工程应用数学

1、科学与工程计算试卷 单位 姓名 成绩 实验题（实验题1必做，在实验题2、3、4、5中选做一题）1.(20) 求解微分方程初值问题。(1) 自选方法，在步长，时求解，并与精确解进行比较；(2) 在步长和求解的基础上，运用外推方法提高求解精度。解：用Euler法求解初值问题yi+1=yi + h(-yi-xi-2) 其中xi=kh (0<x<1)现分别选择h(1)=0.05, h(2)=0.05/2进行计算，然后运用外推法提高求解精度yi (外推)=(20yh(1)(x)-yh(2)(x)/(20-1)下表中，第一列表示区间0,1进行20等分后得到的节点，第二列表示在这些节点处解的精确

2、值，第四列和第六列分别是步长h(1), h(2)时在节点处得数值解，可以看出，步长h(2)时的误差要小于步长h(1)时的误差。第七列是根据步长h(1), h(2)的计算结果得到的外推近似解，与精确解相比，外推解的近似解较好。xiy(xi)i(h(1)yii(h(2)yiyi (外推)0.001.000001.000001.001.00000.050.852510.850020.85130.84990.100.709720.705040.70750.70490.150.571430.564860.56820.56460.200.437540.429180.43330.42890.250.3076

3、50.2976100.30270.29730.300.181660.1702120.17670.16990.350.059470.0467140.05380.04630.40-0.05948-0.073116-0.0655-0.07350.45-0.17479-0.189418-0.1814-0.18980.50-0.286910-0.302420-0.2940-0.28770.55-0.396111-0.412322-0.40360.41280.60-0.502412-0.519224-0.5102-0.51970.65-0.605913-0.623226-0.6140-0.62370.70

4、-0.706814-0.724528-0.7151-0.72500.75-0.805315-0.823330-0.8137-0.82380.80-0.901316-0.919632-0.9100-0.92010.85-0.995217-1.013634-1.0040-1.01410.90-1.086918-1.105436-1.0958-1.10600.95-1.176519-1.195138-1.1855-1.19561.00-1.264220-1.282840-1.2732-1.28332.(20分) 建立如图所示的化工过程模型。在反应器中发生物质A转化为B的反应，由于转化率不高，为获得规

5、定纯度的B，需对产物进行分离，经精馏获得产品B，而残余物再返回反应器继续反应，这是个典型的化工过程。为建模方便，对物流及组分编号。各物流编号如图所示，并令A为1号，B为2号。若以表示A对B的转化率，以和分别表示A和B的循环比，则对反应器和精溜塔的A和B分别衡算可得如下4个方程：反应器中A与B的平衡：，；精馏塔中A与B的平衡：，；A和B的循环量分别为：和。若规定原料为纯A，其流量为，A对B的转化率为，且，并令，和，试建立并求解物料衡算线性方程组。3.（20分）价格、广告与赢利某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往的统计资料：零售价格高，则销售量减少，具体数据现列于表1中；如果做广告，可使销售量

6、增加具体增加量以销售提高因子表示，与广告费的关系列于表2中.现在已知水泥的进价是每吨250元.问如何确定该批水泥的价格和花多少广告费用，可使公司获利最大？ 表1 水泥预期销售量与价格的关系单价（）： 250 260 270 280 290 300 310 320销量（： 200 190 176 150 139 125 110 100 表2 销售量提高因子与广告费的关系广告费（万元）： 0 60 120 180 240 300 360 420提高因子： 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80提示：（1） 可以用，分别表示单价、预期销售量、广告费和成本单价，

7、先根据表（1）和（2）用曲线拟合建立预期销售量与单价及增量提高因子与广告费的关系.（2） 建立利润函数的表达式 利润=销售收入-成本-广告费用这里，实际销售量=预期销售量.利用多元函数微分学求得问题的解.4、设两点边值问题的精确解为现以h为步长划分区间为100等份，用差分近似代替微分，将微分方程离散化为线性方程组，代入初始条件后，得到如下的方程组问题其中，。(1) 分别用J迭代法，G-S迭代法和SOR迭代法求解，并与精确解进行比较；(2) 如果，再求解该问题。5、对下列数据作三次多项式的最小二乘拟合，计算误差并作出拟合函数图。x-1.0-0.50.00.51.01.52.02.5y-4.447

8、-0.4520.5510.048-0.4470.5494.5527.832解：总共有8个数据点，令m=7 第一步：画出已知数据的的散点图; x=-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;y=-4.44700000000000,-0.452000000000000,0.551000000000000,0.0480000000000000,-0.447000000000000,0.549000000000000,4.55200000000000,7.832000

9、00000000;plot(x,y,'*')xlabel 'x轴'ylabel 'y轴'title '散点图'hold on由题意将拟合参数n设为3. 第二步：计算矩阵   A=注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下： m=7;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)(j+i-2);end;

10、end;end;再来求矩阵B=0 0 0 0;for j=1:n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)(j-1);end;end;第三步：写出正规方程，求出a0,a1,an. B=B'a=inv(A)*B第四步：计算误差“wucha”画出拟合曲线 x=-1,-0.500000000000000,0,0.500000000000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3wucha=z-yplot(x,z)legend('离散点

11、9;,'y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3')title('拟合图') x-1.0-0.50.00.51.01.52.02.5y-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.5527.832Z（拟合值-4.1314-0.92450.23290.28670.18300.86753.28648.3854误差0.31560.47250.31810.23870.63000.31851.26560.5534拟合图：总程序附如下： x=-1,-0.500000000000000,0,0.50000000

12、0000000,1,1.50000000000000,2,2.50000000000000;y=-4.44700000000000,-0.452000000000000,0.551000000000000,0.0480000000000000,-0.447000000000000,0.549000000000000,4.55200000000000,7.83200000000000;plot(x,y,'*')xlabel 'x轴'ylabel 'y轴'title '散点图'hold onm=7;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)(j+i-2);end;end;end;B=0 0 0 0;for j=1:n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(i)(j-1);end;end;B=B'a=inv(A)*Bx=-1,-0.5000000000