32851_《函数的基本性质——最大(小)值》教案3

1、1 .3 函数的基本性质-最大(小)值(一) 教学目标i 知识与技能(1) 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数.体会求函数最值是函数单调性的应用之一2.过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念.培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3 情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享 受成功的快乐.(二) 教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义(三) 过程与方法合作讨论式教学法.通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过

2、程中，获得最值的概念.从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.(四) 教学过程问题 1 函数 f(X)= X2.在(-于 0)上是减函数，在0，+8)上是增函数.当 x f(0)，x 0 时，f(x) f(0).从而xR.都有 f(x) f(0).因此 x=0 时，f(0)是函数值中的最小值.问题 2函数 f(x)= -2同理可知 R.都有 f(x) f(0).即 x=0 时，f(0)是函数值中的最大值.:1、函数最大值概念：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足：(1) 对于任意 x 都有 f(x) M.(2) 存在 Xo I，使得 f%)=M.那么，称 M 是

3、函数 y=f(x)的最小值.2、例题分析例 1设 f(x)是定义在区间七，11上的函数.如果 f(x)在区间吒，-上递减，在区间H2，11上递增，画岀 f(x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数 f(x)的一个.(最小值).例 2 已知函数 y=2(x2，6)，求函数的最大值和最小值.x -12 2分析：由函数 y= (x2，6)的图象可知，函数 y= 在区间2，6上递减.x -1x 12所以，函数沪亠在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值X1解：设 X1，X2是区间2，6上的任意两个实数，且X1 X2,则f(x1) -(X2) =2X!-12冷-1=2区一1)(洛一

4、1)_2(X2xj=(x1-1)(x2-1)=(為-1)区-1).由 2 x1 x26，得 x2- 0， (x1-)(x2-1) 0， 于是 f(X1) -(X2) 0， 即 f(X1) f(X2).所以，函数沪丄是区间2, 6上是减函数.x -1因此，函数 y=Z 在区间2, 6的两个端点上分别取得最大值与最小值，x -1即在 x=2 时取得的最大值，最大值是2，在 x=6 时的最小值，最小值是042例 3 .已知函数 f(x)=x 2x a，1，+a).x1(I)当 a= 时，求函数 f(x)的最小值；2(H)若对任意 x 1，+ g)， f(x)0 恒成立，试求实数a 的取值范围.分析：

5、对于(1)，将 f(x)变形为 f(x)=x+2+a=x+丄+2，然后利用单调性求解x 2x1，+g)恒成立，等价于 x2+2x+a 0 恒成立，进而解岀1f(x)=x+2 因为 f(x)在区间1，+ )2x解法二：af(x)=x+2x1,+g).X当 a 0 时，函数 f(x)的值恒为正；当 av0 时，函数 f(x)递增.故当 x=1 时，f(x)min=3+a.于是当且仅当 f(x)min=3+a 0 时，函数 f(x) 0 恒成立.故 a -3.思考题：已知函数 f(x)=x22x-3，若 x t, t+2时，求函数 f(x)的最值.解：对称轴 x=1 ,22(1) 当 1 t+2 即

6、 t 0时，f(X)V0,f(1)= -3.(1) 求证 f(x)是 R 上的减函数；(2)求 f(x)在-,3上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用所以 f(x)在区间1 , +g)上的最小值为f(1)=72 X。+2x + a(2)解法一：在区间1 , +g)上, f(x)=0恒成立2=x +2x+a 0恒成立.x设 y=x+2x+a，丁 (x+1) +a-1 在1，+g)上递增.当 x=1 时，ymin=3+a,于是当且仅且 ymin=3+a0 时，函数f(x) 0 恒成立， a 3.对于(2 )，运用等价转化0(xx1解：(1)当 a= 时,2上为增

7、函数,(2)W1Vt+2，即-1Vt 0 时，f(X)max=f(t)=t2-2t f(x)min=f(1)= 4.tW1VU -，即 0Vt 1 时，f(X)max= f(t + 2)=f+2t-3, 设函数最大值记为g(t),最小值记为(3)(4)g(t) =t:-2t -3,(t _0)2t -3,(t0)f(X)max=f(t+2)=+2t,f(x)min=f (1)=2f(x)min= f(t)=t H2t .;：(t)时，则有;:t 2t3,(tW1)：(t)二4,(-1： ： ：t1)t2t -3, (t 1)证明：(1 )令 x=y=0 , f(0)=0，令 x=可得：f(为=-(x),在 R 上任取 X1 X2，贝0f(X1) (X2)=f(X1) + f( 2)=f(X1：2). X1x，二 Xi-2 0.又:x 0 时，f(x)v0, f(xi2)V0,即卩 f(xi) -(X2) 0.由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数.(2)Vf(x)在 R 上是减函数， f(x)在-3, 3上也是减函数， f(-)最大，f(3)最小.2f(3)=f(2)