2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

1、2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程x=1 + tsin70° , 1y=2 + tcos70（t为参数）的倾斜角为（A. 70°B.20°C. 160°D.110°答案 B解析方法一:将直线参数方程化为标准形式:x= 1 + tcos20y= 2 + tsin20°（t为参数），则倾斜角为20。，故选B.方法二：tan”cos70sin70sin20°。-=tan20 ,20 .cos20x= 1 - tsin70 °另外，本题中直线方程若改为，则倾斜角为160。.y=2 + tcos70°x=

2、1 + 2t,2 .若直线的参数方程为y=2 3t a为参数）'则直线的斜率为（）2 A.-3-2B.-33C.2答案 Dx = 3 + 2cos 0 ,3 .参数方程y= 4+ 2sin 0（。为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为（）A. 1C. 3D. 4答案解析x= 3+ 2cos 0 ,cc参数方程（财参数）表示的曲线的普通方程为（x+3）2+（y-4）2=4,y= 4+2sin 0这是圆心为（一3, 4）,半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.x= 2t,4 . （2018皖南八校联考）若直线l:（t为参数）与曲线C:y= 1 - 4tx=V5cos 0 ,

3、 厂 （。为参数）y = m+V5sin 0相切，则实数m为（）A. 4或 6B. 6或 4C. - 1 或 9D. 9或 1答案 Ax= 2t,x= M5cos 0 ,解析 由（t为参数），得直线l: 2x+y1 = 0,由广 （。为参数），得曲y=1 4ty=m + M5sin 0线C: x2+（y-m）2=5,因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即里口,22+1= y/5,解得 m=4 或 m=6.5. （2014安徽，理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.,，一 一，1_, , , . ,、，、,八 ，/、“，、r 1 * = t+ 1 ,

4、两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数万程是（t为参数）,圆C的极y = t 3坐标方程是p= 4cos。，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.T14B. 2屈C. 2D. 2 2答案 D解析由题意得直线l的方程为x y 4=0,圆C的方程为（x 2）2+y2 = 4.则圆心到直线的距离d=淄，故弦长=2严=d2 =2".x= t,6. （2017北京朝阳二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以y=4+t原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p= 4V2 sin（ 0+ 7），则直线l和曲线C的公共点有（）A. 0个B. 1

5、个C. 2个D.无数个答案 Bx = t,解析 直线l :（t为参数）化为普通方程得 x-y+4=0;y = 4+t曲线C: P= 4#2sin（。+亍）化成普通方程得（x 2）2+（y 2）2=8,圆心C(2, 2)到直线l的距离为d =12-22+ 41=22=r.直线l与圆C只有一个公共点，故选 B.x= t + 3,2 (t为参数)相交y=t2x= 1 + s,7 .在直角坐标系中，已知直线 l:（s为参数）与曲线C:y=2-s于A, B两点，则|AB| =答案 ，2x = 1 + s,解析 曲线C可化为y=(x 3)2,将代入y=(x-3)2,化简解得& = 1,隆=2,y

6、= 2 s所以 |AB| =寸12+12|si- S2|=6.x= 2 t8 . （2017人大附中模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程y=1+V3t为p+ 2sin9 = 0,若在圆C上存在一点P,使得点P到直线l的距离最小，则点 P的直角坐 标为.答案，-2）解析 由已知得，直线l的普通方程为y= J3x+1+2M3,圆C的直角坐标方程为 x2+（y+ 1）2=1,在圆C上任取一点P（cos/，-1 + sina ）（长0, 2兀），则点P到直线l的距离为|/3cos a + sin a - 2 - 2次| |2（d=kJ3-1=,1+3=2时，dmin =，3,此时

7、 P（号，一 1）.622兀、 -FZ.L兀、什丁）- 2-2*j3| 2+2/32sin （叶力）339. （2018衡水中学调研）已知直线l的参数方程为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线x = 2 + tcos a ,（t为参数），以坐标原点 y= tsin aC的极坐标方程为p= 2sin 0 2cos 0 .求曲线C的参数方程;（2）当a=时，求直线l与曲线C交点的极坐标.x = - 1 + V2cos（）,兀答案（1）厂（4为参数）（2）（2, -2）, （2,兀）y=1 + V2sin（j）2解析 （1）由 p= 2sin 0 2cos 0 ,可得 f2= 2 psin

8、0 2 pcos 0 .所以曲线C的直角坐标方程为 x2+y2 = 2y-2x,化为标准方程为（x + 1）2+ （y 1）2= 2.曲线C的参数方程为x = 1 + V2cos（）,厂（f）为参数）.y= 1 + V2sin（）兀. ,（2）当a= y时，直线l的方程为02x= 2+ 22y= 2 t,t,化为普通方程为y=x+2.x2+ y2= 2y- 2x , 由y = x + 2,x= 0, 解得y = 2x= - 2, 或y= 0.一 兀所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2, £）, （2,兀）.10. （2016课标全国II ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+

9、6）2 + y2=25.（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；X = tCOS a ,（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A , B两点，|AB| = 匹，求l的y= tsin a斜率.答案 （1）2+ 12 pcos 0 + 11 = 0（2）邛或邛解析 （1）由*=。8$0, y=psin。可得圆 C的极坐标方程为p=144cos2 a 44. 由 |AB| = 1/10得 cos2 a =tan a = jT.O3所以l的斜率为中或一中.x = 1 8 + t>+ 12 pcos0+ 11=0.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线

10、l的极坐标方程为 0= a （QR）.设A , B所对应的极径分别为0，p 2,将l的极坐标方程代入 C的极坐标方程得p2 + 12 pcosa + 11=0.Ite 仍+ p2= 12cos a , p 1 p 2=11.y= tan 0|AB| = | 1p f2|= q （ P+ p2）_2 4 仍 p 2A, B.兀，一 1（1）若求线段3AB的中点的直角坐标;（2）若直线l的斜率为2,且过已知点P(3, 0),求|PA| |PB|的值.答案(|,胃)40(2)不解析（1）由曲线C:1 xcos 0昉参数），可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.y = tan 0-1兀.当不时，直线l

11、的参数方程为 33+1,伉（t为参数）,2 i代入曲线C的普通方程，得t2-6t-16 = 0,设A, B两点对应的参数分别为 t1，t2,则t1 +所以线段AB的中点对应的t =tl+ t2故线段AB的中点的直角坐标为(9（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程，化简得(cos2a sin2a )t2+6tcosa + 8= 0,则|PA| |PB|= |t1t2|= |2 a 8 sin2 a |COSsin «_ 18 (1 + tan2 n )1tan2I,由已知得 tana = 2,故 |PA| |PB|=40.13. （2018东北三省四市二模）已知在平面直角坐标系xO

12、y中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线Ci的极坐标方程为p= 4cos 0 ,直线l的参数方程是x= 1 y= 1 +争厂 （t为参数）.,5石t（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;（2）若曲线x = 2cos a ,兀C2的参数方程为（a为参数），曲线C1上的点P的极角为Z，Q为曲y= sin a4线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.答案 （1）x2+y24x= 0, x+2y-3=0 （2）近5解析 （1）由 p= 4cos。得 p2= 4 pcos 0 ,又x2+y2=p2, x= pcos 0 , y= psin。，所以曲线 Ci的直角

13、坐标方程为x2+y2-4x=0,由直线l的参数方程消去参数 t得直线l的普通方程为x+2y-3=0.L 兀（2）因为点P的极坐标为（2戍，）,直角坐标为（2, 2）,点Q的直角坐标为（2cosa , sin a ）,1所以 M（1 + cos a , 1 + 2sina ）,点M到直线l的距离dnU + cos” 蓝 sin“ 3| = W|sin（小；）|,. 兀 兀一. 兀. 一.J10当 了 = + k 兀（k CZ）,即a=z + k兀"Z）时,点M到直线1的距离d的最大值为?x= t,14. （2018天星大联考）在平面直角坐标系 xOy中，直线1的参数方程为1r （t为y

14、= 1 + 2V 2t参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p= 2小cos（ 0兀 _+ 7），若直线1与曲线C交于A , B两点若 P（0, 1）,求 |PA|十 |PB|;（2）若点M是曲线C上不同于A, B的动点，求 MAB的面积的最大值.x= pcos 0 ,代入，得曲线C的直y = psin 0答案鬻（2）* 解析 (1)k2小cos(叶十)可化为p= 2cos0 2sin 0 ,1,角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=2.将直线1的参数方程化为x 3、r- (t为参数)，代入y= - 1 +3-t22 .(x 1)2+ (y+ 1)2= 2,

15、4导t2t1 =0,设万程的解为t1,t2,则t1+t2=3，t1t2= 1 ,因而 |PA|+ |PB|= |t"+|W= |t1 t2|= (t+t2)24t1t2 = 2-0.3(2)将直线1的参数方程化为普通方程为2&xy1=0,设M(1 +啦cos。，-1+V2sin0 ),由点到直线的距离公式，得 M到直线AB的距离为|2 V2 (1 + /cos 9)+1 V2sin。 1| |2/+4cos。 V2sin) |d=3=3,最大值为呼，由(1)知|AB|= |PA|+ |PB|=&a，因而AMAB面积的最大值为 建喉 X可1 33233= 10/5 9

16、-备选题|x= 2+ tcos（j）,1.（2018山西5月联考改编）在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为 广y =43+ tsin（）兀CC_ L.、.一一 、一、.一（t为参数，（） 0,）,直线l与。C : x + y 2x 2-3y= 0父于M , N两点，当（）变化时，求弦长|MN|的取值范围.答案质4解析 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，（2+tcos（f）2+（3+tsin 4 ）22（2+tcos（f）2会（炉+tsin 力）=0,整理得，t2+2tcos（f） 3 = 0,设M, N两点对应的参数分别为力，t2,则t1 + t2= - 2cos（j）, t

17、1 - t2 = - 3,|MN| = |t1 12|= yj （t + t2）2 4t1 t2 =寸4cos2。+ 12, 4 e 0,2,cos。e 1 1，|MN| e 严,4. 322. （2018陕西省西安地区高三八校联考）在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为p= 2sin 0 , 9C 0, 2兀）.（1）求曲线C的直角坐标方程；x=V3t+V3,（2）在曲线C上求一点D,使它到直线l :（t为参数，tCR）的距离最短，并求y = - 3t + 2,出点D的直角坐标.3 3答案 （1）x2+y22y=0（或 x2+（

18、y1）2= 1） （2）（32-,-）解析 （1）由 p= 2sin 0 , 0 0, 2兀），可得 =2psin0 .因为 J=x2+y2, psinO=y,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2 2y = 0（或x2+（y 1）2= 1）.x=gt+g,（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，tCR）,消去t得直线l的普通方程为y=- 3t+ 2,y= V3x+ 5.因为曲线C: x2+（y1）2=1是以（0, 1）为圆心，1为半径的圆，设点 D（x°, y°）,且点D到 直线l: y=43x+5的距离最短，所以曲线 C在点D处的切线与直线l ： y=m*+5平 行，即直

19、线CD与l的斜率的乘积等于1,即爪X（典）=1.xo因为 xo2+(y01)2= 1,由解得xo=当或xo=当,所以点d的直角坐标为（一坐2）或（当,3）.由于点D到直线y=->/3x+5的距离最短，所以点D的直角坐标为吟223. （2014课标全国I ）已知曲线C:，+y = 1,直线x = 2 + t,l：(t为参数).y = 2-2t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.x2 y2思路 （1）利用椭圆a7+ b7= 1（a>0, b>0）的参数方程为x = ac

20、os。,（。为参数），写出曲线Cy= bsin 0的参数方程.消去直线 l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.（2）设出点P的坐标的参数形式.求出点P到直线l的距离d,则1PA1.转化为求关于。的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asin 0 + bcos 0 =52 + b2sin（叶（）求解.x= 2cos 0 ,答案(1)C:(。为参数)，l: 2x+y-6=0y = 3sin 0(2)|PA|max=F，|PA|min=平 55一,一 x=2cos。，解析（1）曲线C的参数万程为（。为参数）.y = 3sin 0直线l的普通方程为 2x + y 6=0.5(2)曲线 C 上任意一

21、点 P(2cos0 , 3sin 0 )到 l 的距离为 d = -|4cos9 + 3sin 0 -6|,则 |PA| =d_2_5sin30054|5sin(叶a A 6|,其中a为锐角，且tan a = 2.当sin（叶）一1时，|PA隈得最大值，最大值为 平x= 1+ 3cost,（t为参数）.在y=- 2+3sintO为极点，以x轴非负半轴当sin（叶a ）= 1时，|PA|取得最小值，最小值为 255 4. （2015 福建）在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为极坐标系（与平面直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点为极轴）中,直线l的方程为 小p sin（ 0-十）=

22、m（m e R）.（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.答案(1)(x1)2 + (y+2)2= 9, x y+m=0(2)m = 3 及 42解析(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.p sin 0 pcos 0 m= 0.所以直线l的直角坐标方程为x y+m=0.(2)依题意，圆心 C到直线l的距离等于2,|1- ( 2) + m|=2,解得 m=- 3+272.5.已知曲线C1：x=4+cosa,x = 8cos0 ,(a为参数),C2：(。为参数).y= 3 +sin ay= 3sin 0(1)分别求

23、出曲线C1, C2的普通方程;兀一、，一(2)若Ci上的点P对应的参数为a= 5，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x=3+ 2t, C3y= - 2 + t(t为参数)距离的最小值及此时 Q点坐标.答案(1)C1： (x+4)2+(y-3)2=1 C2：卷+i1 唔仔,一号x= 1 4 + cos a , 解析(1)由曲线Ci：y= 3+ sin a(“为参数)，得(x + 4)2+(y3)2=1,它表不一个以(一4,3)为圆心，以1为半径的圆;x= 8cos 0 , 由C2：y = 3sin 0它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为 8,短半轴长为3的椭圆.(2)当5=5时，

24、P点的坐标为(一4, 4),设Q点坐标为(8cos。，3sin 0 ), PQ的中点 M( - 23+ 4cos。, 2+2sin。).x=3+2t,- C3：，C3的普通方程为x-2y-7=0,y=-2 + t,.|- 2 + 4cos 0 4一 3sin 0 1 7|4cose 3sin e 13|5sin (。+ 3) 13|55，当sin。3 cos 0 = 4时，d的最小值为855,.329.Q点坐标为(-,-5),（第二次作业）x = V2cos 3 ,1. （2018衡水中学调研卷）在平面直角坐标系 xOy中，曲线Ci：（。为参数），y= sin（）曲线C2： x2+y2-2y=

25、0,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 I： 0="（蕃0）与曲线Ci, C2分别交于点A, B（均异于原点O）.（1）求曲线Ci, C2的极坐标方程； （2）当0<“2时，求|OA|2+|OB|2的取值范围.2答案 2= 1TT' P = 2sin° (2)(2, 5)解析2Ci的普通方程为x2+y2=i,x= x/2cos 6:（。为参数），曲线y= sin（）p2=i + sin2 9x = pcos 0由得曲线Ci的极坐标方程为y = psin 0x2+y22y = 0, .曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .2(2)由(i)

26、得 |OA|2= P2=nn2“，|OB|2= /=4即2”， I 十 sin a . |OA|2+ |OB|2 =2- + 4sin2 & =2+4(i + sin2 a)-4, i+sin ai + sin a.1 0< a <三，i<i + sin2 < <2, - 6<2-2+ 4(i + sin2 a )<9,2i + sin a.|OA|2+|OB|2 的取值范围为(2, 5).x = a+ acos 3 ,2. （20i8皖南八校联考）在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 y= asin 3（a>0, 3为参数）.

27、以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 I的极坐标方程、，一兀 3为 pcos（ 0- -3） = 2.若曲线C与I只有一个公共点，求 a的值；兀 ，一一 一（2）A, B为曲线C上的两点，且/ AOB =,求 OAB面积的取大值.答案（i）a=i （2）3勺 4解析 （i）由题意知，曲线 C是以（a, 0）为圆心，以a为半径的圆，直线I的直角坐标方程为 x +V3y-3=0.由直线l与圆C只有一个公共点，可得 W3La，解得a= 1, a=- 3(舍).所以a= 1.IAB|=2a,兀sin万兀r、一，r(2)曲线C是以(a, 0)为圆心，以a为半径的圆，且 Z AOB =,由正

28、弦7E理得3所以 |AB| = q3a.兀又|AB|2=3a2= |OA|2+|OB|22|OA| |OB| cosy>|OA| |OB|,1所以 Saoab=2|OA| - |OB|sin所以AOAB面积的最大值为三"x3a2x亚=乳纯3224 '3 3a2x= 2+ 2cost,（t为参数）.在y= 2sintC2： p= 2sin 0 ,曲线 C3： 03. (2018福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线兀=y( p >0) a(2 , 0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设

29、C3分别交C1, C2于点P, Q,求4APQ的面积.1答案(1)k 4cos。(2)取一2解析 (1)曲线C1的普通方程为(x 2)2+y2=4,即x2+y2 4x=0, 所以C1的极坐标方程为 -4pcos0 = 0,即p= 4cos 0 .兀兀(2)方法一：依题意，设点 P, Q的极坐标分别为(1,石)，(2,苗-).一兀一、一L将"6"代入0= 4cos。，得 pi = 23,，八兀.,、一一，r将0= a代入p= 2sin。，得侬=1 6所以 |PQ|= | p闺=2电-1 ,一.一 一 一八、一兀.一、兀.点 A(2 , 0)到曲线 0= y( p >0)

30、距离 d = |OA|sin-= 1.所以 Saapq = 2|PQ|- d = ；X(2V31)X1 = 2 1.兀兀方法二：依题意，设点 P, Q的极坐标分别为(p1,-),("-).兀t-r-将 0= "6代入 P= 4cos。，得 a = 2也，得 |OP|= 2V3,p= 2sin 0 ,得 自=1,即 |OQ| = 1.兀因为 A（2, 0）,所以 ZPOA= , 6所以 SaAPQ = Six OPA Sa OQA1兀 1兀1-= 2>< 2X2/X-X 2X 1X1=2|OA| |OP| - siny-2|OA| |OQ| - sin4. (20

31、18河北保定模拟)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，1纵坐标缩短为原来的 2得到曲线C2.以坐标原点 o为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 p= 2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线11与12分别交曲线C2于A, C和B, D,且点A在第一象限，当四边形 ABCD的周长最大时，求直线 1i的普通方程.答案(1) X-2cOs0 ( 0为参数)(2)y=1x y= sin 04解析(1)由 p= 2,得p2=4,因为f2=x2+y2,x=pcos 0 , y =(：sin 0 ,所以曲线Ci的直

32、角坐标方程为x2+ y2= 4.由题可得曲线C2的方程为x4+y2= 1.x= 2cos 0所以曲线C2的参数方程为(。为参数).y= sin 0(2)设四边形ABCD的周长为l,点A(2cos 0 , sin 0 ),l = 8cos 0 + 4sin 0 =1 ,5sin 0 ） = 45sin（ OF（）1 其中cos”方,sin（）=25.7tF-所以当 时 -2k兀+万(kCZ)时，l取得最大值，最大值为4<5.兀此时0= 2k兀+金。依Z),所以2cos0 = 2sin 4 =多，sin 0 = cos（j）= +,55此时A(噜事.1所以直线11的W通万程为y =。5. （

33、2018湖北鄂南高中模拟）在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为p= 275sin 0 .（1）求直线l的普通方程和圆 C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A, B两点，若点P的坐标为（3, V5）,求|PA|十|PB|.答案（1）y = -x+3+/5, x2+（y p）2=5 （2）3Wx= 3 t,解析（1）由直线l的参数方程（t为参数）得直线l的普通方程为y=-x+3 +5.由 p= 25sin 0 ,得 x2+ y2- 25y= 0,即圆C的直角

34、坐标方程为x2+(y->/5)2=5.x2+ (y佝 2=5,(2)通解：由 得x2 3x+2=0,y= x+ 3+ V5解得x= 1 , x= 2, 或y= 2+ V5y= 1+ V5.不妨设A(1 , 2+ 洞,B(2, 1 +乘)，又点P的坐标为(3, 回 故 |PA|十 |PB|= 8+2= 32.优解：将直线l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得（3 乎02+（乎1）2=5,即t23小tt1+t2=3V2, t1t2 = 4.+ 4=0.由于A= （36）24X4=2>0,故可设t1，t2是上述方程的两个实根，所以又直线l过点P（3 , V5）,故 |PA|十 |PB|= |t1|+ 网=t1 + t2=