2019高考数学专题圆锥曲线综合含答案解析

1、2/22k 1 x 4 k y kx1 x 2 y12y1 kx14化简得y1kx1因为方程只有一解，所以xy1x128xy1三，所以切线MA的方程为2wyy1_Xl2VlX1培优点十八圆锥曲线综合1.直线过定点例1:已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆C的离心率为 乎，过左焦点F且垂直于x轴 的直线交椭圆C于P, Q两点，且 PQ 2企.(1)求C的方程；(2)若直线|是圆x222 8k 4,即 Xi8 k2Kyk y14 0 , y2 8上的点2,2处的切线，点M是直线l上任一点，过点 M作椭AB过定点,圆C的切线MA, MB,切点分别为 A, B,设切线的斜率都存在.求证：直线 并求出该

2、定点的坐标.22【答案】(1)2 y_ i；(2)证明见解析，2,1 .8422【解析】(1)由已知，设椭圆 C的方程为 与当1 a b 0 ,a bc22因为|PQ 2展，不妨设点P c,V2，代入椭圆方程得三。1, a b又因为e c e所以141 , b c,所以b2 4, a2 2b2 8, a 22 b22所以C的方程为人上1 .84(2)依题设，得直线|的方程为y 2 x2,即xy40,设 M xo, yo , A x1, y1 , B x2,y2 ,由切线MA的斜率存在，设其方程为 y y1 k x x1 ,y y1 k x Xi联立x2 y2得, 184222由相切得 A 16

3、k y1 kx18 2k 1即x1x 2yy 8 ,同理，切线 MB的方程为 用x 2y2y 8 ,又因为两切线都经过点MX1X,所以X2X02 yly0 8 ,所以直线AB的方程为2y2 y08XX 2yoy 8,又X y0 4 ,所以直线AB的方程可化为xox 2 4 X0 y 8 ,x 2y 0x 2即 X0 x 2y 8y 8 0,令，得 ，8y 8 0y 12.面积问题22例2：已知椭圆与Biaa b所以直线AB恒过定点2,1 .b 0的左、右焦点分别为Fi、F2,焦距为4,直线li：y -x c1的直线12与线段与椭圆相交于 A、B两点，F2关于直线li的对称点E在椭圆上.斜率为A

4、B相交于点P,与椭圆相交于 C、D两点.【解析】(1)由椭圆焦距为4,设F12,0 , F2 2,0 ,连结 EF1 ,设 EF1F2(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD面积的取值范围.22XxrX-1 x a x y32 32【答案】(1) 一，1 ; (2) 一,一则 tan “，又 a2 b2 c2,得 sin 也,cos , caa2c, 1F2sin901 a ce -，2aEF1 | | EF2sin sin 90b c b c aa a22解得a2bc c2b c 2, a2 8,所以椭圆方程为 1 .84(2)设直线 l2 方程：y x+m, C X1,y1、D X

5、2,y2 ,2 x由"8y2y I224 ，得 3x 4mx 2m 8x mXiXiX24x - m？，2m 83由（i）知直线li ： y x ,代入椭圆得2、. 636,-276 ,得 AB8.3"T，由直线l2与线段AB相交于点P,得mCDXi2,出8xix22i6m 4 2m 8而k12|i ，SACBDoABCD i6 3 , m2+i2,932,0 ,所以3i6 3,m2 +i232 32,9 3四边形ACBD面积的取值范围32 32,9 33.参数的值与范围例3:已知抛物线C:y22px p0的焦点F i,0，点A i,2在抛物线C上，过焦点F的直线l交抛物线

6、N两点.（i）求抛物线C的方程以及AF的值;（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B,UULID若MFUULT22FN , BM BN40 ,求的值.【答案】（i）4x, |AF 2；【解析】（i） Q抛物线C : y2 2px p的焦点FE i ,则2P 4 ,抛物线方程为y224x ；Q点Ai,2在抛物线C上， AF i(2)依题意，F i,0，设 I :x my i ,设 M xi, yi、N x2,y2 ,y2 4x联立方程y 4Xx my2 /一y 4my所以i4myiy24，且XiX2myi imy2 iuuiu又MFuiurFN ,则X1,yiX21，y2V2 ，代人得2y21y2

7、4m消去y2得4m2uuuu 则BMXii,yi ，UHTBNX2i,y2uuuu 则BMI2uur 2 BN |uuuu 2 BMuuui2 BNXi2yiX22y22Xi2X22 XiX22yi22y2(my2i)(my22i)2 myimy22yi2y2.22i yy24myiy282i i6m4m4m48 i6m2.一40m i6 ,当 i6m4 40m2i640,解得故 2.34.弦长类问题例4:已知椭圆2Ci：x2a的左右顶点是双曲线2C2 ：-3i的顶点，且椭圆Ci的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为 2(i)求椭圆Ci的方程;(2)若直线l与C相交于Mi,M2两点，与C2相交于

8、Q ,Q2两点,UUUU UUULrOQi OQ25,求MiM2的取值范围.2【答案】(i) - y2 i;3【解析】(1)由题意可知:3,又椭圆Ci的上顶点为0,b ,双曲线C2的渐近线为：y3y0,由点到直线的距离公式有:3 3b2 x .椭圆方程3(2)易知直线£的斜率存在,设直线£的方程为kx1 ,消去y并整理得:2221 3k x 6kmx 3m 3要与C2相交于两点，则应有:36 k3k2223k23m3k201 3k2 ,Q2 X2, y2则有:6km3k2X1X23m2uuunuuur又 OQi OQ23kkx1kx2k2x/kmx1x2uuuu又：OQ1u

9、uuirOQ213k223m26k m23km2 1将y kx代入消去y并整理得:6kmx23m要有两交点，则2:36 k m23k23m 323k由有0k2设 M 1 x3 , y3、M2x4, V4 .有x3x46km1 3k223mx3x42 1 3kM1M21 k2222236k m 4 3m 3 1 3k2 21 3kk2224 3m 3 9k2 21 3k将m21 9k2代入有MMk2144 k23 k2 2M1M212k 2 /T.1 3k22k 1 k 人M1M212 JK，令 t1 3 k2°，rt 1 t21 3t113 t t1 3t0,1内恒成立，故函数9f

10、t在t 0,1内单调递增,95故 f t 0, M1M20,、10725.存在性问题例5:已知椭圆C: 2 22 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F11,0 , F2 1,0，点 A ,I,-a b2在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为 2的直线l ,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点 M , N时，能在5uuuu UULT直线y 2上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足PM NQ?若存在，求出直线l的3方程；若不存在，说明理由.2【答案】(1) y x y 1 . 1 ; (2)不存在，见解析.2【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c,则c1,1,在椭圆C上,22a

11、AF1 AF21 12 理22V2 , b2a2 c21 ,故椭圆C的方程为(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y 2xX1,y1 , N X2,y2 ,P X3,53，Q xi的中点为D %,y。,由 X2 22Xy2t 2,消去 X，得9y22tyt2 80,36 t2y1y0 F2t2 y1V2一，且 A 4t9uuuu uuur由PM NQ ,知四边形PMQN为平行四边形,而D为线段MN的中点，因此 D为线段PQ的中点,52t 15.3 y4t/口-y0-G，仔,29又3 t 3,可得 73V41，点Q不在椭圆上,故不存在满足题意的直线对点增分集训、解答题1.已知动圆P过点F22

12、,0并且与圆Fi :x 2 1 2 y24相外切，动圆圆心 P的轨迹为C.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)过点F2 2,0的直线li与轨迹C交于A、B两点,设直线l :x1，设点D 1,0 ,直线2BM经过定点.AD交l于M ,求证：直线20 ; (2)见解析.【答案】(1) x 2 L 1 x3【解析】(1)由已知|PFiP轨迹C为双曲线的右支,2a 2, a 1, |不2曲线C标准方程X2黑1x0.(2)由对称性可知，直线BM必过x轴的定点,当直线I1的斜率不存在时,A 2,3 , B 2,当直线Ii的斜率存在时，不妨设直线 Ii : y2 , A。山，B X2,y2 ,直线 AD : y

13、x 1 ,当 x 1 时，yMX 123y12 Xi1 '3Yi,2 2 Xi 1ykx2 ,口2222 得 3 k2 x2 4k2x 4k2 33x y 3x2-3224k4k3一2 ,*22，kk3卜面证明直线BM经过点P 1,0 ,即证kp3y1为1上，x2 1即 3y1X2 3yixy2y2,由y1 kx1 2k,y2kx2整理得，4x1x25 x1x244 k2k234k2k2 324 k 3 0k 3即证BM经过点P 1,0BM过定点1,0 .一，32.已知点1,3在椭圆22 xE ：2a2 y21 a bb0上,设A,B分别为椭圆的左顶点、下顶点,原点O到直线AB的距离为

14、汉更7(1)求椭圆E的方程;(2)设P为椭圆E在第一象限内一点，直线PA,PB分别交y轴、x轴于D, C两点，求四边形ABCD的面积.2【答案】(1)-4【解析】(1)因为椭圆2E：2:2a24 1ab b310经过点 1,一，有一29bp.由等面积法，可得原点O到直线AB的距离为2叵7联立两方程解得a2, b 73,所以椭圆E的方程为2E： -4(2)设点 P x0, y0x0 0,y0 02x，则与4_ 223x0 4y012.直线PA: yy0x022y°x0 2从而有BD2y°x 23x02y。23x。,同理，可得AC 3%2y0 2.31所以四边形的面积为 AC|

15、 | BD2y0 2 33x0 2y0 2 3y031 3x2 4y2124、,3%外12%8._ 3y。1 12 12 4 3%y。12% 813y。2飞V。,3x。2y02 32x°y0.3%2y。2、312 2岳0加6x0473y02 召XoVo ,3x。 2y。 2.3所以四边形ABCD的面积为2曲.3.已知点C为圆x 12 y2 8的圆心，P是圆上的动点，点 Q在圆的半径CP上，且有点 ujud uuuumuujuA 1,0 和 AP 上的点 M ,满足 MQ AP 0, AP 2AM .（1）当点P在圆上运动时，判断 Q点的轨迹是什么？并求出其方程； 22（2）若斜率为k

16、的直线l与圆x y 1相切，与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点 F ,H ,且3 OF OF 4 （其中O是坐标原点），求k的取值范围.452【答案】（1）是以点C, A为焦点，焦距为2,长轴长为2底的椭圆，土 y2 1 ；（2）22_2, U ,2332【解析】（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，所以 CP| |QC| |QPQC QA 2 在 CA| 2 ,所以点Q的轨迹是以点C, A为焦点，焦距为2,长轴长为2夜的椭圆,1- a72, c 1, b Va2c21 ,2故点Q的轨迹方程是 y2 1 .2(2)设直线 l : y kx b, F x1, y1 , Hx2, y2,直线

17、l与圆x21相切，得2 上联立 2 y ，消去 y 得：1 2k2 x2 4kbx 2b2 2 0 , y kx b2 222222A 16k b 4 1 2k 2 b 1 8 2kb 1 8k 0 ,得 k 0 ,X1X24 kb22kX1X222buuuOFuuurOHX1X2yy2X1X2kb x1X22_ 2-1 k 2b 21 2k2 * 4kb-14 kb2k22221 k 2k 4k k 121 2k 1 2kk232 ，1 2k故所求范围为u-224.已知椭圆C：X2与1 a a b1b 0的焦距为2 c ,离心率为-，圆O : x 222AAy c , A, A是椭圆的左右顶

18、点，AB是圆O的任意一条直径， AA1AB面积的最大值为 2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)若l为圆O的任意一条切线,l与椭圆E交于两点P, Q,求|PQ的取值范围.24、； 6y 1 ； 3,3【解析】(1)设B点至U x轴距离为h ,贝U 82Saaob211Ao h a h ,易知当线段AB在 y 轴时，hmaxBO c ,S”aba c 2,Qe ， a 2c, a 2 , c 1 , b ,3, a 2 22所以椭圆方程为幺匕1,圆的方程为X2 y2 1.432(2)当直线L的斜率不存在时，直线 L的方程为x 1,此时PQ 组 3;a设直线L方程为：y kx m,直线为圆的切线,叩1, 1 k2y kx m直线与椭圆联立，x2 y2,得4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0,一 二 143判别式A 48 3k2 20,由韦达定理得:xixix2x28km4k2 34 m2 124k2 3所以弦长PQ丁丁 x14 3、. 1k2 .,3?2 人 2x2 -一2 ，令 t 4k 3 34k 3所以PQ| J3综上，pq 3,4-6325.如图，己知FF2是椭圆G: a2I 1 a b 0的左、右焦点，直线 b2过左焦点Fi,且与椭圆G交A, B两点， ABE的周长为4M.(1)求椭圆G的标准方程;(2)是否