4导数研究三次函数的性质

1、让结局不留遗憾，让过程更加完美 镇江市实验高中2015届数学文科一轮复习学案4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1已知函数在上恒为增函数，求实数的取值范围.例2已知函数f (x)=x33x29xa, （I）求f (x)的单调递减区间；（II）若f (x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值 题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知是实数，函数；（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程；

2、（2）求在区间上的最大值例4已知函数的导数为实数，.（1）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（2）设函数，试判断函数的极值点个数【课后作业】1.过曲线yx3+x-2上的点P0的切线平行于直线y4x-1,则切点P0的坐标为 2已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)若函数f(x)a·b在区间(1,1)上是增函数，求t的取值范围3函数f(x)=x3x2x在区间2，1上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5设函数 (0<<1)(1)求函数的单调区间；(2)当时

3、，不等式| |，求的取值范围6.已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数的图象与值线恰有三个交点，求实数的取值范围；（3）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.7.已知函数,为常数,(1)若,求证:函数存在极大值和极小值(2)设取得极大值、极小值时自变量分别为,令点),),若>，直线的斜率为,求函数和的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1 .2（I） ，解得x<1或x>3 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II） 于是有 22a20，解得 a2 故f (x)=x33x29x2，因此f (1)7，O43 即函数f (x)在区间2，2上的最小值为73.

4、解析：（1）因为，所以又当时，所以曲线处的切线方程为（2）令，解得当，即a0时，在0，2上单调递增，从而当时，即a3时，在0，2上单调递减，从而当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，4.解（）由已知得，； 由，得， 当时，递增；当时，递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，得故，为所求 （） 二次函数的判别式为，令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f(x)a·bx2(1x)t(x1)x3x2txt，4分f(x)3x22xt.

5、 7分f(x)在(1,1)上是增函数，3x22xt0在x(1,1)上恒成立t3x22x， 11分令g(x)3x22x，x(1,1) g(x)，t5. 15分3 f(x)max=1,f(x)min=2。4.9万件 解析：令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取得极大值，也是最大值。5. (1)f(x)x24ax3a2(x3a)(xa)，3分由f(x)>0得：a<x<3a；由f(x)<0得：x<a或x>3a； 7分则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(，a)和(3a，) (2)f(x)x24ax3a

6、2(x2a)2a2，f(x)在a1，a2上单调递减，f(x)maxf(a1)2a1，f(x)minf(a2)4a4. 11分不等式|f(x)|a恒成立，解得：a1， 14分又0<a<1，a<1，即a的取值范围是a<1. 15分6.（1）令，则或时，或，时，取得极大值时，取得极小值（2）要使函数的图象与直线恰有三个交点，则函数的极大值大于零，极小值小于零；由（1）的极值可得解之得（3）要使对任意都成立即, 对任意都成立,则大于的最大值由，当且仅当时取等号，故7【答案】(1) 有两不等 b和 f(x)存在极大值和极小值 (2)若a=b,f(x)不存在减区间 若a>b时由(1)