第二类曲线积分的计算

1、第二类曲线积分的计算定义设P(x,y),Q(X,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线LAB上的函数,对LAB任一分割T,它把LAB分成n个小弧段Mi,Mi(i=1,2,n);其中A=M0,B=Mn.记各个小弧段MMi弧长为生,分割T的细度为1Tbm0代,又设T的分点的坐标为Mi(Xi,y)并记XiXi工,小=yiy,(i=1,2,n).在每个小弧段MiMi上任取一点(,),假设极限存在且与分割T与点伐产 Q 的取法无关,那么称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段LAB上的第二类曲线积分,记为JP(x,y)dx十Q(x,y)dy或fP(x,y)dx+Q(x,y)dyLAB也可记作P

2、(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注：(1)假设记F(x,y=(P(x,y),Q(x,y),dS=(dx,dy)那么上述记号可写成向量形式JFdS.L(2)倘假设L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,那么可按上述方法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为根据这一定义,有力场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W=ABPdx+Qdy.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二类曲线积分有L=-匚,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x轴上的

3、线段时的特例.可类似地考虑空ABBA问力场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线LAB所作的功.为空间曲线LAB上的第二类曲线积分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.AB与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是第二类曲线积分就是nfP(x,y)d太QxyV/lXm0P(Ai)+xQ(Ai)y(1)这两种曲线积分的主要区别就在于,第一型曲线积分的积分中是乘的,是一小段弧的弧长,总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量,与是可正可负的.当积分的路径反向时,不变,而与反号,

4、因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分是一样的.计算曲线积分的根本方法是利用的参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同.设曲线的参数方程为那么第一类曲线积分的计算公式为这里要注意,即对t的定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式.这个问题在计算中也要特别注意.沿曲线上的点由A变到B,即t的下限对应曲线积分的起点A,他的上限对应曲线积分的起点A,t的上限对应终点B.历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内的点M和第四象限内的点N,为L上从点M到点N的一段弧,那么以下小于零的选项是(A)(B)(C)(D)【解析】设点,的坐标分别为,那么有题设可知答案为Bo2、计算曲线积分,其中是曲线的一段.3、设是柱面方向,那么曲线积分2022,数一,4分上从点到点2022,数一,9分与平面的交线,从轴正方向往轴负方向看去为逆时针2022,数一,4分采用斯托克斯公式直接计算4、是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周的曲线段,计算曲