，得于是根据等价性，（1 ）满足初始条件的解为:xi-23e2t,X2=1-。2 2X2（s）1S（S-1）1s -1mtmtmtmP eAP eCe,因为emt= 0，所以有mP二AP C,即(mE - A)P =C,又因m不是矩阵A的特征值，即det(mE _A)=0,所以(mE - A)J存在，于是由(mE - A)P = C，得P =(mE - A)C,即P可由方程组唯一确定。故方程确有一解yt) = (mE - A)Cemt= Pemt。评注：本题给出寻求线性非齐次方程组特解的一种方法。010 ”_01）林0

29、） = 0,A =001,f十-11一6J试求方程组xf (t)的满足初始条件的解Kt):=Ax5-112）A-3-1，f（t）si nt|-2cost3）1 1右，2,f （t）e1）由det（疋A）=入-100X-1611XX6（入1）（入2）（入3）=0,X_ 10iU1由特征向量方程组0XT !U200,分别求得属于特征根 入，,k的特征特征根为入-_1, & _ -2,右_-3。1所以基本解组为r 1)r1、,zeeLe(t) =_L e -1e-2 ,et-3=_L-e一2尹-3eLJ J49.-_Le4eL9。丿标准基本解组为1exp( At)=(t)(0)tx(t) =

30、exp( t _to)An+ J exp(t _s)A f (s)ds,咗0所求特解为-e +2e -e -L4s /-2t 七 s 丄 c -3H3s I -s .e -4e +3e e ds-t 七亠 c -2t42s c -3H3s厂e +8e -9ey/ _Lee 2e 3r111、_L-e-2eL-3eL-1-2-3_Le4eL9eJJ49j/_Le_L_2te,_2L3e亠_3tz-6-5-T-e-2e-3e682_L_2t亠_3t4e9ej I1-3-b12*-5e亠8e-3eJ3t.t2L_3te2ee6e5e-16eL9e”L-L2t3te - 4e3e-18eL-5e_L3

31、2e-27e2t3t-e8e -9e-6ed6et6e丄12e-6e丄24et由常系数线性非齐次微分方程组的满足初始条件4(t0) = n的求解公式30t+ Lexp(t - s) A*0 0-s否丿Mt) =exp( A t)ds向量为1-tCe-t2e-4e-t-2t s-2t s8e3e-3t 2-9e-3t 2ds1_t3_2t1_3tteee -e2441tte4te_-2e-t33te_254-teJ-e14et一92442)首先求出A=f一3I的特征值与其对应的特征相量。!2-k对于-!=1,其特征向量方程组为_30。一2行由此可得w =。同样，对于J丿再求齐次方程组的基本解矩阵

32、。不二A(t)xf(t)的满足初始条件 林t0) = n的解为det ?E - A二入-4-23入+1=入-1入-2=0齐次方程组的两个线性无关解为齐次方程组的基本解矩阵为(t)二e$3e2t12e2t由于，(s) = |2；-e3e1e，则0(、_-2 3 10)=,：1 -1一3eT-23所以标准基本解矩阵为(t)(0)=|t2ejL 1T 一最后求方程满足初始条件以0)二:,1的解X)。In一o由于线性非齐次微分方程组2=2，有2一3u=0，由此可得2一3(-2惟)=(t)(to)n (t)七(s) f (s)ds0所以机二ete3e2t2e2t13e2t2e2t3e*sins_/s-2cosSjds3n)et3n)et(n- n )2et3e2t2e2teJ4 cost - 2 si ntetcost(-23n- 4归七(n - n1)3etcost2sin t+ 3n- 4)et+ (n _ n+1) 2& + 2 cost