解读定积分与微积分基本定理新

1、解读定积分与微积分基本定理一、知识点精析知识点1曲边梯形的面积曲边梯形是曲线 y f(x)与平行于y轴的直线x a, x b和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：(1)分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形.从区间a, b上看，用n 1 个分点将区间a, b分成n个小区间(不一定相等)(2)近似代替：在每个小区间为1, xi(i1,|,2, n)内任取一点(& i < i i),以f( i)为高，xi xi为1为底的小矩形面积为 f( i)为，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值.n(3)求和：将分割成的 n个矩形面积加起来，其和为 f ( i

2、) xi ,它是所求曲边梯 i 1形的面积的近似值.n(4)取极限：将曲边梯形无限的细分(即分点越多)，上面的近似值f( i x)就越i 1n接近于曲边梯形的面积，当 x中的最大值 max xi0时， f( i) x的极限i 1nlim f ( i) xi存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积. i 0 i 1知识点2定积分设函数yf(x)定义在区间a, b上，用分点a x0 x1 x2Hl xn 1 xn b,把区间a, b分成n个小区间，其长度依次为xi xi 1 xi(i 0,1,2,|n 1),记 为这些小区间长度的最大值，当 趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0,在每个小区间内n

3、1任取一点i)作和式I n f( J为,当 0时)如果和式的极限存在) 我们把和式I n i 0b的极限叫做函数f (x)在区间a, b上的定积分，记作 f(x)dx ,即 aa叫积分下限，b叫积分上限,n 1f (x)dxlimof ( i) xi .其中，f(x)叫做被积函数,0 i 0f (x)dx叫做被积式，此时称函数f (x)在区间a, b上可积.理解说明:b(1)定积分f(x)dx是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f (x)和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bf(x)dxabf (u)duaf(t)dt 川(称为积分形式的不变性)(2)在定积分bf(x)dx

4、的定义中，总是假设 a b,而当a b及a b时，不难验 aa证 bf(x)dx °，baf (x)dx f(x)dx .这就是说当定积分的上限和下限相同时，定 ab积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号.(3)在区间a, b上求连续函数f(x)的定积分，可归结为:分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤:分割：将区间a, b等分成n个小区近似代替：取点为,xii(i 0,1,2,3,", n 1)；求和：f(i)取极限：f (x)dxn 1 ba hm0,0f(i)-知识点3定积分的几何意义b般情况下，定积分f

5、(x)dx的几何意义是表示由 ax轴、曲线y f(x)以及直线ab定积分 f (x)dx的aa, x b所围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间a, b上，当函数f(x) )0时，曲边梯形位于x轴的上方,几何意义是由x轴、曲线y f(x)以及直线x a, x b所围成的曲边梯形的面积 S,即bS f (x)dx .ab当函数f(x)w0时，曲边梯形位于x轴的下方，在a f(x)dx limo f ( i)为右端的和b式中，由于 xi 0, f( i)w 0,所以有f ( i) xi w 0,从而定积分f(x)dx的值为负a值，此时由x轴、曲线y f(x)以及直线x a, x b所围成的曲边梯形的

6、面积S应是bbS f (x)dx 或 S f (x)dx . aa因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；计算各个定积分，求出所求的面积.知识点4微积分基本定理b如果 F (x) f(x),且 f(x)在a, b上可积，则 f(x)dx F(b) F(a),这个结a论叫微积分基本定理，其中F (x)叫做f (x)的一个原函数.也常记为b .bf (x)dx F(x) a F(b) F(a) . a理解说明：(1)由于F(x) C f(x),

7、所以F(x) C也是函数f(x)的原函数，其中 C为常数.b(2)利用微积分基本定理求定积分f(x)dx的关键是找出被积函数 f (x)的一个原函a数F(x),通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x),因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算.二、应注意的几点1 .根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便.2 .利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.bbb3 .f (x)dx , f(x)dx与 f (x)dx有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于aaa被积函数f (x)在闭区间a, b上可正可负，因而它的图象可都在x轴的上方，也可都在 xb轴的下方，还可以在 x轴的上下两侧，所以 f (x)dx表示x轴、曲线y f(x)以及