概率论与数理统计习题二答案

1、概率论与数理统计习题及答案习题二故所求分布律为X345P2设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样, 以 X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；133PX , P1 X , P1 X , P1 X 2.222【解】【解】X3,4,5P(X3)1c；0.1P(X4)3 c；0.3P(X5)c2c；0.61一袋中有 5 只乒乓球，编号为球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律.1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只故 X 的分布律为X012P2212丄353535X 0,1,2.

2、P(X 0)P(X 1)P(X 2)C；322%35C；C；31235C3丄C535.0,x 00.008, 0 x 10.104,1 x 20.488,2 x31, x 3P(X0) (0.2)30.008P(X1) C30.8(0.2)20.096P(X2) C3(0.8)20.2 0.384P(X3)(0.8)30.512故 X 的分布律为X0123设 X 表示击中目标的次数则 X=0, 1 , 2, 3.P分布函数(2) 当 x0 时，F (x) =P (XWx) =0当 0Wx1 时, F (x)当 1 Wx2 时，F 故X 的分布函数(x)=P(XWx)=10,22F(x)3534

3、351,P(X2)F(2)3P(1Xf)F(f)3P(1XP(XP(1X2)F(2)3.射手向目标独立地进行了3 次射击，律及分布函数，并求3 次欠射击r中至少击F(1)34351)P(1 XF(1) P(X34门0353122)35d341n1 0.3535每次击中率为，中 2次的概率.求 3 次射击中击中目标的次数的分布F(x)【解P(X 2) P(X 2) P(X 3)0.8964. (1)设随机变量 X 的分布律为kpX=k=a订，其中 k=0, 1, 2,，入0 为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量 X 的分布律为PX=k=a/N,k=1, 2,，N,试确定常数 a.【解】(1)

4、由分布律的性质知kk) ak 0k!(2)由分布律的性质知P(X 3,Y3)331212(0.4) (0.3)C30.6(0.4) C30.7(0.3)+33C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)0.32076P(X Y) P(X 1,Y0) P(X 2,Y0) P(XP(X 2,Y1) P(X 3,Y1) P(X123223C30.6(0.4) (0.3) C3(0.6) 0.4(0.3)(0.6)3(0.3)3C：(0.6)20.4C；0.7(0.3)2312322(0.6) C30.7(0.3)(0.6) C3(0.7) 0.3P(Xk 0ageN1 P(X

5、k 1Nk)k1Na5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，今各投 3 次，求:(1)两人投中次数相等的概率；【解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则 Xb (3,) ,丫弋3,(1)P(X Y) P(X 0,Y0) P(X 1,Y1) P(X2,Y2)3,Y0)3,Y2)6设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各飞机k 3降落是相互独立的 试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,，设机场需配备 N 条跑道，则有即P(X

6、 N) 0.01200kk200 kC200(002) (098)001k N 1利用泊松近似np 200 0.024.4 ke 4P(X N) B0.01kN1k!查表得 N 9故机场至少应配备 9 条跑道7有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为，在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少(利用泊松定理)【解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb (1000,)P(X 2)1 P(X 0) P(X 1)8已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足 PX=1=PX=2,求概率 PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则1

7、4223C5P(1 P)C5P (1 P)9设事件 A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号(1)进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率【解】(1)设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X6 ( 5,)5 kk5 kP(X 3) C5(0.3) (0.7)0.163083e0.10.10.1故所以P(X 4) C4(1)4|10243(2)令 Y 表示 7 次独立试验中A 发生的次数，则Yb (7,)6设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各

8、飞机k 37P(Y 3)CkelOF)7 k0.3529310.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2） t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）（1）求某天中午 12时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某天中午 12时至卜午 5 时至少收到1 次呼救的概率.【解】（1）P(X0)3e2(2)P(X1)1 P(X 0)1 ek k2 k11.设PX= 1=5，试求 PY 19【解】因为P（X1) 5，4故P(X 1)-.9而P(X1)P(X0)(1 p)2故得(1p)24Q,即p13从而P(Y 1) 1 P(Y 0)1 (1 p)4650

9、.802478112.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000 册书中恰有5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则Xb（2000,.利用泊松近似计算，np 2000 0.0012e225P(X 5)00183113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一以 X 表示试验首次成功所需试验的次4数，试写出 X 的分布律，并计算4X 取偶数的概率.10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（2/2） t 的泊松分【解】X 1,2,L ,k,LP(Xk) (1)k4134P(X2) P(X4) LP(X

10、 2 k) L1 34g4133(1)33114.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500X12=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X,则 Xb(2500,则所求概率为P(2000 X 30000) P(X 15)1 P(X 14)由于 n 很大，p 很小，

11、=np=5,故用泊松近似，有14e55kP(X 15)10.000069k 0k !P(保险公司获利不少于 10000)P(30000 2000 X 10000) P(X 10)5 5ke 50.615961k 0k!即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae| x,g x+8,求：(1) A 值；(2) P0X1;(3)F(x).【解】(1)由f (x)dx 1得1Ae %x 2 Aexdx 2A01故A -.2105 ke 5k!0.986305即保险公司获利不少于10000 元的概率在 98%以上P (保险公司获利不少于200

12、00)P(300002000X20000) P(X 5)111x11p(0 X 1)10exdx ?(1 e1)x1x1x当 x0 时，F(x)x1|x|e dx211 -e2Jdx2x-exdx02F(x)12e，1xe216.设某种仪器内装有三只同样的电子管，1-0, x 100,xx 100.在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F (x).电子管使用寿命X 的密度函数为f(x)=0,求: (1)(2)(3) 【解】(1)P(X 150)PiP(X150100牙dx100 x2150)3(|)3313.82749当 x 100 时F(x)xf(t

13、)dt100f (t)dtx100f(t)dtx100100t2dt100F(x)1100 x 100 x0,X 表示这质点的坐标， 设这质点落在 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】由题意知 Xu0,a，密度函数为17.在区间0, a上任意投掷一个质点，以X 的分布函数.故当 x0 时 F (x) =0当 0a 时，F (x) =1即分布函数0,x0F(x)xJ0 xaa1,xa18.设随机变量 X 在2 , 5上服从均匀分布.现对 X 进行二次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5，即12 x5f(x)30,其他512P(X3)dx333故所求概

14、率为P C3(2)21323险)32033327119.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口5等待服务，若超过 10 分钟他就离开他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求 PY 1.1【解】依题意知X E (-)，即其密度函数为5该顾客未等到服务而离开的概率为2Yb(5,e )，即其分布律为P(Y k) C5(e2)k(1 e2)5k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2)50.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走 .第一条路程较短但交

15、通拥挤，所需时间X 服从 N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N ( 50, 42).f(x)1上e5,x 050,x 0P(X 10)x15 e5dx105(1)若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些(2)又若离火车开车时间只有 45 分钟， 问应走哪条路赶上火车把握大些【解】(1)若走第一条路，XN (40, 102),则X 32 3X 32 351110.6915 1 0.99380.6977P(X 60) Px 4060 401010(2)0.97727P(X 60) PX 5060 50(2.5)0.9938+44故走第二条

16、路乘上火车的把握大些.(2)若 XN (40, 102),则P(X 45) PX 4045 40(0.5)0.69151010若 XN (50 , 42),则P(X 45)PX45045 50( 1.25)41(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些 21.设 XN( 3，22),(1)求 P2X5,P42,PX3;(2)确定 c 使 PX c=RXWc.【解】(1)P(2 X 5)(1)(1) 10.8413 1 0.69150.5328P( 4 X 10)4 3 X 310 32 2 270.99962P(| X | 2) P(X 2) P(X2)若走第二条路，XN ( 50

17、, 42),则c=3x,0 x1,2,0,X 33- 3P(X 3) P(-) 1(0)0.522.由某机器生产的螺栓长度(cm) XN (,),规定长度在土内为合格品，求一螺栓为不合格品 的概率.1 (2) ( 2) 210.045623.一工厂生产的电子管寿命X (小时)服从正态分布N (160,o2),若要求 P120vX3;求分布密度 f (x).c=3x,0 x1,2,0,求 X 的分布函数 F (x),并画出 f (x)及 F (x)x0【解】当 x0 时 F (x) =0当 0Wx1 时F(X)xtdt00f(t)dt当 1Wx2 时F(x)xf(t)dtF(x)0,2x2x22

18、x21,1,26.设随机变量 X 的密度函数为(1)f(x)=ae| x,入 0;bx,1(2)f(x)=,x0,其他.1,2,试确定常数 a,b，并求其分布函数【解】(1)由f (x)dxae|x|dxexdx2axi0当 x 0 时F (x)xf (x)dx即密度函数为f(x)(2)=，求z，z/2x当 1Wx 2 时 F ( x) =1 故其分布函数为0,2xx0F(x)J23 10 x 12 x，1x21,x2x027.求标准正态分布的上分位点,(1)=，求z当 x0 时F (x)f (x)dxxdxexdx02故其分布函数F(x)(2)由1f(x)dx1bxdx0得即 X 的密度函数

19、为21 .2dxxb=1当 x 0 时 F ( x) =0当 0 x1 时F(x)f (x)x,丄，x0,其他f (x)dxxf(x)dxof (x)dxxdx即1 (z )0.01【解】（1）P（x z ）0.01即(z )0.09故z 2.33(2)由P(X z )0.003得1 (z ) 0.003(z ) 0.997查表得z 2.75由P(X z/2)0.0015得1 (Z/2)0.0015即(z/2)0.9985查表得z/22.9628.设随机变量 X 的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求 Y=X2的分布律.【解】Y 可取的值为 0, 1，4，91P(Y

20、0) P(X 0)-5117P(Y 1) P(X1) P(X 1)615301P(Y 4) P(X2)-511P(Y 9) P(X 3)30故 Y 的分布律为Y0149Pk1/57301/511/30129.设心=丁,，令1,当 X 取偶数时即1 (z )0.011,当 X 取奇数时.求随机变量 X 的函数 Y 的分布律.【解】P(Y 1) P(X 2) P(X 4) L P(X 2k) L(2)4L(1)2kL2111()/(1)443P(Y1) 1 P(Y 1)-330.设 XN (0, 1).(1)求 Y=eX的概率密度；(2)求 Y=2X2+1 的概率密度；(3)求 Y= | X |的

21、概率密度.【解】(1)当 y0 时，FY(y) P(Y y) P(exy)In yfx(x)dx2P(Y 2X 11) 1当 yw1 时FY(y) P(Y y) 02当 y1 时FY(y)P(Y y) P(2X 1 y)P X2竽PX打(y 1)/2EfX(x)dx故fY(y)dyFY(y)寸民fXP?如胃P(Y 0)1当 yw0 时FY(y) P(Y y) 0fY(y)dFy(y)dy1-fx(ln y) y11ln2y/2y2neP(X In y),y(y 1)/4当 y0 时FY(y) P(|X| y) P( y X y)yfx(x)dxy故fY(y)dFY(y)fx(y) fx( y)

22、dy2y2/2.2 ne31.设随机变量XU( 0,1),试求：1) Y=eX的分布函数及密度函数；(2) Z=2lnX 的分布函数及密度函数【解】(1)P(0 X 1)1故P(1 Y eXe)1当y 1时FY(y)P(Yy) 0当 1y e 时FY(y)XP(ey) 1即分布函数0,y 1FY(y)ln y,1 y e1,y e故 Y 的密度函数为1 1 y efY(y)y,0,其他(2)由 P (0X0 时，FZ(z)P(Z z)P( 2ln X z)z、z/ 2、P(ln X2)P(X e )(arcsiny)21-n- arcsiny)2nn2.arcs in yn当 y1 时，FY（

23、y） 1故 Y 的密度函数为fY（y）33.设随机变量 X 的分布函数如下：试填上（1）,（2）,（3）项.即分布函数e0,z 0FZ.-z/21-e,z 0故 Z 的密度函数为1z/2e ,z0fz(Z)20,z032.设随机变量 X 的密度函数为2x门xnf(x)=n1/2dx 1 ez/20, 其他.【解】P(0 Y 1)1当 yw0 时，FY(y) P(Y y) 0当 0y1 时，FY(y) P(Y y) P(sinx y)试求 Y=sinX 的密度函数P(0 Xarcsin y2xdxnnnarcs in y2x2dxn1x(1),x1 x2 ,(2),F(x)arcsin y) P

24、(narcs in y X2 1ng1 y20,0 y 1其他【解】由lim F (x)1知填x掷出现 6 点。则由右连续性lim+F(x)x x0F(x。)1知Xo0, 故为 0。从而亦为0。即F(x)11 x21,34同时掷两枚骰子,6 点为止, 求抛掷次数 X 的分布律.1【解】设 Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。( i=1,2) ,P(Ai)= 且 A1与 A2相互独立。再设 C=每次抛6直到一枚骰子出现P(C) P(AUA2)P(A1) P(A2)P(AI)P(A2)1136112 16 6 6 611故抛掷次数 X 服从参数为的几何分布。3635.随机数字序列要多长才能使数字0

25、至少出现一次的概率不小于【解】令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则Xb( n.P(X 1) 1 P(X 0)1 &(0.1)0(0.9广0.9(0.9)n0.1得即随机数字序列至少要有36.已知n2222 个数字。0,x 0,1C1F (x)=x,0 x 221,1x.2则 F (乂)是()随机变量的分布函数.(A)连续型；(B)离散型;(C)非连续亦非离散型.【解】因为 F (x)在(g,+8)上单调不减右连续，且lim F (x) 0 xlim F(x) 1，所以 F (x)是一个分布函数。但是 F (x)在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故F ( x)是非连

26、续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)利用微积分中求极值的方法，有g( )(2)(?)12(丄)故当311、2一1/2211 11/22Fe令03e8/2三，则。2，又ln 3. ln 30)0t为极大值点且惟一。.l n 32时 X 落入区间(1,、ln 3的概率最大。39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数品的概率为 p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种 物品的人数 Y 的分布律.X 服从泊松分布P (入)，每个顾客购买某种物em【解】P(X m),m 0,1,2,Lm!设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数 X=m 的条件下，Yb(m,p),即P(Y

27、 k|X m) Cmpk(1 p)mk,k 0,1,L ,m由全概率公式有37.设在区间a,b上，随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0,则区间a,b等于()(A)0,n/2;(B)0,n；(C)n2,0;(D)30,冗.233在0,n上，当nxn时，sinx k=2/3， 求 k 的取值范其他.m”如(1p)mk此题说明：进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为入 p.40.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布证明：Y=1e2X在区间（0,1）上服从均匀分布（ 1995 研考）【证】X 的密度函数为由于 P

28、 (X0) =1,故 当 yW0 时，FY(y) =0 当 y1 时，FY(y) =1即 Y 的密度函数为P(Y k)P(X m)P(Y k|X m)mkm kp (1 p)mkk!(m k)!(P)k (1 P)mk(m k)!k!P)-ek!4k!e(1p,kp)0,1,2,Lfx(X)2e2x0,01e2X1,|卩 P (0Y1) =1当 0y1 时，FY(Y)P(Y2xy) P(e 1 y)P(Xlln(121In(12y)2e2xdxy)f(x)50,P(X240) P(X2)45.若随机变量 XN （2,c2),且 P2X4=,1 x 6其他4P(X 2) P(X 2)5则 PX

29、k)二知 P (Xk)=-33若 k0,P(Xk)=0k1若 0wkw1,P(Xk)=dxk103331当 k=1 时 P (Xk)=-3若 1wkw3 时 P (Xk)=11k1 dx0dx0313若 3kw6,贝 U P (X6，则 P (X k）=.342.设随机变量 X 的分布函数为求 X 的概率分布.（1991 研考）【解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为X113P43.设三次独立试验中， 事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率为1 9 / 2 7 , 求 A在一次试验中出现的概率 .（1988 研考）【解】令 X 为三次独立试

30、验中 A 出现的次数，若设 P（ A） =p，则Xb(3,p)198由 P （X 1）=知 P （X=0） = （1p）3=-2727故 p=344.若随机变量 X 在（1, 6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+仁 0 有实根的概率是多少（1989 研考）【解】F(x)=0,0.4,0.8,1,x 1,1 x 1,1 x 3,x 3.24P(Xn)(0.94)P(Xn 2)C：(0.94)n 2(0.06)P(Xn 2)1 P(X n 1) P(X n)n (0.94)n10.06 (0.94)47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96 分

31、以上的占考生总数的，试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率.(1990 研考)【解】设 X 为考生的外语成绩，则 XN ( 72,62)X 7296 72240.023 P(X 96) P1()故查表知灣)0.9772，即6=122 2 X 24 2【解】0.3 P(2 X 4) P()(-)(0)(2) 0.5故(勻0.8因此P(X 0) P( J2J2)(-)1(-) 0.246.假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以 概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)求(1)全部

32、能出厂的概率a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率(3;(3)其中至少有两台不能出厂的概率0. (1995 研考)【解】设 A=需进一步调试, B=仪器能出厂，贝UA=能直接出厂, AB=调试后能出厂由题意知 B=A UAB,且P(A) 0.3,P(B| A) 0.8P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 0.8 0.24P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令 X 为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，贝 yX6 (n,),故从而 XN (72 , 122)60 72 X 728472故P(60 X 84) P12 12 12(1) ( 1) 2 (1) 10.68248.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为，和(假设电源电压X 服从正态分布 N(220，252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V 的概率卩。(1991 研考)【解】 设 A1=电压不超过 200V, A2=电压在 200240V,人3=电压超过 240V, B=元