不等式积分不等式

1、精品资料欢迎下载.柯西施瓦茨不等式及其积分形式柯西不等式：（a：a；a；）（Q2歧Ulb2） 一（韭aHlaRn）2证明：（1）构造二次函数：f（x）=（a；+a；+ ）a；）x2+阿1+a；b2+ 川ajbjx +（b：+ b；+川b：）显然，f（x） - 0成立，那么二乞0，而判别式就是上述形式。（2）当然也可以考虑数学归纳法（a：IH a：）（b2Hlb；）= （a；川a；bi|b2厂a；（b川b；）就（a2+IHa：）+a；b；(曲|冋)2=但耳 |%虫)22*024 |HanJbnj) -aX两边的好说，归纳假设就解决了，中间的部分用一下基本不等式，解决。】证明：简单写吧，因为很容易

2、看出，这个不等式和上面的式子密切相关1取厶X，即可。】n在裴礼文数学分析习题集上， 还有另外一种证法，考虑到篇幅，就不再过多叙述, 有兴趣的同学可以看一元积分学一章。.杨不等式及其积分形式1 111 ab杨不等式的形式很简单：一+ = 1(p0且q0),则apbq0且q0时的情况，那么如果有个小于0呢？人ab11可令x（-=1）,我们可以想到什么呢:定比分点。p0p q p q且q0时，x在（a,In（a）, （b,In（b）确定的线段上。p,q中有一个小 于0的时候，在射线上。考虑一下一条直线与对数函数的关系，结论就出来了：1 1a?bq这个东西一会儿使用得到的，在推导赫尔德不等式的时候，

3、杨不等式会是我们的利器。还有积分形式。不得不说，这个所谓的积分形式是指能推出杨不等式，至于形式然后，是积分形式:柯西施瓦茨不等式:(：f(x)g(x)dx)22(x)dx精品资料欢迎下载上，两个不等式并不相同：设a0,b0,y二（x）在0,a连续且严增，（0） = 0,设反函数x二（y）精品资料欢迎下载ab则有0(x)dx亠 | ； (y)dy - ab证明：考虑（a） - b时（其他情况可设（a）二k，再做一下变换）：n、Xi丿（Xi）一（Xi_J）二Xn：（Xn）-X。（X。）i -1a(a)二ab】i -1证明：只需证明两种情况中的一种（不妨为第一种） 首先，有如下关系：同理，是另外一种

4、情况的证明。当然，这个不等式也可以用加权不等式证明，具体证法还是见裴礼文。 四、闵可夫斯基不等式及其积分形式非负实数a“ aj| an，b?|( b，n丄n丄当p a 1时，送（ap）p+为（bPFi二当pc 1时，送（aP）P吃（bP）i=1n左边八（XiXXj一丄）i A如果令三、赫尔德不等式1（X）=X ，取积分上限分别为ap（我暂时没找到这个不等式的积分形式。1,bq即可得到赫尔德不等式。ooooooo)非负实数1a1,a2|i|an,b1,bi|bn若一P1当p,q1时(送qP”(送bqfaibi当P,q异号时(aiP)P(vbiq)q乞、qbii -1i 4aibn 1 n 1O aiP)PO biq)qi =1i =4丄n迟qp2bqnabq i =1apn、aipi -1将这n项加和，即-P1，再移项，即得赫尔德不等式。bi)Pbi)P精品资料欢迎下载1+ b )(p)1 nz（4 +bi）（r丄1证明方法类似，取x即可，当然，对于p=2的情况，可以直接考虑两n边平方，再用柯西不等式。证明：同样的，只考虑一种情况即可（不妨为第一种）n、(ai J+ b)pPnb)、bi(ai Jf11、fn罕/ nPZ aipf +bipi-丿2丿J（做n次归纳） 1时，（afP（x）d