2018-2019年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式3.2

1、3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式高效演练知能提升A 级基础巩固一、选择题1. 函数y=JX+ 2 6x的最大值是()A. 气：3B. #5C. 3D. 5解析：根据柯西不等式，知y= 1 5 + 2 i6 x0，且a+b= 1,则(，4a+ 1+ , 4b+ 1)2的最大值是()A. 2 6B. 6C. 6D. 12解析：(4a+ 1+ 4b+1)2= (1 4a+ 1 +1 4b+ 1)2w(12+ 12) (4a+ 1 + 4b+ 1)=24(a+b)+2=2(4X1+2)=12,当且仅当 4a+ 1 = 4b+ 1,即a=b时等号成立.答案：D4.已知a ,1 b2+

2、b ,1 a2= 1,则以下成立的是()2. 2 2 . 2A.a+b 1B.a+b= 1C. a+bv1D. a b=1解析：由柯西不等式，得 1 =a寸 1 b+b1 aw+( 1 a) (1 b) +b= 1 1,=上 2 时，上式取等号，1 1aa所以ab=1 a21 b2,2 2 2,2即a b= (1 a)(1 b),于是a+b= 1.答案：B2 2 2 2 2 25. 已知a1+a2+an= 1 ,X1+x?+xn= 1，贝Uax1+a2X2+anXn的最大值为()A. 1B. 2C. 1D.不确定2 2 2 2 2 2 2解析： 因为(a1X1+a2X2+ +anXn)w(a1

3、+a2+an)(X1+x?+xn) = 1x1 = 1, 当且仅当ai=kxi(i= 1, 2，n)时等号成立.所以a1X1+3次2+anXn的最大值是 1.答案：A二、填空题6.函数y= 7x 1 +_ x的最大值是.解析：因为(x 1+ 5 x)2w(1 + 1)(x 1 + 5 x) = 8,当且仅当x 1= 5 x，即x= 3 时，等号成立，所以x 1 + 5xw2 2,函数y取得最大值 2 2.答案：2 27._ 已知x,y,z R+,且x+y+z= 1,贝U x2+y2+z2的最小值为 _.22212222221解析： 根据柯西不等式，x+y+z=3(1 + 1 + 1 ) x(x

4、+y+z) 3(1 x+1 y+331 z)2=；(x+y+z)2=1 1当且仅当x=y=z时等号成立.答案：3&若函数y=a x+ 1 + 64x的最大值为4)，由已知得 5(a2+ 4) = 20,解得a= 2.当且仅当2 -5，则正数a的值为2xw(a2+4)x+1 1+23 3x=；(a2+ 2解析：(ax+ 1 +6 4x)2=又因为a0，所以a= 2.答案：2三、解答题当 m= n= 2 时等号成立.10.已知实数x,y,z满足x+ 2y+z= 1，求t=x2+ Py2+z2的最小值.解：由柯西不等式得2 2 2 2(x+ Py+z)(1 + 1 +1) (x+ 2y+z)

5、.因为x+ 2y+z= 1,所以 3(x2+ Py2+z2) 1 ,即卩x2+ Py2+z231 1 1 12 2 21当且仅当x= 2y=z= 3,即x= 3,y= 6,z= 3 时等号成立.故x+ Py+z的最小值为 3.B 级能力提升1. 已知 2x+ 3y+ Pz= 10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为（20 30 P0D _ _ _29， 29， 291 1DT, P, 930P0z=29，29答案：B2._ 已知 Px2+ 5y2= 1,贝 U 2x+5y的最大值是 _ .解析：因为 2x+寸 5y= 2x 1 +5y 1 0,n0,n=p,求证:114m+ -p,指出等号成立的条件.证明：根据柯西不等式，得-1 *4n -= 4.n5105A_x y z2=3= P，解析：当且仅当x=y=z时，取到最小值，所以联立23 P2x+ 3y+ 农=10,可得20 x= 29,yB B1 1n）、十xyz1求证：y+ 2z+z+ 2x+x+ 2yA3；(2)求 Px+ Py+ Pz2的最小值.CNcnlrFrcNHz“ =A=x汕汕LLAZZ寸十符+X寸宦PAE+gHN+ZLHN+A+Xm 隹eetJzzLHZ+A+XZ+A+X 寸eeAN寸十寸+寸e0#础