01线性空间与子空间

1、第一讲线性空间一、 线性空间的定义及性质知识预备集合：笼统的说是指一些事物或者对象组成 的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并U,交I 另外,集合的“和+:并不是严格意义上集合的运算,由于 它限定了集合中元素须有可加性.数域：一种数集,对四那么运算 封闭除数不为零.比方有理 数域、实数域R和复数域C.实数域和复数域是工程上较常用 的两个数域.线性空间是线性代数最根本的概念之一, 也是学习现代矩阵论的 重要根底.线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象.1.线性空间的定义：设V是一个非空集合,其元素用x, y,z等表示；K是一个数域,其元素用k, l, m等表示.如果V满足如下8条性质

2、,分两类I在V中定义一个“加法运算,即当x,y V时,有唯一的和 x y V 封闭性,且加法运算满足以下性质1结合律 x y z x y z;2交换律 x y y x;3零元律 存在零元素o,使x o x；(4)负元律对于任一元素x V ,存在一元素y V ,使x y o,且称y为x的负元素,记为(x).那么有x x o.(II)在V中定义一个“数乘运算,即当x V, k K时,有唯 一的kx V (封闭性),且数乘运算满足以下性质(5)数因子分配律k x y kx ky ;(6)分配律k l x kx lx ;(7)结合律k lx kl x;(8)恒等律1x x;数域中一定有1那么称V为数域

3、K上的线性空间.注意：1)线性空间不能离开某一数域来定义,由于同一个集合, 如果数域不同,该集合构成的线性空间也不同.(2)两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四那么运算,而V中所定义的加法运 算和数乘运算那么可以十分抽象.(3)除了两种运算和八条性质外,还应注意唯一性、封闭 性.唯一性一般较显然,封闭性还需要证实,出现不封闭的情况：集 合小、运算本身就不满足.当数域K为实数域时,V就称为实线性空间；K为复数域,V就 称为复线性空间.例1.设R = 全体正实数,其“加法及“数乘运算定义为 kx-y=xy , k ox x证实：R是实数域R上的线性空间.证实首先需要证实两种运算的唯一性和封闭

4、性唯一性和封闭性唯一性显然假设 x>0,y>0, k R ,那么有xsy=xy R kox xk R封闭性得证.八条性质(1) x田(y田z) =x(yz)=(xy)z=(xny)田z(2) xrny=xy = yx= y 田x(3) 1 是零元素x 田 1=x1=xx(EO=x>xo=x >o=1一 1 一 , 一一 11(1) 一是 x 的负兀素xe = x 1 x+y=o xxxk k k(5) k o (xsy)xy x ykox 田 koy数因子分配律(6) k l ox xk 1 xkx1(kox)田(lox)分配律,k(7) ko lox x x kl o

5、x结合律(8) 1ox x1 x恒等律由此可证,R是实数域R上的线性空间.2. 定理：线性空间具有如下性质(1)零元素是唯一的,任一元素的负元素也是唯一的.(2)如下恒等式成立：0x o,1 x x.证实(1)采用反证法:零元素是唯一的,设存在两个零元素.1和.2,那么由于Oi和02均为零元素,按零元律有交换律01 + 02= 01=02 + 01 = 02所以01 = 02即01和02相同,与假设相矛盾,故只有一个零元素.任一元素的负元素也是唯一的.假设x V ,存在两个负元素y和z,那么根据负元律有x y 0= x zy y 0 y x z y x z 0 z z零元律结合律零元律即y和z

6、相同,故负元素唯一.2. ) ：设 w=0x,贝U x+w=1x+0x=(1+0)x=x ,故 w=0.恒等律：设 w=( 1)x,贝U x+w=1x+( 1)x=1+( 1)x=0x=0 , 故 w= x.3. 线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似.?线性组合:x1,x2L xm V,c 1C2L % KmCiXiC2x2LCmxm 2i 1称为元素组Xi,X2L Xm的一个线性组合.?线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合,那么称x可由该元素组线性表示.?线性相关性：如果存在一组不全为零的数 C1C2L Cm K ,使得对于元素x1,x2L

7、xm V有m cn 0 i 1那么称元素组xi,x2L xm线性相关,否那么称其线性无关.线性相关性概念是个非常重要的概念,有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标.4. 线性空间的维数定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为 V的维数,记为dimV.本课程只考虑有限维情况,对于无限维情况不涉及.例2.全体mx n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间对于矩阵加 法和数对矩阵的数乘运算,求其维数.解一个直接的方法就是找一个最大线性无关组,其元素尽可能简 单.令Eij为这样的一个mxn阶矩阵,其i, j元素为1,其余元 素为零.显然,这样的矩阵共有 mn个,构成一个具有mn个元素的

8、线性无关元素组Eii,Ei2,L Ein；E2i,E22,L EL ；E ml,Em2, L Emn .另一 方面,还需说明元素个数最大.对于任意的 A a.,都可由以上J m n 7元素组线性表示,A a°E j >a,.Ejj A 0i,ji,j即Ej|i 1: m,j 1: n构成了最大线性无关元素组,所以该空间 的维数为mn.二、线性空间的基与坐标1. 基的定义：设V是数域K上的线性空间,Xi,x2L Xr r 1是属于V的r个任意元素,如果它满足(1) X1,X2L Xr线性无关；(2) V中任一向量X均可由X1,X2L Xr线性表示.那么称X1,XzL Xr为V的一

9、个基,并称X1,XzL Xr为该基的基元素.?基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正是基中所含元素 的个数.?基是不唯一的,但不同的基所含元素个数相等.例3考虑全体复数所形成的集合 Co如果K = C (复数域),那么该集 合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间,具基可取为1, 空间维数为1；如果取K = R (实数域),那么该集合对复数加法 及实数对复数的数乘构成线性空间,具基可取为1,i,空间维数为2.数域K两种运算基Ed空间类型维数复数域C(1)复数加法；(2)复数对复数的数乘1c c 1复线性空间1实数域R(1)复数加法；(2)实数对复数的数乘1,ic a 1 b i实线性 空间2

10、2. 坐标的定义：称线性空间vn的一个基X1,X2L Xn为vn的一个坐标系,x Vn ,它在该基下的线性表示为： niXii K,x i V,i 1,2,L ni 1那么称i, 2L n为X在该坐标系中的坐标或分量,记为T1 , 2 L n讨论：(1) 一般来说,线性空间及其元素是抽象的对象,不同空间的元素完全可以具有千差万别的类别及性质. 但坐标表示却把它们统一了起来,坐标表示把这种差异留给了基和基元素,由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来.(2)更进一步,原本抽象的“加法及“数乘经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘.1o x y ( 1x12x2 Ln Xn)( 1X12X

11、2 Lnxn(11 )Xi ( 22)X 2 L ( n)x n正对应X( 1,2,L , n )y( 1,2,L , n)11, 22,L , n n2o kx k 1X12X2 LnXnx1X2knXn1,k 2,L ,k n正对应 X ( 1, 2,L , n) kx k 1,k 2,L ,k n(3)显然,同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的. 后面我们还要研究这一变换关系三、基变换与坐标变换基是不唯一的,因此,需要研究基改变时坐标变换的规律.设x1,X2L Xn是Vn的旧基,y1,y2L yn是Vn的新基,由于两者都是基,所以可以相互线性表示nyjCjXi(i 1,2,L n)i 1

12、y1,y2L ynX3X2L XnC11C21Cn1C12LC22Cn2LC1nC2nMCnnX1,X2L Xn其中C称为过渡矩阵,上式就给出了基变换关系,可以证实,C是可逆的.设x Vn,它在旧基下的线性表示为nx iXiXi,X2,L Xni1它在新基下的线性表示为nYi,Y2,LYnxi1Yl,Y2,LYn2 Xi,X2,LMxn由于基元素的线性无关性,得到坐标变换关系12MC22MM补充：证实对于线性空间的零元素 0,ko o o线性子空间、线性子空间的定义及其性质1.定义：设Vi是数域K上的线性空间V的一个非空子集合,且对V已有的线性运算满足以下条件(1)如果 x、y Vi,那么 x

13、 + y Vi;(2)如果 x Vi, k K,那么 kx Vi,那么称Vi是V的一个线性子空间或子空间.2 .性质：(1)线性子空间Vi与线性空间V享有共同的零元素；(2) Vi中元素的负元素仍在 Vi中.证实(i) 0x 0Qx Vi VV中的零元素也在Vi中,Vi与V享有共同的零元素. x Vi(i) x=( x) Vi 封闭性Vi中元素的负元素仍在Vi中3 .分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：0和V本身非平凡子空间：除以上两类子空间4 .生成子空间：设xi、x2、一、xm为V中的元素,它们的所有线性 组合的集合mk凶 k K, i i,2L m i i也是V的线性子

14、空间,称为由xi、x2、xm生(张)成的子空间,记为L(xi、x2、xm)或者 Span(xi、x2、假设xi、x2、xm线性无关,那么dimL(x 1、X2、xm)=m5,基扩定理：设Vi是数域K上的线性空间Vn的一个m维子空间,Xi、X2、 、Xm是Vi的一个基,那么这m个基向量必可 扩充为Vn的一个基；换言之,在 Vn中必可找到n-m 个兀素Xm+1、Xm+2、Xn,使得Xi、X2、,、Xn成为 Vn的一个基.这n-m个元素必不在 Vi中.二、子空间的交与和i,定义：设Vi、V2是线性空间V的两个子空间,那么ViV2X|X V1,x V2Vi V2x y |x Vi,y V2分别称为Vi

15、和V2的交与和.2.定理：假设Vi和V2是线性空间V的两个子空间,那么Vi V2, Vi + V2均为V的子空间证实(i)x, y Vi I V2x y Vi x y V2x y V11V2x Vi I V2 k Kkx V1 kx V2 kx V1 I V2Vi I V2是V的一个线性子空间.(2) xi,x2 V1yi,y2 V2(x1 y1) V1 V2 (x2 y2) V1 V2 (x1 x2) V1(y 1 y 2) V2(Xi yi)(X2 y2)(XiX2)(y1 y2) 5 V2k K kxi Vi ky 1 V2k(x 1y i) kxiky iViV2Vi V2是V的子空间

16、.4.维数公式：假设Vi、V2是线性空间V的子空间,那么有dim(V i+V2)+ dim( ViV2)= dimV i+ dimV 2证实设 dimV i=ni, dimV 2=02, dim( Vi V2)=m需要证实 dim(V i+V2)= ni +n2m设Xi、X2、,、Xm是Vi V2的一个基,根据基扩定理存在 i) yi、y2、yni m Vi,使 Xi、X2、Xm、yi、y2、 yni m成为Vi的一个基；2) zi、Z2、Zn2 m V2,使 Xi、X2、Xm、Zi、Z2、Zn2 m成为V2的一个基；考察 Xi、X2、 、Xm、yi、y2、 、yni m、Zi、Z2、Zn2

17、m, 假设能证实它为Vi+V2的一个基,那么有dim(V i+V2)= ni + n2m.成为基的两个条件：1) 它可以线性表示Vi+V2中的任意元素2) 线性无关显然条件i)是满足的,现在证实条件2),采用反证法.假定上述元素组线性相关,那么存在一组不全为0的数ki、k2、一、km、pi、P2、pni m、qi、q2、qn2 m 使kiXiPiyiqiZi 0令zqiziV2,那么k|Xipiyiz 丫2但 Vi I V2根据基扩定理kixiViV2yiVi IV2 ,xi、X2、Xm、yi、y2、 、yn1 m 成为 Vi 的一个基pi 0同理：qi 0 ki 0这与假设矛盾,所以上述元素

18、线性无关,可作为Vi+V2的一个基.dim(V i+V2)= ni + n2 m三、子空间的直和i,定义：设Vi、V2是线性空间V的子空间,假设其和空间Vi+V2中的 任一元素只能口B一的表示为Vi的一个元素与V2的一个元素 之和,即X Vi V2 ,存在唯一的y Vi、z V2 ,使 x y z,那么称Vi V2为Vi与V2的直和,记为Vi V2子空间的直和并不是一种特殊的和,仍然是Vi V2 x y|x Vi,y V2 ,反映的是两个子空间的关系特殊.2.定理：如下四种表述等价(1) Vi V2成为直和Vi V2 Vi v20(3) dim(V i+V2)=dimV i+ dimV 2(4) xi、X2、,、Xs为 Vi 的基,yi、y2、yt为 V2 的基,那么 xi、X2、Xs、yi、丫2、,、yt为 V V2 的基证实(2)和(3)的等价性显然采用循环证法：(1)(2)(4)(1)(1) (2): V V2 = V1 V2假定x 0且x Vi V