函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

1、函数与导数1.已知函数f ( x) =4x3+3tx2-6tx +t -1, XC R ,其中t e R .(I )当t =1时，求曲线y = f ( x)在点(0, f(0)处的切线方程;(II)当tuO时，求f(x)的单调区间；(III)证明：对任意的 飞(0,+乂)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。(I )解：当t斗 时，f(x) =4x3 +3x2-6x, f(0) f(x) =12 x2 +6x 6f(0) =-6

2、.所以曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为 漲.(II)解：ff x) = 12x2+6tx _6t2,令f(x)=O ,解得x=_t或乂=丄.2因为tO,以下分两种情况讨论：(1)若t w o,则- -t，当x变化时，L(x), f( x)的变化情况如下表：2X匕乜丿(-广)f(x)+-+f(x)/、 /rt ft所以，f(X)的单调递增区间是); f ( X)的单调递减区间是，_tI2丿匕X(Zt)J0,贝lj_t 1,即Q2时，f (x)在(0,1)内单调递减，2f(0)- 10, f(l) = -6t2+ 4t+丕-6X4+曾2+ 3：0.所以对任意t己2,畑)，f

3、( x)在区间(0,1)内均存在零点。1- j= _Zt3 +t _ 1 0.t所以f(x)在，1卡存在零点。f “若t(l,2), f X二_Zt3 + (t_ l)w_Jt3+ 10所以f(x)在I内存在零点。所以，对任意t(0,2), f(x)在区间(0,1)内均存在零点。综上，对任意t(0,址)，f( x)在区间(0,1)内均存在零点。2.已知函数f(x) =2x+1，h(x)=J7.32(I )设函数F(x)= 18f(x)- x2h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；33(II )设a e R ,解关于x的方程lg一f(x - 1)-一 =21g h(a一x) 21g h(4 x

4、)；24(III)设nN* ,证明：f(n)h(n) -h(l)+h(2) +111+h( n)丄.6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(I ) F (x) =18 f( x) -x2 h(x)2= -x3+12x歩(x磅,/- F x)3弄一+12(2)当0 1,6卩2时,20；当x2,S 时，F x) 0 ,故当x狗,2)时，F(x)为增函数；当xE2,乜)时，F(x)为减函数.4 a 0 ,方程有两解x =吐J 5-a ;a二5时，贝ij=0 ,方程有一解x =3；a

5、空或a 5,原方程无解.x =2为F (x)的极大值点，且F (2) = +24 + 9=25 .、 _33(II )方法一:原方程可化为log 4 1 f (x 1)=log 2 h(a - x) log 2 h(4 _x), 2 4即为log 4 ( X_l) Jpg 2 -X log 2 J 4_X二log且丁4 - xx?当1也翌甘，1 x a ,贝|J x丄=a _，即X _4_x 6土J2O_4afxa,ll4时，I V3_ a .a xC 4 ,由x 1=4 -x=36 4( a +4) =20 4a、3.设函数f ( x) =a 2 in x _x 2+ax , a 0(I )

6、求f(x)的单调区间；(II)求所有实数a,使ef ( x) 0,-x 0,a x 0,(X T)(4Fa -x.lx4x a,0=-(XT)2+5.2当4 a 5时，原方程有二解x=吐7 5-a；3当a =5时，原方程有一解x =3；4当a 2 Ht,有ak 龍,又因为ai =1,所以 /+a2+IH+an+77+川 +则 (1)+S h h(2+|+ ()h n ,故原不等式成立.当1 Va 4时，原方程有一解(II)证明：由题意得，f(l)=a Eca巴c由(I)知f(x)在l,e内单调递增,要使e -1 f (x) e -1,只要Lf (e) a2 _e2 +ae e2解得a =e.4

7、.-设f(x)=,其中a为正实数.l+ax24(I)当a=_时，求f(x)的极值点；3(II)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变 化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.2x 1 + ax_ ax解：对f(x)求导得f(x) =e；43当a二一，若f(x)=o,则4x2-8x仔，解得xi = ,X2=*.322综合，可知X4力丄)221-3-_(丄)2 2_323-100)2f(x)+00+f(x)极大值、极小值7_r,31所以，X1 是极小值点，X2=是极

8、大值点.2 2(n)若f ( X)为R上的单调函数，则f ( X)在R上不变号，结合与条件a0,知ax2-2ax F二0在R上恒成立，因此=4a2一4a= 4a(a一1)9,由此并结合a O ,知0 a 1.5.已知a , b为常数，且a$0 ,函数f ( x ) =-ax+b+axlnx , f ( e ) =2 ( e=2 . 71828是自然对数 的底数)。(I)求实数b的值；(n)求函数f(x )的单调区间；(m )当a = l时，是否同时存在实数m和M ( mf(x)0得xl,由f(x)0得0 xl;(2)当a 0得(XxF,由f(x) VO得xl.综上，当a 0时，函数f (x)的

9、单调递增区间为托),单调递减区间为(0,1);m和最大的实数当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,护。(ID )当a=l时，f (x)= -X+2改In x, f( x) =ln x.由(U)可得，当x在区间(忆)内变化时，f x), f(x)的变化情况如下表:eX1巳141)e1(l,e)ef*( x)-0+f(x)22-e单调递减极小值1单调递增2又2-2 2,所以函数f*( x) = (!, e)的值域为1, 2o/1. m = 1,-1据经可得，若则对每-个I m.直线冃乌曲线y= f (X)( X匡4)都有IM=2e公共点。1 _并且对每一个t乏(_

10、8,+s),直线y = t与曲线y=f(x)(x e - ,e)都没有公共点。e综上，当a = l时，存在最小的实数m=l,最大的实数M=2 ,使得对每一个tem, M ,直线y=t1与曲线y ( x)( x 6 ,e)都有公共点。e6.设函数f ()x = x3 +2ax2+bx + a , gx(尸x2_32 ,其中反R, a、b为常数，已知曲线y = f(x)与y = g (x)在点(2,0)处有相同的切线L(I)求a、b的值，并写出切线1的方程；(H)若方程f()x +g ()x=mx有三个互不相同的实根0、x、x ,其中xi v X2 ,且对任意的xc11, X2】，fk() +g()x Vm( xl)恒成立，求实数m的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分)解：(I) f ( x) = 3x? *4ax+b, g(X)7x一3.由于曲线y = f(x)与y=g(x)在点(2, 0)处有相同的切线，故有f(2) =g(2) =0,f(2) =g(2) =1.由此得0,艮卩m_丄4又对任意的x己xi , X2 , f (x)+ g( x) m( x一1)成立,特别地，取x = xi时，f ( X广g( xi ) mxi m成立，得m 0, xi X2= 2