椭圆题型归纳大全

1、椭圆题型归纳大全第2页椭圆典型题型归纳题型一 定义及其应用例 1.1.已知一个动圆与圆C:(x 4)2y2100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心M的轨迹方程； _例 2.2.方程3j(x 1)2(y 1)2x咼2所表示的曲线是_ 练习：1.1. 方程(x 3)2y2(x 3)2y26对应的图形是 ( )A.A.直线B.B.线段C.C.椭圆D.D.圆2.2. 方程(x 3)2y2(x 3)2y210对应的图形是 ()A.A.直线B.B.线段C.C.椭圆D.D.圆3.3. 方程.x2(y 3)2. x2(y 3)210成立的充要条件是( )2 2D.D.止9252也1B B2 2Z止1C

2、 C2 2匕1162591625第3页A.A.丈254.4.如果方程,x2（y m）2, x2（y m）2m 1表示椭圆，则m的取值范围是_5.5.过椭圆9x24y21的一个焦点F的直线与椭圆相交于A,B两点，则A,B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长等于_；6.6.设圆（x 1）2y225的圆心为C，A（1,0）是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程题型二椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1.1.方程 i的曲线是到定点_ 和1625的距离之和等于_的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2.2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴

3、是短 轴的 3 3倍，并且过点P（3,O），求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程1第4页例 3.3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点P（拆,1）、P2（爲，V2），求椭圆的方程；第5页例 4.4.求经过点(2, 3)且与椭圆9x24y236有共同焦点 的椭圆方程；(四)定义法求轨迹方程；例 5.5.在ABC中，A,B,C所对的三边分别为a,b,c， 且B( 1,0),C(1,0)，求满足b a c且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹；(五)相关点法求轨迹方程；2例 6.6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆乞y21上任4一点，求AQ的中点M的轨迹方程；(六)直接法求轨

4、迹方程；例 7.7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x22y24交 于A,B两点，点P是直线l上满足PAgPB 1的点，求点P的轨迹方程；注:亠般地， 与椭圆x2a22y_b21共焦点的椭圆可设其方程为x22yb21(kb2)第6页（七）列方程组求方程例 8.8.中心在原点，一焦点为F（O,、50）的椭圆被直线y 3X2截得的弦的中点的横坐标为2，求此椭圆的方程;题型三. .焦点三角形问题2 2例 1.1.已知椭圆订2- 1上一点P的纵坐标为5，椭16253圆的上下两个焦点分别为F2、F,，求PF、PF2及cos FPF2；题型四. .椭圆的几何性质、, 、 亠2 2例 1.1.已知P是椭圆仔占

5、1上的点，的纵坐标为 m，a b3F， 、F2分别为椭圆的两个焦点， 椭圆的半焦距为c，则PFgPF?的最大值与最小值之差为2 2例 2.2.椭圆a b 1（a b 0）的四个顶点为A,B,C,D，若a b7四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心 率为；第7页2 2例 3.3.若椭圆化宁i的离心率为 ,则k 1427、 -2 2例 4.4.若P为椭圆笃1(a b 0)上一点，a b7两个焦点，且PFlF2150,PF2F1750，则椭圆的离心率为_ 题型五. .求范围2 2例 1.1.方程笃1表示准线平行于x轴的椭圆，m (mi)求实数m的取值范围； 题型六. .椭圆的第二定义的应用例

6、 1.1.方程2j(x 1)2(y 1)2|x y 2所表示的曲线是 例 2.2.求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为2的 椭圆的左顶点的轨迹方程；. 亠2 2例 3.3.椭圆2-葺1上有一点P，它到左准线的距离259等于j，那么P到右焦点的距离为 2 2 例 4 4 已知椭圆x牛1,能否在此椭圆位于y轴43左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离 为它到两焦点FI,F2距离的等比中项，若能找到， 求出该点Fi、F2为其第8页的坐标，若不能找到，请说明理由。2 2例 5 5 已知椭圆令吕1内有一点A(1,1), 、F2分别95是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点求PA；PF2的最小值

7、及对应的点P的坐标.题型七. .求离心率. 丄22例 1.1.椭圆笃占1(a b 0)的左焦点为FI(C,0)?A( a,0),a bB(0,b)是两个顶点，如果日到直线AB的距离为-b7,则椭圆的离心率e _. 亠2 2例 2.2.若P为椭圆笃吉1(a b 0)上一点，只、F2为其a b7两个焦点，且PF1F2，PF2F12，则椭圆的离心率为例 3.3.Fl、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭 圆于P,Q两点，PFiPQ,且|PF |PQ,则椭圆的离心 率为 ；题型八椭圆参数方程的应用2 2例 1.1.椭圆乂1上的点P到直线X 2y 7 0的距离43第9页最大时，点P的坐标_例 2.2.

8、方程x2siny2cos1( (0) )表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围；题型九直线与椭圆的关系(1 1)直线与椭圆的位置关系例 1.1.当m为何值时，直线l：y x m与椭圆9x216y2144相切、相交、相离？例 2.2.曲线2x2y22a2(a 0)与连结A( 1,1)，B(2,3)的线第10页段没有公共点，求a的取值范围例 3.3.过点P( 3, 0)作直线I与椭圆3x24y212相交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设I的方程 为y ok(x、3)，则要求I的斜率一定 要存在，但在这里I的斜率有可能 不存在，因此要讨论斜

9、率不存在的情形，为了避 免讨论，我们可以设直线I的方程为x my .3，这 样就包含了斜率不存在时/y/ArP0丿XB第11页的情形了，从而简化了 运算第12页令直线的倾角为，则tan即OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正 切值为二。2例 4.4.求直线xcos ysin 2和椭圆x23y26有公共点 时，的取值范围(0)。_(二)弦长问题例 1.1.已知椭圆x22y212，A是x轴正方向上的一定 点，若过点A，斜率为 1 1 的直线被椭圆截得的弦SAOB解：设A(X1,yd B(x2,y2),1IOP| |y111-|OP| Ml代入3(| % |Ml)3(yiy2)3(m2y2,3m

10、y 3)4y2120,(3m24) y26、3my3 0,y1y26 .3m23m24yiy233m108m2_ 12ly1y21.(3m24)23m24丄144X2 484 9m234 3 3m23m 43m4 3 3m214 3m33m21-V3m21432,3二S子2 .3，此时.3m2133m21.63第13页长为弓3，求点A的坐标分析：若直线y kx b与圆锥曲线f(x,y) 0相交于两 点P(xi, %)、QX, y2)， 则弦PQ的长度的计算公式为-21|PQ| -1 k |xix2| .1(2|yiy2|， k而|XiX2I；(XiX2)24X1X2，因此只要把直线y kx b

11、的方程代入圆锥曲线f(x,y) 0方程，消去y(或x)，结 合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设A(X0,O)(X00)，则直线I的方程为 设直线I与椭圆相交于P(xi,yi)、Q(X2,y2)， 由 X04, 又X00, X 2, A(2,0)；可得3x24X0X 2x04X0Xi$可，XiX212 0，咛2，则| XiX2|(XiX2)24x1x22 28X04822c o X36 2x093316x08x0.匕i3x2|X2I，即严X。 ，Xo12?y X x22y第14页例 2.2.椭圆ax2by21与直线X y 1相交于A, B两点，C是AB的中点，若| AB | 2 .

12、2,O为坐标原点，OC的斜率为予,求a,b的第15页2 2例 3.3.椭圆4_务1的焦点分别是R和F2，过中心O作直线与椭圆交于A,B两点，若ABF2的面积是 2020, 求直线方程。(三)弦所在直线方程2 2例 1.1.已知椭圆話冷1， 过点P(2,0)能否作直线l与 椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例 2.2.已知一直线与椭圆4x29y236相交于A, B两点,第16页弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程;例 3.3.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离 心率e2，过点C 1Q)的直线I与椭圆E相交于A,B两点，且 C C分有向线段AB的比为 2.2.(1 1)用直线I的斜率k

13、(k 0)表示OAB的面积；(2 2)当OAB的面积最大时，求椭圆E E 的方程.解：(1 1)设椭圆E的方程为4 b21，由e +，a b a 3 a a2=3b=3b2故椭圆方程x23y23b2；设A(x”yi),B(X2,y2)，由于点C( 1,0)分有向线段AB的比为 2 2.2 2 2由xk3y1)3b消去 y y 整理并化简得y k(x 1)(3k(3k2+1)x+1)x2+6k+6k2x+3kx+3k2-3b3b2=0=0由直线 I I 与椭圆 E E 相交于A(X1,yJ,B(X2,y2)两点第17页x-i2x23y12y231，即0 x112(x21)y12y2第18页将X1

14、,X2及k21代入得 3b3b2=5=5,椭圆方程X23y25._ 2 2例 4.4.已知A(X1, yj, B(1,y),C(X2,y2)是椭圆 +七1上的二43点，F为椭圆的左焦点，且AF , BF , CF成等差数列, 则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结 论。（四）关于直线对称问题、 亠2 2例 1.1.已知椭圆1斗1，试确定m的取值范围，使SOAB4236k 4(3k1)(3k6k2X1X221212b2)x1x23k3k23bSOAB1尹1y2121得: :X212y23y212|y2|23k21332|k(X21)l护l|X211,代入得：貂(k0).(2 23 k|3k2

15、13r3| k|k|当且仅当k屮,SOAB取得最大值.此时X1X21又X12X21,X22；第19页43得椭圆上有两个不同的点关于直线y 4x m对称；例 2.2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等 于 6 6,离心率e晋，试问是否存在直线1,使l与 椭圆交于不同两点AB，且线段AB恰被直线x 1平 分？若存在，求出直线1倾斜角的取值范围；若 不存在，请说明理由。第20页题型十. .最值问题2 2例 1 1.若P（2,F2为椭圆冷豊2516MF2的最大i的右焦点，点 M M在椭圆上移动，求MF的最大值和最小值MP定义圆I r L 分析：欲求可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一 , ,F1为

16、椭圆的左焦点。MP 2a MF1，连接2a MF1MPMF2解：于点 M M1, ,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系 知PF1MP MF1PF,当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时 取左等号。因为2a 10, PF1MP MF2结论 1 1:设椭圆2，所以(MP2 2x y a2b2Fi,F2, ,P（xo,yo）为椭圆内一点，点，则PFi，延长PF1交椭圆min8；1的左右焦点分别为MF2)max12, ,(MP |MF2)mimaxMF2的最大值为例 2 2.P（2,6）丘为椭圆X5 162516MPM（x, y）为椭圆上任意一2a PFi，最小值为1的右焦点，点 M M

17、 在2a PFi；椭圆上移动，求|MP| |MF2的最大值和最小值分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP MF2值最小，求最大值方法同例 1 1。解：|MP| |MF2|MP 2a IMF1，连接PF1并延长交椭圆于第21页第22页点 M Mi,则 M M 在 M M1处时|MP MF取最大值門；结论 2 2 设椭圆笃与1的左右焦点分别为Fi,F2,a bP(xo,yo)为椭圆外一点，M(x, y)为椭圆上任意一点，则|MP| |MF2的最大值为2a |PFi，最小值为PF2；2 2二次函数法. 亠2 2、 ,例 3 3 求定点A(a,0)到椭圆务当1上的点之间的最a b短距离。分析

18、： 在椭圆上任取一点， 由两点间距离公式表 示PA，转化为x,y的函数求最小值。解：设P(x, y)为椭圆上任意一点，PA? (x a)2y2(x a)21x2(x 2a)21 a2由椭圆方程知x的取值范围是、2,、2(1)(1) 若|a普，则x 2a时，|PAmi”/Ta(2)(2) 若a丰,则X込时PAmina込(3)(3) 若a乎,则PAmina问、 -2 2结论 3 3:椭圆笃垄1上的点M(x,y)到定点 A(m,0)A(m,0)a b或 B(0,n)B(0,n)距离的最值问题， 可以用两点间距离公 式表示丨 MAMA 丨或丨 MBMBI,通过动点在椭圆上 消去 y y 或 x,x,

19、I MPMF2最大值是 10+10+37，最小值是V41。2 2第23页转化为二次函数求最值，注意自变量 的取值范围。3.3.三角函数法2例 4 4 求椭圆冷y21上的点M(x,y)到直线l：x 2y 4的4距离的最值；解：三角换元d今口务y21令V54x 2cosRy sinI7|rr 2cos 2si n 42厂贝H d -严-j= V2 sin( _) 2V5V54当sin( )1时dmin4 5j10； 当sin()1454时, ,dmax5 2帀结论 4 4：若椭圆与咅1上的点到非5a b坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的 参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.4.判别

20、式法例 4 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种 可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m:x 2y c 0将x 2y c代入椭圆方程整理 得8y24cy c24 0，由 =0=0 解得c 2、2, ,c 2、2时直 线m:x 2y 2、2 0与椭第24页圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平 行直线m与I的距离，所以dmin竺2卫；57C 2込时直线m:x 2y 2.2 0与椭圆切于点 Q Q,则 Q Q 到直线 I I 的距离为最大值，且最大值就是两平行 直线 m m 与 I I 的距离，所以x氓。5结论 5 5:椭圆上的点到定直线 I I 距离的最值问题, , 可转化为与 I I 平行的直线 m m 与椭圆相切的问题, , 利用判别式求出直线 m m 方程，再利用平行线间 的距离公式求出最值。2 2例 5.5.已知定点A( 2,3)，点F为椭圆盒士1的右焦 点，点M在该椭圆上移动时，求|AM| 2MF|