一元二次方程试题和答案

1、一元二次方程根与系数的关系一、选择题1. (2020南通)假设3是关于方程a?-5.y+c=0的一个根，那么那个方程的另一个根是()A、-2B、2C、-5D、5分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5,计算得.解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x,那么3+x=5,即x=2.应选B.点评：此题考查了根与系数的关系，从两根之和动身计算得.2. (2020南昌，9,3分)已知户1是方程¥+几-2:0的一个根，那么方程的另一个根是()C.-2D.-1分析：依照根与系数的关系得出对.”£二-2,即可得出另一根的值.a解答：解：.石1是方程+6*-2=0的一个根，.氏心导-2

2、,.1乂心=-2,那么方程的另一个根是：-2,应选C.点评：此题要紧考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.3. (2020湖北荆州,9,3分)关于x的方程ax二一(3a+l)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根治、x:,且有Xi-XiX：+x：na,那么a的值是()A、1B、-1C、1或一1D、2分析：依照根与系数的关系得出x,+x广一ba,x区二ca,整理原式即可得出关于a的方程求出即可.解答：解:依题意>(),即(3a+l)s-8a(a+1)>0,即£2a+l>0,(a1)二>0,aRl,关于x的方程ax-(3a+l)

3、x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x”且有Xx-xix：+x2=l-a,，xt+xz-xix：=l-a,/3a+la-2a+2a=1一a,解得：a二±1,又aWl,a二一1.应选：B.点评：此题要紧考查了根与系数的关系，由AX1X2+X2T-a,得出X1+X2-xX2=l-a是解决问题的关键.4. （2020湖北咸宁，6,3分）假设关于x的方程x2-2x+m=O的一个根为-1,那么另一个根为（）A、-3B、-1C、1D、3分析：设方程另一个根为xi，依照一元二次方程根与系数的关系取得xi+（-1）=2,解此方程即可.解答：解：设方程另一个根为X,xi+（-1）=2,解得xi

4、=3.应选D.点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根与系数的关系：假设方程的两根别离为Xi，X2，那么X1+X2=-畜XpX2=.5. （2020贵港）假设关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根为-1,那么另一个根为（）A、1B、-1C、2D、-2分析：依照一元二次方程的根与系数的关系X1X2言来求方程的另一个根.解答：解：设XI、X2是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的两个根,由韦达定理,得XlX2=-2,即-X2=-2,解得，X2=2.即方程的另一个根是2.应选C.hC点评：此题要紧考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系Xl+X2=-五、XIX2=&

5、#163;时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义.6. （2020年四川省绵阳市，12,3分）假设X"x2<X1<x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a<b）的两个根，那么实数xi，X2,a,b的大小关系为（）A、xi<x2<a<bB>xj<a<x2<bC、x）<a<b<x2D、a<X<b<x2.分析:因为XI和X2为方程的两根，因此知足方程（x-a）（x-b）=1,再有已知条件X|VX2、aVb可取得xi,x2,a,b的大小关系.解答:解：,.卬和X2为方程的两根，（xi-a）（xi

6、b）=1且（X2-a）（xz-b）=1,/（xi-a）和（xib）同号且（X2-a）和（X2-b）同号;Vxj<x2>，（xja）和（X一b）同为负号而（x?-a）和（x2-b）同为正号，可得：x】一aVO且x1-bVO,x】Va且x】Vb,/.x）<a,x2a>0且x?b>0,AX2>a且X2>b,，X2>b,综上可知a,b,xhX2的大小关系为：xi<a<b<xz.故选c.点，汽此题考查了一元二次方程根的情形，假设XI和X2为方程的两根那么代入必然知足方程，关于此题要把握同号两数相乘为正：异号两数相乘为负.7（2020年江西

7、省，5,3分）已知x=l是方程x2+bx2=0的一个根，那么方程的另一个根是（）C.-2D.-1分析：依照根与系数的关系得出x1X2=-2,即可得出另一根的值.解答：解：.x=l是方程x?+bx2=0的一个根，XX2=-2,Alxx2=-则方程的另一个根是：一2,故选C.点评：此题要紧考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.8. （2020湖北武汉，5,3分）假设不，也是一元二次方程f+4x+3=0的两个根，那么加也的值是（）A.4B.3C.-4D.-3分析：依照一元二次方程的根与系数的关系mX2=£解答并作出选择.a解答：解：一元二次方程:+4.r

8、+3=0的二次项系数”=1,常数项c=3,.c.JV|*X2=3.a应选艮点评：此题要紧考查了根与系数的关系.解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系q%2=£中的a与c的意义.a二、填空题1. （2020江苏苏州，15,3分）巳知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，那么代数式（a-b）（a+b-2）+ab的值等于.考点.根与系数的关系.专题:计算题.分析:欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.解答:解：.飞、b是一元二次方程x2-2x-l=0的两个实数根，ab=-1»a+b=2»

9、;(ab)(a+b2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=O+ab=-1»故答案为：一1.点用:此题要紧考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种常常利用的解题方式.2. (2020江苏镇江常州，12,3分)已知关于a-的方程/+叩-6=0的一个根为2,那么m=j,另一个根是-3.分析：依照一元二次方程的解概念，将m2代入关于x的方程，+吹-6=0,然后解关于相的一元一次方程；再依照根与系数的关系Xl+X2=-2解出方程的另一个根.a解答：解：依照题意，得4+2加6=0,即2m-2=0,解得，/=1；由韦达定理，知X+X2=-»?;2+X2=-1f解

10、得，X2=-3.故答案是：1.-3.点评：此题要紧考查了一元二次方程的解.根与系数的关系.在利用根与系数的关系Xl+X2=I)c.XQ=来计算时，要弄清楚ab.C的意义.aa3. (2020山东日照，14,4分)如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF,那么以AC和BC的长为两根的一元二次方程是一如：x?-后x+l=0.分析:连接AD,BD,OD,由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得ACDADCB,那么可求得ACBC=DCZ1,又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB,依照根与系数的关系即可求得答案.注意此题答案不唯一.解答：解：连接AD,BD,OD,

11、VAB为直径，:.ZADB=90°,.四边形DCFE是正方形，ADC1AB,:.ZACD=ZDCB=90°,:.ZADC+ZCDB=ZA+ZADC=90°,，NA=NCDB,AAACDADCB,.ACDC,DCBC'又正方形CDEF的边长为1,vac>bc=dc2=lVAC+BC=AB>在RSOCD中，OC2+CD2=OD2,.-.OD=,2，AC+BC=AB=、后，以AC和BC的长为两根的一元二次方程是X2-y/5x+l=O.故答案为：此题答案不唯一，如：x2-V5x+l=o.点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质和根与系数的关

12、系.此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用.4. （2020德州，14,4分）假设xi，X2是方程x?+x-1=0的两个根，那么xj+x?：.分析：先依照根与系数的关系求出X1+X2和X1X2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把X1+X2和X1-X2的值整体代入计算即可.解答：解：xi，X2是方程x?+x-1=0的两个根，bc.X1+X2="=-1,X1*X2=-1,aaAXi*"+X2"=（X1+X2）2-2xieX2=（-1）2-2x（-I）=1+2=3.故答案是：3.点评：此题考查了根与系数的关系、完全平方公式.解题的关键是先求出X1+X2

13、和X1X2的值.5. （2020四川眉山，17,3分）已知一元二次方程）2-3y+l=O的两个实数根别离为以、2,那么（），1-1）（”-1）的值为-1.分析：先依照一元二次方程），2-3y+l=0的两个实数根别离为yi、丫2,求出yi+y2及yiy2的值，再代入（A-1）（*-1）进行计算即可.解答：解：一元二次方程y-3y+l=0的两个实数根别离为），/.”，w+j2=3，yry2=,/（yi-1）（光-1）,=yij2-y-V2+b=yij2-（V1+J2）+1，=1-3+1,=-1.故答案为：-1.点评：此题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，假设XI，X2是一元二次bc方

14、程ax、bx+c=0（a翔）的两根时，xi+x?=，xiX2=.aa6. （2020四川泸州，16,3分）已知关于x的方程好+（2-1）.叶/一2=0的两实根的平方和等于11,那么女的值为.分析：由题意设方程（2%+程/-2=0两根为和M，得xi+m=（2+1）,xi*x2=k2一2,然后再依照两实根的平方和等于11,从而解出k值.解答：解：设方程方程+（2"l）x+k2-2=0设其两根为X1，X2,得X+X2=-（2k+l）,XieX2=k2-2»9=(2k+l)2-4x(k2-2)=4k+9>0,Ak>-,4Vxj2+X22=11>:.(x)+X2)2

15、2xieX2=ll»：(2k+l)22(k2-2)=11,9解得k=1或-3：,故答案为*=1.4点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题.7. (2020四川遂宁，12,4分)假设乂1、*2是方程*2-2x-5=0的两根，那么x/+xiX2+X22=.分析：由于方程x2-2x-5=O的两个实数根为X|,X2,因此直接利用根与系数的关系即可取得两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就能够够求出X+XX2+X22的值.解答：解：*.*XhX2是方程X?-2x-5=0的两根,.*.X1+X2=2,X1*X

16、2=-5,X12+X1X2+X22=(X1+X2)2-X1X2=4+5=9.故答案为9.点评：此题要紧考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种常常利用的解题方式.8. (2020四川省宜宾市.，12,3分)已知一元二次方程5=0两根为、b,那么5+(的值是分析：依照根与系数的关系，取得a+b=6,ab=-5,把a+b和ab的值代入化简后的代数式,求出代数式的值.答案：解：:.a,b是一元二次方程的两根，a+b=6tab=-5,= To 吩=6-56故答案是：一5.解：:七，b是一元二次方程的两根,，a+b=6,ab=-5,= 吩=+6-5故答案是：一6-5点评：此题考

17、查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值.9. （2020杭州，15,4分）已知分式-J”,当m2时，分式无心义，那么”=：当厂-5/+。“V6时，使分式无心义的x的值共有一个.分析：依照分式无心义的条件：分母等于零求解.解答：解：由题意，知当x=2时，分式无心义，分母=炉-5x+a=22-5x2+a=-6+«=0,/4=6；当X25x+</=0时，=524</=25,:a<6,.方程/一5x+“=0有两个不相等的实数根，即X有两个不同的值使分式.二3无心义.x-5x+t/故当“V6时，使分式无心义的x的值共有2个.故答案为6,2.点评：此

18、题要紧考查了分式无心义的条件及一元二次方程根与系数的关系.（2）中要求当"V6时，使分式无心义的a-的值的个数,确实是判别当。<6时,一元二次方程1-5x+=0的根的情形.10. （2020广西宾客，17,3分）已知一元二次方程/+如2=0的两个实数根别离是玉石.那么玉=分析：依照一元二次方程ax?+bx+c=0（a翔）的根与系数的关系：设方程的两根别离为xi,X2,那么X|+X2=4,X|X2号即可取得答案.解答：解：一元二次方程x2+mx-2=0的两个实数根别离为xi，X2，._2X1-2.故答案为-2.点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的根与系数的关

19、系：设方程的两根别离、，uC为X1,X2，那么X+X2=-f，Xi*X2=.三、解答题1.（2020湖北潜江，17,6分）假设关于x的一元二次方程9Tr+J3=0的两个实数根为占、X2,且知足片=3小，试求出方程的两个实数根及k的值.bc分析：依照根与系数的关系（不+*=,xrx2=-）列出等式，再由已知条件。aa联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可.解答：解：由根与系数的关系，得Ai4-A2=4，X"2=k3（2分）又."1=3必，联立、，解方程组得'（4分）、工2=1，k=xi/2+3=3xl+3=6（5分）答：方程两根为Xi=3,X2=l：k=6.（6分）

20、I）c点评：此题要紧考查了根与系数的关系：小+也=，M应=一.解答此题时，必然要弄aa清楚韦达定理中的“、b、。的意义.2. （2020南充，18,8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+l=0的实数解是xi和X2.（1）求k的取值范围：（2）若是XI+X2-xix2<-1且k为整数，求k的值.分析：（1）方程有两个实数根，必需知足aub?-4acN）,从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得Xl+X2=-2,XlX2=k+l.再代入不等式X1+X2-XIX2V-1，即可求得k的取值范围，然后依照k为整数，求出k的值.解答：解：（1）.方程有实数根，/.A=22

21、-4(k+1)>0,解得k£0.故K的取值范围是ksO.（2）依照一元二次方程根与系数的关系，得X|+X2=-2,x1X2=k+lX1+X2-xiX2=-2-（k+1）.由已知，得-2-（k+1）<-1,解得k>-2.又由（1）k<0,.-2<k<0.k为整数，Ak的值为-1和0.点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系.在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，必然要注意其前提是此方程的判别式>0.3. （2020湖南张家界，23,8）阅读材料:bc若是X、X2是一元二次方程ax、bx+c=0（aM）的两根，那么，x+占=，2八=一.这

22、a"a确实是闻名的韦达定理.此刻咱们利用韦达定明白得决问题：已知m与n是方程2x1 m + n 3（2） + - = -=2.m n mn 3点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a翔）的根与系数的关系：假设方程的两根别 bc离为X, X2，那么须+&=一一，$ 占=一 a a4. （2020湖北孝感，22, 10分）已知关于x的方程-2（&-1）的垢=0有两个实数根同，刀2（1）求k的取值范围:-6x+3=0的两根<1）填空：m+n=,m*n=：（2）计算,的值.mn分析：（1）直接依照韦达定理计算即可取得m+n和mn：（2）先把变形，用m+n和

23、mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可.解答：解：（1）答案为3,2（2）假设h+x2l=xiX2-1,求k的值.分析：（1）方程有两个实数根，可得=及-4位女），代入可解出上的取值范阳：（2）结合（1）中左的取值范围，由题意可知，虫+也=2（k-）<0,去绝对值号结合等式关系，可得出人的值.解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得=b2-4"c=4（k-1）2-4k2>0,解得，kJ:2（2）依据题意可得，xi+A2=2（%-1）,由（1）可知仁2：.2（）V0,，-2（）=必一,解得女1=1（舍去），&2=-3,:k的值是-3.答：（1）A的取值范围是

24、太上：（2）&的值是-3.2点评：此题要紧考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种常常利用的解题方式；注意k的取值范闱是正确解答的关键.5. （2020玉林，20,6分）已知：xi、X2是一元二次方程x?-4x+l的两个实数根.求：（X1+X2），（+）的值.王4分析：先依照一元二次方程根与系数的关系确信出XI与X2的两根之积与两根之和的值，再依照_L+_L=+i士士即可解答.Xxx2X|X2解答：解：一元二次方程x2-4x+l=0的两个实数根是XI、X2，/Xl+X2=4»X1*X2=1>（X1+X2）4-（1）_梳再+/中2=42-

25、?4=4.点评：此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型.6. （2020贵州遵义，24,10分）有四张卡片（反面完全相同），别离写有数字一、二、一一、一2,把它们反而朝上洗匀后，甲同窗抽取一张记下那个数字后放回洗匀，乙同窗再从中抽出一张，记下那个数字，用字母b、c别离表示甲、乙两同窗抽出的数字。（1）用列表法求关于X的方程/+x+c=0有实数解的概率：（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。【考点】列表法与树状图法；根的判别式.分析（1）依照题意列表，然后依照表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的情形数，依照即可概率公式求解：（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解.【解答】解：（1）列表得：(1,-2)(2,-2)(一1,-2)(一2,-2)(1,-1)(2,1)(-1,-1)(一2,-1)(1,2)(2,2)(一1,2)(-2,2)(1,1)1)(一1,1)