第5讲离散型随机变量及其分布列

1、第5讲离散型随机变量及其分布列一、知识梳理1. 离散型随机变量(1) 随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量.表示：常用字母X, Y, E, n表示.离散型随机变量的特点所有取值可以一一列举出来.2. 离散型随机变量的分布列(1) 定义：若离散型随机变量 X可能取的不同值为 X1, X2,，Xi,，Xn , X取每一个 值Xi(i= 1, 2，,n)的概率P(X= Xi) = Pi,则下表XX1X2XiXnPP1P2PiPn称为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X= Xi)= pi, i= 1, 2，n表示X的分布列.性质:nPi0(i= 1, 2,，n)

2、;基 1pi= 1.3. 常见的两类特殊分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X 01PP其中p= P(X = 1)称为成功概率.(2) 超几何分布cMcNMCN ,k= 0, 1, 2,，m,即:一般地，在含有 M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品，则P(X = k)X01mPcMcN_°/iCNcMcN-M CNCmCN-mCN其中 m= min M, n，且 nW N , M< N , n, M , N N如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.常用结论1. 随机变量的线性关系若X是随机变量，Y= aX+ b

3、, a, b是常数，则Y也是随机变量.2. 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2) 随机变量E所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.二、教材衍化1 .设随机变量X的分布列如下：X12345P1111P126361111 解析：由分布列的性质知，+ -+-+ - + p= 1,126363 1所以 p= 1-3=-.4 41 答案：-42有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件， 在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0, 1, 2, 3.答案：0, 1,

4、 2, 33. 设随机变量X的分布列为X1234P1m11346则 P(|X 3|= 1) =.解析：由弄 m+卡 6=1，解得 m= J, P(|X- 3|= 1) = P(X= 2)+ P(X= 4)=寸+6 =务答案:5_12一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.()(2) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(3) 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之 和.()从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数 X服从超几何分布.()(5)由下表给出的随机变量 X的分

5、布列服从两点分布.()X25P0.30.7答案：(1)2(2) V (3) V (4) V (5) X二、易错纠偏常见误区|(1)随机变量的概念不清；(2) 超几何分布类型掌握不准；(3) 分布列的性质不清致误.1. 袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A .至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析：选C. A , B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值 2,并不随机；C项是随机变量，可能取值为0, 1, 2故选C.2. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取 3个球来用，用完后 装回盒中，此时盒中旧球个数X是

6、一个随机变量，则 P(X = 4) =.解析：X 4表示从盒中取了 2个旧球，1个新球，故P(X 4) ?C9=层.C12220答案：272203设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量 X去描述1次试验的成功次数，则 P(X = 0) =.解析：由已知得X的所有可能取值为 0, 1 ,且P(X= 1)= 2P(X= 0),由P(X = 1) + P(X=0)=1,得 p(x= o)=3考点一 离散型随机变量的分布列的性质(基础型)复习指导I在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概 念.核心素养：数学抽象设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10

7、.3m求：(1)2X + 1的分布列；(2)P(1 V XW 4).【解】由分布列的性质知:0. 2 + 0.1+ 0.1+ 0.3 + m= 1,解得m= 0.3.(1) 2X + 1的分布列:2X + 113579P0.20.10.10.30.3(2) P(1 V XW 4) = P(X= 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0.1+ 0.3 + 0.3= 0.7.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求|X 1|的分布列.解：IX 1|的分布列：IX 1|0123P0.10.30.30.3离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要

8、注意检验，以保证每个概率值均为非负值.若X为随机变量，则2X+ 1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变 量的值，再根据对应的概率写出分布列.1设X是一个离散型随机变量，其分布列为X1°1P132 3qq2则q的值为()A 13 _V33C. 2 62-3q> 0,解析：选c.由分布列的性质知q2> °，1 23+ 2 3q+ q2= 1 ,3解得q= 3.33a2.离散型随机变量 X的概率分布规律为 P(X = n)= n(n + 1)(n = 1, 2, 3, 4),其中a是15常数，则P(2 V X v 5)的值为.111145解析：由岚+药+芮

9、+药 X a = 1知?= 1得a= 4故 P 2 V X V 2 = P(X= 1) + P(X = 2) = 1X 4+1X 4 = 6答案:考点二超几何分布(基础型)复习指导I通过实例理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.核心素养：数学建模在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示， 另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者Ai, A2, A , A4, A5, A和4名女志愿者Bi, B2, B3, B4，从中随机抽取5人接

10、受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含Bi的概率；(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.【解】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含Bi的事件为M ,(2)由题意知X可取的值为0, i, 2, 3, 4,则C5iP(x=0) = C50= 42cZc2 ioP(X= 2) = C = 2?cic4iP(X= 4)=寸 4?因此X的分布列为X01234P1510514221212142（变问法）若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求因此x的分布列为X31-1-3-5P丄_5_10_5_14221212

11、142【迁移探究1】X的分布列.解：由题意可知X的取值为1, 2, 3, 4, 5,则c3c4P(X= 1)=页=42CC35P(X= 2) = C6C"=21C3C210p(x= 3)=21C5oC51P(X= 5) = C10= 42.因此x的分布列为解：由题意可知X的取值为3, 1 , 1, 3, 5,山c4c31c4c65则 P(X=3)=C= 42, P(X= 1) = CCC-=21C2C3 10 f C' C4c65P(x一 1)=C= 10 P(x一 3)=C4C-=21c51P(x 一 5)=愛 42(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题 ，随机变量为抽到

12、的某类个体的个数(2) 超几何分布的特征是： 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若 干个个体 ，考查某类个体个数 X 的概率分布(3) 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型 ，其实质是古典概型(2020郑州模拟)为创建国家级文明该城市某出租车公司城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”， 共 200 名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示(1) 求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2) 从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有2

13、0人，送考2次的有100人，送考3次 的有80人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20X 1+ 100X 2+ 80X 3=2 3200(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考 2次，另一人送考3次”为事件B,“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C, “这两人送考次数相同”为事 件D ,由题意知X的所有可能取值为0, 1, 2,C2oC1oo dooCh 100P(x =1) = P( A)+ P( B) = HC20T +=転， 16P(X= 2) = P(C)= c2°0 =199，C20+ C

14、200+ C8083P(X= 0) = P(D)=C所以X的分布列为X012P8310016199199199考点三求离散型随机变量的分布列(应用型)复习指导I会求取有限个值的离散型随机变量的分布列.核心素养：数学建模(2020安阳模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在50 , 100)内，且销售量x的分布频率_n_10 f(x) =n200.5, 10n<xv 10(n + 1), n为偶数，a, 10nw xv 10(n + 1), n为奇数.(1)求a的值并估计销售量的平均数；若销售量大于或等于70,则称

15、该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这 3天来自X个组，求随机变 量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).10n50,【解】由题意知10(n + 1)< 100,解得 5< nW 9, n 可取 5, 6, 7, 8, 9,10- 0.5, 10nw xv 10(n+ 1), n为偶数， 结合f(x)=20- a, 10nw xv 10(n+ 1), n为奇数，85710- 0.5 + 20- a + 20- a +9_20a = 1,贝U a= 0.15.可知销售量分别在50, 60), 60, 70), 70, 80

16、), 80, 90), 90, 100)内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,所以销售量的平均数为55X 0.1+ 65 X 0.1+ 75 X 0.2 + 85 X 0.3 + 95 X 0.3 = 81.(2)销售量分布在70, 80), 80 , 90), 90, 100)内的频率之比为2 : 3 : 3,所以在各组抽取的天数分别为2, 3, 3.X的所有可能取值为1 , 2, 3,P(X= 1)=2 _ Z_ 丄C8= 56= 282X 3 X 3189P(X= 3) =C8= 56= 28,199P(x= 2) = 1-28 - 28=荷X的分布列为X123P

17、1_9_928142819916数学期望 e(x) = 1X 28 + 2X14+3X 元二.求离散型随机变量 X的分布列的步骤(1) 理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2) 求X取每个值的概率；(3) 写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.(2020广州市综合检测(一)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度0, 210(210, 400(400,+ )某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下:

18、居民用电户编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元?(2)现要从这10户家庭中任意选取 3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列.解：(1)210 X 0.5 + (400 - 210) X 0.6 + (410- 400) X 0.8= 227(元).(2)设取到第二阶梯电量的户数为E,可知第二阶梯电量的用户有3户，贝U E可取0, 1 ,2, 3,C77P(=0)=CV 24,C2

19、C1 21P( = 1) = C10 = 40,C7C27P(= 2) = C10 = 40,c31P(= 3) = C10= 120,故E的分布列为E0123P72171244040120基础题组练1.（2020陕西咸阳模拟）设随机变量E的概率分布列为P（片1k)=a 3k，其中 k= 0, 1,2,那么a的值为（）B.2713C._919D._913解析：选D .因为随机变量 E的概率分布列为P(片k) = a 1 ,其中k= 0, 1, 2,所以a99= 1,解得a=石个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于A. P(X= 2)B.P(XW 2)C. P(X= 4)D.解析：选C.

20、X服从超几何分布，P（X= k）=P(X< 4)C kc10 k7C0-,故 k= 4,故选 C.3.袋中装有5个球，编号为1, 2, 3, 4,5，在袋中同时取出 3个，以E表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量E的分布列为123P33丄51010123133P10105C.123P1113331234P丄13_2105105解析：选C .随机变量E的可能取值为1, 2, 3, P( E= 1) = C 40%,所以x= 2,所以次品率为 =20%. 5.（多选）（2020山东烟台期中）某人参加一次测试，在备选的 10道题中，他能答对其中 的5道，现从备选的10道题中随机抽出3道题进

21、行测试，规定至少答对 2题才算合格，则 下列选项正确的是（） 1 A .答对0题和答对3题的概率相同，都为- B .答对1题的概率为3C.答对2题的概率为5= 3, P( 2)=音=10 , P( E= 3)=咅=10,故选 C.4已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为E已知P（E=1）=聽，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（）45A. 10%B. 20%C. 30%D. 40%CX C0-x x（10 x） 16x= 2或8因为次品率不超过解析：选B .设D .合格的概率为件产品中有x件次品，则P（E=1）=七严=黑所以解析：选CD设此人答对题冃

22、的个数为匕贝U E= 0, 1, 2, 3, p(E= 0)=石，Cio 122 1)=第咅P® 2)=彎二寻2 3)= CS =寺则答对0题和答对3题的概率相同，1都为12,故A错误；答对1题的概率为12,故B错误；答对2题的概率为12,故5 11C正确；合格的概率 P = P(片2)+ P(片3) = 12+ 12 = 2故D正确；故选CD -6在含有3件次品的10件产品中，任取 4件，X表示取到的次品数，则 P(X= 2)=解析：由题意知，X服从超几何分布其中 N = 10, M = 3, n = 4, 故 P(X= 2) = CC =请.3答案：107从4名男生和2名女生中任

23、选3人参加演讲比赛，则所选 3人中女生人数不超过 1 人的概率是解析：设所选女生人数为 X,则X服从超几何分布03I厂 rC2C4 C2C44则 P(X< 1) = P(X= 0) + P(X= 1)= _C + _C_ =4答案：45&随机变量X的分布列如下:X101Pabc其中a, b, c成等差数列，则 P(|X|= 1) =，公差d的取值范围是 解析：因为a, b, c成等差数列，所以2b= a+ c.1又 a + b+ c= 1,所以 b = 3,32所以 P(|X|= 1) = a+ c= 3.1c= 3+ d.12 12根据分布列的性质，得0w 3 dw 3, Ow

24、 3 + dw 3,1 1所以一3三dw 3.答案：29在一个盒子中，放有标号分别为1, 2, 3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x, y，记X =|x 2|+|y x|.(1) 求随机变量X的最大值，并求事件“ X取得最大值”的概率；(2) 求随机变量X的分布列.解：(1)由题意知，x, y可能的取值为1, 2, 3,则 |x 2|< 1, |y x|< 2,所以 Xw 3,且当 x= 1, y= 3或 x= 3, y = 1 时，X= 3,因此, 随机变量X的最大值为3.有放回地抽两张卡片的所有情况有3X 3= 9(种),2 2所以P(X = 3

25、) = 9故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为(2)X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.当X= 0时，只有x= 2, y= 2这一种情况；当 X= 1 时，有 x= 1, y= 1 或 x= 2, y = 1 或 x= 2, y= 3 或 x= 3, y= 3 四种情况；当X= 2时，有x= 1, y= 2或x= 3, y = 2两种情况；14当 X = 3 时，有 x= 1, y= 3 或 x = 3, y= 1 两种情况.所以 P(X = 0) = 9, P(X = 1)=§,2 2P(X = 2) = , P(X = 3) = §.所以X的分布列

26、为：X0123P1422999910.(2020福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2020年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4 X 4X 4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为E,记抽奖一次中奖的礼品价值为n(1)求 P(E= 3).(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着 色面数之和为6,设为一等奖，获得价值50元

27、的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5,设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4,设为三等奖，获得价值 10元的礼品，其他情况不获奖求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的 分布列.解：（1）64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，所以 P(E= 3)=c8 c8+ C24 C24C4640 _202 016 = 63.19222 016= 21c24 + c1 c24P( n= 10) = P(E= 4)=468 = 232 016= 56E的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, n的取值为

28、50, 30, 10, 0,C2281P( n= 50) = P(E= 6) = C64=丽=72P( n= 30) = P(E= 5) = C8C|C4=121383p(n=0) =1-72-21-56=五所以n的分布列如下:n5030100P1213P 83722156126综合题组练1. 某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.枝,（1）若花店一天购进 17枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量n（单位: n N*）的函数解析式；17枝玫瑰（2）花店记录了 100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），

29、整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列.解：（1）当日需求量n > 17时，利润y= （10-5） X 17= 85;当日需求量n V 17时，利润y=10n-85,所以y关于n的解析式为10n 85, nv 17,*y=(n N ).X可取55, 65,85, n1775, 85, P(X = 55) = 0.1, P(X = 65)= 0.2, P(X= 75) = 0.16, P (X = 85)=0.54.X的分布列为:X55

30、657585P0.10.20.160.542. （2020湖南邵阳联考）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了 “这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿 者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（1）如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望.解：（1）用分层抽样的方法，抽样比是 吉=,50101所以5人中参与班级宣传的志愿者有20X 10= 2（人）,1参与整理、打包衣物的志愿者有30X石=3（人）,故所求概率p= 1c2=