三角函数练习专题

1、学习好资料欢迎下载选修 1 1 -1 1第三章导数及其应用课标研读课标要求(1 )导数概念及其几何意义1了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义(2) 导数的运算 能根据导数定义，求函数y二C, y二x, y = x2,y = 1的导数.x能利用表 1 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数表 1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：C=O(C 为常数)；(xn) = nxn，n N+;(sin x) = cosx;法则 1u(x) _v(x) =u(x) _v(x)法则 2u(x)v(x)f-u(x)v(x) u(x)v(x).法则 3叫二u(x)v(x

2、)2-u(x)v(x)(v(x) = 0)v(x)v (x)(3) 导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间, 对多项式函数一般不超过三次 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、 最小值，对多项式函数一般不超过三次(4) 生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题 命题展望导数是高中数学的一个重要内容，导数的本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质， 还是解决不等式的证明问题和方程根的判断问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着

3、非常重要的作用，所以在最近几年的高考试题中，对导数的考查逐步(cosx)=-sinx；(ex)exXX1(a ) a In a;(In x):x1(logax) logae.x学习好资料欢迎下载加强，从题量和题目的难度上都有了很大的提高，在全国各地的高考试卷中都有关于导数的试题。对导数的考查形式是多种多样，难易均有，可以在选择题与填空题中出现，主要考查导数的运算、导数的几何意义，导数的应用(主要研究函数的单调性、极值与最值等)；也可以在解答题中出现，有时候作为压轴题，这时主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、数列、解析几何等联系在一起。第一讲导数及其运算知识梳理知识盘点1.导数的概念如果当

4、x 0时，-岁有极限，就说函数y = f(x)在点x = x0处存在导数，并将这个极x限叫做函数f (x)在点x =XQ处的导数(或变化率)，记作f (x0)或y lx仝,即f (x0)-_ _ _ 的几何意义是曲线y二f(x)在点2Ax(X。，f(X。)处的_；瞬时速度就是位移函数S(t)对_ 的导数；力口速度就是速度函数V(t)对_的导数(2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，其导数值在(a,b)内构成一个新函数，这个函数叫做f (x)在开区间(a,b)内的导函数，记作 _ 或_ .2几种常见函数的导数(1) C=_ (C 为常数)；(xn) =_, n N+; (3)(

5、sin x)=_;(cosx)二_;(ex) =_;(ax) =_;1(ln x) =_; (8)(logax) logae.x3可导函数的四则运算法则法则 1u(x)v(x)f =_ .(口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ).法则 2u(x)v(x)r=_.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法则 3=_(v(x)式0)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，v(x)下导上不导，中间是负号)特别提醒1导数是从众多实际问题中抽象出来的一个重要的数学概念，要从它的几何意义和物理意 义来对这一概念加以认识，才能把握其实质；学习好资料欢迎下载2导数的概念及其运算是导数就用的基础，是高考考查的重

6、点内容考查方式多以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义，也可以解答题的形式出现， 即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题；3.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x)与(f (x。)是不一样的，f(X。)代表函数f(x)在x=：x。处的导数值，不一定为 0 ；而(f(x。)是函数值f(Xo)的导数，而函数值f(Xo)是一个常量，其导数一定为 0,即(f(x。)=0 ；4对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误

7、 5 复合函数的求导问题是个难点，要分清中间变量与复合关系，复合函数求导法则，像链 条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.防止漏掉一部分或漏掉符号造成错误.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合 关系.基础闯关1 某质点的运动方程是S=t-(2t -1)2，则在 t=1s 时的瞬时速度为()A . - 1B . - 3C. 7D. 132.函数y二mx2m的导数为y4x3,则()A.m = 1,n = 2 B.m = 1,n=2 C.m = 1,n =-2 D.m =1, n =-23. ( 2006 年安徽卷)若曲线y=x4的一条切线I与直线

8、x，4y-8 = 0垂直，则I的方程为()A.4x-y-3=0B .x 4y-5=0C .4x-y 3 = 0D .x 4y 3 = 014.一质点做直线运动，由始点起经过 ts 后的距离为 s= t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是()4A.4s 末B.8s 末C.0s 与 8s 末D.0s,4s,8s 末5. 过点 P ( 1,2)且与曲线 y=3x2 4x+2 在点 M (1 , 1)处的切线平行的直线方程是 _ .126.将一个物体竖直上抛，设经过时间t s 后， 物体上升的咼度为 s=10t - gt，物体在 1 s 时的瞬时加速度为_ _m/s2.典例精析例 1.设函数f(x

9、)在x=2处可导，且f (2) = 1，求limf (2 h) f(2_h)；t 2h已知f (x) =x(x 1)(x 2)川(x 2008)，求f (0).剖析利用导数的定义，可容易求得。解(1)由已知条件和导数的定义，可得：1.叽f (2X)一f=f=1 ,学习好资料欢迎下载当“h时，limf(2 h) f(2h)=iim心小2. y_hhlimf(2 h)f(2h)limf(2 h)f(2) f(2) f(2 h) 72h一 72h1f(2 h)f(2)1f(2) f(2 h)1lim lim1 1 = 1.2hph2 h卩h2从而由导数乘法的计算公式得f (xh(x) x h (x)

10、所以f (0) =h(0)0 h(0) =h(0) =1 2川2008 =2008!警示(1)在对导数的定义理解时，要注意f(x0)= imf化x)-f(X)中.x的形式变化，本例中就有Ax - -h的情形出现；设函数f (x)在x = a处可导，则limf (x)一f (a)= f(a)，此结果作为导数定义的另一 x a种形式，与导数的定义无关.我们可以证明之：令x = a *：x，则当x a时， 氷 0,(3)本例中的第(2)题充分说明了应用导数概念解题的方法与重要性，在复习时应给予重视。 变式训练:设f (x) =x(2 -1 x |),求f (0)的值。例 2求下列函数的导数剖析本题不

11、要考查导数的有关计算，助借于导数的计算公式及常见的初等函数的导数, 可以容易求得。解(1)解法一：y=(2x2-1)(3x 1)=6x32X2-3X-1, y：=(6x32x2-3x-1)：=(6x3) (2x2) -(3x)：=18x24x-3.(2)解法一：f (0)包叫f(X)(0)包叫卫卫巳m(x 1)(x 2)川(x 2008) = 2008!limf(x)-flim.x-0f(X：X)x二f (a);1. (1)已知函数f (x)在x =1处可导，且f (1-3,lxm0f (1 X)- f (1)3心x(1)y =(2x2-1)(3x 1)X2_x1x2x1XXX(4)y = 3

12、 e -2 eln x(6)y = sin(cosx2)hh解法二：令h(x) =(x 1)(x2)H)(x 2008)，则f (x) =x h(x)学习好资料欢迎下载解法二：y =(2x2-1)(3x 1) (2x2-1)(3x 1) =4x(3x 1) 3(2x2-1) =12x24x 6x3学习好资料欢迎下载2= 18x 4x3.2 2x x+1x +x+12x2xy221厂x +x+1 x +x+1x +x+1_H_ 2(x2+x+1)2x(2x +1)2x22y一一(x2x 1)2_(x2x 1)2(4)y = (3xex)一一(2x)e = (3x) ex3x(ex) - (2x)

13、 = 3xI n x ex_ 2xI n 2 = (3ex)l n3e - 2xl n2(6)y二二cos(cosx2)(cosx2)二二cos(cosx2)2cos x(cosx) = cos(cosx2)2cos x(-sin x)二二-sin 2xcos(cosx2).警示复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求层每次求导都针对最外层,直到求到最里层为止所谓最里层是指已经可以直接引用基本导数公式进行求导的(2)求导时，先化简再求导是运算的基本方法，这样可以减少计算量一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征， 可否化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导, 可先化为和

14、、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式变式训练2 求下列函数的导数ex例3.已知函数y在X = X0处的导数值与函数值互为相反数，求x0的值。xXe剖析可先求出函数y的导函数，然后根据条件建立关于X。的方程进行求解.x1一一，x(1. .匸匸(1一一、. .1 x)(1 Jx)x(1、x)一一1-(1-x)2 2(In x) (x 1) -In x (x 1)(x2+1)2(x21) In x 2xx(x21)22x (1-2In x) 1x(x21)2(1)y =(X 1)(x -1)(x -2)；32y=(2x - 1)(3x x);(3)y = ta n x -

15、 xcos2xsin x -cos xy = xex(1 In x)；h + xym-x学习好资料欢迎下载解由于y二兰，所以f(xJ=，又y，匕-1),f (Xo) =eXo(x；)xXoXX0eXoeXo(x _ 1)1依题意得f(Xo) f(Xo) = 0，即20,. 2Xo-1 = 0,得Xo二XoXo2警示导数的运算是导数应用的前提，因步应熟练掌握导数的运算法则以及常见函数的求导公式，近几年的高考试题中， 对于y =eX,y =lnX等函数导数的考查较为频繁，因此应掌握与这两个函数有关的导数运算变式训练X13.设f(x) =a eXbln x，且f=e, f (-1)，求实数a,b的值

16、。e134例 4已知曲线y =丄3-.33(1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；(2) 求曲线过点P(2, 4)的切线方程。剖析“该曲线过点P(2, 4)的切线”与“该曲线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线中，点P(2,4)不一定是切点；在点P(2, 4)处的切线中，点P(2,4)是 切点。2解(1)所求切线的斜率为y |x/ = 2 =4，故所求的曲线的切线方程为y-4=4(x-2)即4x -y -4 =0.134134设曲线y x3与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0, x3)，则切线的斜率为33332132k=X0，切线方程为y -(X0) =X

17、0(x-x)，因为点P(2,4)在切线上，所以3313424 -(一x一)=x2(2 -X。)，解得X。=2或X。=-1，故所求的切线的方程为：4x- y-4=0 33或x - y 2 = 0.警示求函数f(X)图象上点P(X0,f(X)处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k,由导数的几何意义知k = f (x0)，故当f (x0)存在时，切线方程为y - f (x) = f (x)(x-x).求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“点P处的切线”的 差异过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；点P处的切线， 点P是切点。(2)要准确理解曲线切线的概念，如直线与曲线公共

18、点的个数不是切线的本质特征，一方 面，直线与曲线只有一个公共点=直线是曲线的切线，例如：抛物线的对称轴与其抛物线学习好资料欢迎下载有且仅有一个交点，但对称轴不是抛物线的切线；另一方面，直线是曲线的切线直线与学习好资料欢迎下载曲线有且仅有一个公共点，例如本题中曲线与其切线y4x 4二0有两个公共点P(2, 4)M -( 4, 20)又如曲线y =sin x与其切线y =1有无数个公共点！曲线未必在其 切线的“同侧”，例如直线y =0虽然“穿过”曲线y =x3，但它却是曲线y=x3在点(0,0) 处的切线。(3)要深入体会切线定义中的运动变化思想： 两个不同的公共点 两公共点无限接近 两公共点重合

19、(切点)；割线一；切线。变式训练324.已知曲线 C: y=x - 3X+2X,直线 I: y=kx,且直线 I 与曲线 C 相切于点(xo, yo) (xo*0), 求直线 I的方程及切点坐标.例5.在曲线 y=x3- x 上有两个点 0(0, 0)、A(2, 6)，求弧 OA 上点 P 的坐标，使 AOP 的 面积最大.剖析本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义由于|OA|是定值，所以若将点 P的位置转化到与曲线 y=x3-x 相切且与 OA 平行的位置，此时点 P 到|OA|的距离最大；也可设 点，构造目标函数求最值.解解法一：因为 koA=3，所以过弧 OA 上点 P 的直线的

20、斜率 k=A=3.所以 ky=3仁 3.所以 3X2=4.所以 x=23或 x= 生3(舍去).332込2聶前“2託2朽所以 x= ,y= ，即 P( ,).3939解法二：设 P(a,a3 a),/O(0,0)、A(2,6),A直线 OA 的方程为 3x y=0.点 P 到它的距离为 d=|3a=aa|=10|a3 4a|,J10103J03-0a .Ad= (4aa ).10,J10222屈亠2寸3-(d) = (4 3a )，令 4 3a =0,得 a= 或 a=.1033时取最大值，此时 y=(匕卫)3 差=碧3139选择、填空题中，也有可能出现在解答题中.在这类问题中，导数所担负的任

21、务是求出其切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法与解析几何的基本思想。变式训练25.已知抛物线y =x 2，过其上一点P引抛物线的切线I，使I与两坐标轴在第一象限 围成的三角形面积最小，求切线I的方程.2 22罷/ 0vav2,Ax=a=3A心,亘，39警示利用导数求曲线的切线方程,几乎是新课程高考每年必考的内容,既有可学习好资料欢迎下载例 6.已知抛物线G : y = x 2x或C2: y - -X a，如果直线I同时是G和C?的切线, 则称I是G和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。(1)a取什么值时G和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2) 若

22、Ci和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。剖析分别求曲线Ci和C2的切线方程，由于Ci和C2有且仅有一条公切线，从而列出方 程组，求解a的取值，进行得到公切线方程；而对于证明相应的两条公切线段互相平分的问题，只需要证明这两条切线的中点是同一点即可_ 22解(1)函数y =x2，2x的导数是y2x 2,曲线G在点P(,Xi2xi)处的切线方程2 2为：y (Xi2xJ = (2xi 2)(x Xi)，即y = (2x2)x Xi.函数y =_x2 a的导数是y J2x，曲线C2在点Q(X2, -x?a)处的切线方程为：2y -(x2a)二2x2(x -x2)，即y - -2X2X

23、X2afX-ii -x2如果直线I是过点P和Q的公切线，则都是直线I的方程，从而有i222-xi= x2+ a2i消去X2得方程2xi2xii 0，由=4 -4 2(i a) =0，得a.21i此时xi=x2,即点P和Q重合.故当a时，Ci和C2有且仅有一条公切线，此公22切线方程为y = x .41由(i)知，当a时，Ci和C2有两条公切线.设其中的一条公切线在Ci和C2上的切点2分别为P(xi, yi),Q(x2, y2),则为x2= -i, %y2=x2xi(-x；a) = x；2捲-(为i)2a = -ia1 i + a即公切线段PQ的中点是(一丄，丄工)221一i + a同理可证，另

24、一条公切线段PQ的中点也是(-一，)，所以公切线段PQ和P Q相互22平分。警示可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y = f(x)在x = x0处的导数表示曲线在点P(Xo, f (Xo)处切线的斜率，因此，曲线y二f (X)在点P(Xo, f (Xo)处的切线方程, 可按如下方式求得：第一，求出函数y二f(x)在x =Xo处的导数，即曲线y= f(x)在点P(Xo, f (x。)处切线的 斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y = y0 f (x0)(x-x0)；如果曲线y = f (x)在点P(xo, f(xo)的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义

25、可知，切线的方程为x=x0.变式训练i ax_丄26.已知a 0,函数f (x), x (0,；)。设0 Xi，记曲线y = f (x)在点学习好资料欢迎下载xaM(xi, f (xi)处的切线为I。(i )求I的方程；学习好资料欢迎下载时,f(x)g(x) f (x)g(x) 0，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x) : 0的解集是().(A) .5(B) 2.5(C)35(D)05.设 a0, f (x) =ax2+bx+c,曲线 y=f (x)在点 P (x, f (x)处切线的倾斜角的取值范 围为0,上,贝 U P 到曲线 y=f (x)对称轴距离的取值范围为4A. :0, -

26、:B. :0,丄C. :0, |R|D. :0, | |口口| |a2a2a2an I n 1 . I |J6.已知 f(x)=axanx an，贝Uf (0)=_ .7.设f(x) =x3, f (a-bx)的导数是_.8.设曲线y =x4ax b在 x=1 处的切线方程是y = x，则a二_,b=_.9. (2006 年江苏卷)对正整数 n,设曲线 y=xn(1 -x)在 x= 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列 玉 的前 n 项和的公式是 _ .+1 J10.求函数的导数(1)y=(x2 2x+3)e2x;(2)设I与x轴交点为(x2,0)。1证明：0：x2乞一；1若x1

27、，则x1:X?:a能力提升1.如果质点 A 按规律 s=2t3运动，则在 t=3 s 时的瞬时加速度为A.6B.182.下列求导运算正确的是()1 1 1A.(x ) =12B.(log2x)C.xxx I n 2C.24(x2cosx) = -2xsinxD.32D.(3x)3xlog3e3 .f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数A . ( 3, 0)U(3, + 旳B.(3,0)U(0,3)C.(汽一 3)U(3, + 旳D.(汽一 3)U(0 , 3)4.曲线y =ln(2x-1)上的点到直线2x - y 3 = 0的最短距离是学习好资料欢迎下载11. 曲线 y=x2+1 上过点 P

28、 的切线与曲线 y= 2x2 1 相切，求点 P 的坐标12. 已知A -1,2为抛物线C:y=2x2上的点，直线I,过点A，且与抛物线C相切，直线12:x = a a：-1交抛物线C于点B，交直线I,于点D.(1)求直线I,的方程；(2)求厶ABD的面积S).第二讲导数的应用知识梳理知识盘点1 函数的单调性函数f(x)在某个区间(a,b)内，若f (x) .0，贝U f(x)为_;若(x)：0，则f(x)为_；若f (x) =0，则f(x)为_。2 如果一个函数在某个区间内的绝对值_，那么函数在这个范围内变化_，这时函数的图象就越“ _”。3.( 1)函数极值的概念函数y = f (x)在点

29、x = a处的函数值f (a)比它在点x = a附近其它点的函数值都小，f (a) =0；而且在点x = a附近的左侧 _ ，右侧_，则点x=a叫做函数y=f(x)的_ ,f (a)叫做函数y=f(x)的_ .函数y = f(x)在点x=b处的函数值f (b)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，f (b) =0；而且在点x= b附近的左侧 _ ，右侧_，则点x= b叫做函数y=f(x)的_ ,f (b)叫做函数y = f (x)的_ .极小值点与极大值点统称为 _ ，极小值与极大值统称为 _.(2)求函数极值的步骤：学习好资料欢迎下载_:_:_ 。4 函数的最大值与最小值 在闭区间a,b上连

30、续，(a,b)内可导，f (x)在闭区间a,b上求最大值与最小值的步骤是:学习好资料欢迎下载(1) _； (2) _ 。特别提醒导数的应用不要包括以下几个方面：(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间；(2)利用导数研究函数极值与最值；(3)利用导数研究曲线的切线问题；(4)利用导数研究不等式的证明问题佝利用导数研究函数的零点；(6)利用导数求参数的取值范围等在复习的过程中，应注意总结规律，一般来说，利用导数解决的问题，其所涉及的函数往 往具有明显的特征,例如：三次函数等高次函数，非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些 函数尤其适合利用导数解决再如：f(x)在某个区间内可导，若 f(x) 0

31、，则f(x)是增函 数；若f(x)v0，则f(x)是减函数.求函数的极值点应先求导，然后令y=0 得出全部导数为 0 的点，(导数为 0 的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0 时，导数是 0,但非极值点)，导数为 0 的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定 在导数为0 的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.可导函数的最值可通过(a，b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。另外，在复习过程中，要注意等价转化，分类讨论，数形结合等数学思想方法的训练，在解决 导数的综合应用题中，

32、这些思想方法始终贯穿于其中，是正确解决问题的关键基础闯关321.关于x的函数f(x)二x 3x，3x-a的极值点的个数有()2.设 y= x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为()A 单调递增 B、有增有减C、单调递减 D、不确定3.f (x)=0 是可导函数 y=f(x)在点 x=X0处有极值的()(A)充分不必要条件(C)充要条件4.(2006年天津卷)函数f (x)的定义域为开区间 在(a,b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间()A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D .4 个5.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范

33、围是 _6.设有长为 a，宽为 b 的矩形，其底边在半径为R 的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，=.b典例精析12例1.若函数f (x) =lnx ax -2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围.B . 1 个C. 0 个D .由a确定(B)必要不充分条件(D)非充分非必要条件学习好资料欢迎下载2剖析函数f(x)存大单调区间，就是不等式f(x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0,：),所以本题就是要求f (x)乞0在(0,：)上有实数解1ax + 2x _1解f(x) ax-2.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以xx2f (x) _0有解.又

34、因为函数的定义域为(0,：),则ax，2x-1_0应有x 0的解.2 2(1)当a 0时，y = ax22x-1为开口向上的抛物线,ax，2x-1_0,总可以找到x 0的解;2 2当a: 0时，y = ax22x-1为开口向下的抛物线 要使ax，2x-1_0总有大于 0 的解,则2. 44a 0且方程ax2x -1 =0至少有一个正根，此时-1：a：0.(3)当a= 0 时,显然符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(-1, ：).警示一般地涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助于导数这一 工具进行求解.函数的定义域内存在单调区间，就是不等式f (x) _ 0或f (x)

35、岂0在其定义域 内有解，这样就将问题转化为了求解不等式的问题.本题在解答时，很容易忽视函数定义域这一限制条件，即在解答时，只是要求不等式f(x“0有解,而不是在(0, ：)内有解，从而导致 错误.在研究函数的有关性质时，一定要注意优先考虑定义域.变式训练:21. (1)已知 a 为实数，函数f(x) =(x 1)(x a).若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线， 求 a 的取值范围.(2) (2005 年重庆卷)设函数 f(x)=2x3_3(a 1)x26ax 8，其中 a R.若 f(x)在(-：,0)上为增函 数，求a 的取值范围。例2.(2005 年北京卷)已知函数f (x)

36、= -x33x29x m. g(x) = x3-3a2x-2a若f(x)在区间2, 2.上的最大值为 20.(1)求实数m的值；是否存在实数a_1,使得对于一为-2,2,总存在x 0,1,都有g(x)= f(x,)成 立?若存在,学习好资料欢迎下载求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.剖析对于第(2)小题，可先由(1)求出函数f(X)在 2, 2.上的值域，则问题就转化为：是否 存在实数a -1,使f (x)在2, 2.上的值域是函数g(x)在区间0,1上的值域的子集，这样 利用导数分别求出这两个函数的值域，建立关于a的不等式组即可求解.解(1)Tf (x) = 3x26x 9.令f (x

37、)：0,解得x：-1或x 3,所以函数f (x)的单调递减区间为(oo,1),(3,+处).递增区间是(1,3).又因为f (_2) =8 12 _18 m = 2 m,f (2 -8 12 18 m = 22 m所以f(2) . f (2).因为在(一1,3)上f(x) 0,所以f(x)在一1,2单调递增,又由于f (x)在-2,一1上单调递减,因此f (2)和f(_1)分别是f (x)在区间一2,2上的最 大值和最小值于是有22 m二20,解得m = -2.32由(1)知f(x)二一x 3x 9x-2.因此f(-1)=1 3-9-2=-7.即函数f (x)在区间-2,2上的值域为-7,20

38、.g (x) -3x2-3a2,由于a _1,所以当0,1时，g(xR0,因此当x 0,1时,g(x)为减函 数,从而当x0,1时,g(x) g(1),g(0).22又因为g(1)=1 _2a_3a ,g(0) = -2a,即当x 0,1时g(x) 1_2a_3a , -2a若对于2 ,2总存在 0 ,1都有g(X0)= f(xJ,则应有十20_2a_3a2兰_7- 7 , 2 0 a a 2，即3,2 ，解得：a乞-10I-2a兰20但由于a -1，故不存在这样的实数a.警示本题属于探索性的题目，其一般的解法思路是先假设符合条件的参数存在，然后综合考虑题目的各个条件，若各个条件之间不矛盾，则

39、参数存在，若条件之间存在矛盾，则参数不存 在.如本题的第(2)问，要特别注意a的取值范围首先应满足前提条件a1,如果忽视这一条件将得出错误的结论.学习好资料欢迎下载变式训练2. (2006 年湖北卷)设x=3是函数f x i：x2 ax be3 x，R的一个极值点.(i)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间；广25 (n)设a0,g(x)= a2十一5e；若存在引，冇乏0,4使得f佝)g(j ) v 1成立，4丿求a的取值范围学习好资料欢迎下载例 3 将函数y = l nx_2的图象按向量a = (-1,2)平移得到函数y二f(x)的图象，求证：当2xx 0时，f (x).x

40、+2剖析先求出函数y = f (x)的解析式，然后构造函数借助函数的单调性证明不等式解将函数y=l nx2的图象按向量a= (-1,2)平移得到函数y=f(x)=：l n(x1).因为x 0,所以g (x) 0,即函数g(x)在区间(0, ：)上是单调增函数，于是有2x2xg(x) g(0)即f(x)0,因此有当x 0时，f(x).x+2x+2警示利用导数证明不等式也是导数应用的一个重要方面，这类问题一般需要根据欲证的不等式构造一个新函数，然后通过考查这个新函数的单调性，结合给定区间和函数在区间端点 的函数值进行证明.变式训练123.求证:在区间(1，：)上函数f(x) x2l nx的图象总在

41、函数g (x)x3的下方.23例 4.设a为实数函数f (x) = -x33x a(1) 求f (x)的极值;(2) 当a为何值时，函数y = f (x)恰好有两个零点？剖析函数y = f(x)的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标.由此可以通过分析函数的单调性和函数的图象特征进行求解.解(1)令f(x)3x23=0，得为=1，x2=1.又因为x (-：，-1)时，f(x)：0；x (-1,1)时，f (x) 0；x (1，：),f(x)：0，所以f(x)的极小值为f(-1) = a-2；f(x)的极大值为f(1)=a 2.因为f(x)在 X，(：，-1)上单调递减，且当X时，f(x)； 又

42、f(x)在X- (1,7)上单调递减，且当 X；“：时，f(x)； -；而a 2 a-2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0,此时曲线y = f(x)令g(x)= f(x)2xT2. 1，则g(xr芦2(x2) -2x_(x 2)22x(x 1)(x学习好资料欢迎下载与x轴恰好有两个交点， 即函数y二f (x)恰好有两个零点，所以a 2 = 0, a - -2；当极小 值等于 0时有极大值大于 0,此时曲线与曲线y = f(x)与x轴也恰好有两个交点，即函数y = f (x)恰好有两个零点，所以a2=0,a=2。综上所述知，当a = 2时，函数y = f

43、 (x)恰好有两个零点。警示研究函数的零点的问题可以转化为研究相应函数图象问题一般地，函数y = f (x)的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标方程f (x) g(x)二0的根就是函数f (x)与g(x)图象的交点的横坐标变式训练4.已知函数f(x)=lnx, g(x)=xX 1(1) 若x 1，求证：f(x) 2g()；x +112 2(2) 是否存在实数k,使得方程一g(x2) - f(1 x2) =k有四个不同的实数根？若存在，求出2实数k的取值范围；若不存在，说明理由。12例 5. (2007 山东省样题) )已知函数f X；=lnx, g x ax25X4 = 02(i)若b=2，且h x = fx - g x存在单调递减区间，求a的取值范围；(n)设函数f x的图象 C1与函数g x图象 C1交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作x轴 的垂线分别交