二次根式复习专题讲义补课用

1、实用标准文案二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如&1 (an0)的式子叫做二次根式,“厂 称为二次根号. .式子中,被开方数(式)必须大于等于零. .而(a>0)是一个非负数. .(8)=a (aA0)； Va2 =a (an0)2 .二次根式的乘： .一般的,有 Va , bb = Vab . ( a> 0, b> 0) .反过来,有 Vob = Va x Vb ( a > 0 , b > 0 )3 .二次根式的除：.一般地,对二次根式的除法规定：2£=J- (a>0, b>0),反过来,(a" b

2、>0)4 .二次根式的加减法那么：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并典型例题分析：例1.以下式子,哪些是二次根式, 哪些不是二次根式：V2、Vs、1、& (x>0)、n 4 4J2、- V2、-、Jx + y (x nxx y 10, y? >0).文档实用标准文案分析：二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号“一 ； 第二,被开方数是正数或 0.解：二次根式有：尿(x>0)、氏、-&、xTy (x>0, y>0);不是二次根式的有：、1、段、,.xx y例2.当x是多少时,辰功+,在实数范围

3、内有意义？x 1分析：要使*；罚3 +,在实数范围内有意义,必须同时x 1满足辰用中的A 0和.中的x+1W0.x 1解：依题意,得!2x+3-0x 1 = 0由得：xn-92由得：x-1当xn-3且xw-1时,亚亚3+,在实数范围内有意义. 2x 1变式题1 ：当x是多少时,.存在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1 > 0, ? J3x-1才能有意义.解：由 3x-1 A0,得：x> 13当xn 1时,矿?在实数范围内有意义.3变式题2:.当x是多少时,叵三3+x2在实数范围内有 x意义？3解：依题意得：!2x 3.,卜&quo

4、t;,x = 0文档实用标准文案,当x>-3且“.时,甲+ X2在实数范围内没有意义. .假设存7+n有意义,那么口=. .使式子J_x52有意义的未知数乂有个.例3.y=QK+、k?+5,求的值.答案：2 y5 .假设衍+斫=.,求a2004+b2.4的值.答案：2 .产产T + k3=.,求xy的值.答案:81 例4.计算1.祗2 2 . 375 2分析：我们可以直接利用 百2=a an.的结论解 题.解：(3 ) 2 = 3, (3痣)2 =32 (岔)2=32 5=45, 22邛)2=5(无)2=尸.66222 4例5.计算1.(衍)2 (x>G)2 .(身)23) ( J

5、a2 +2a +1 ) 2 4.( “x2-12x + 9 ) 2分析：(1)由于 xn.,所以 x+1>.； (2) a2A.； (3)a2+2a+1= (a+1) 2n.；4) ) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3) 2A.文档实用标准文案所以上面的4题都可以运用(声) 2=a (a>0)的重要结 论解题.解：(1)由于x >0,所以x+1>0(41) 2=x+l(2) ; a2>0,(期)2=a2(3) ; a2+2a+1= (a+1) 222 2又 (a+1) >0, /- a +2a+1 >0 , . Va

6、2+2a+1=a+2a+1(4) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3) 2又( 2x-3 ) 2A0222/. 4x -12x+9 >0,( x2 -12x + 9 ) =4x -12x+9变式题：计算2.(2 .3 3.2)(2.3 -3,2)例6.在实数范围内分解以下因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3例7.化简(1) &(2) 7cz47(3) 岳 (4) g分析：由于(1) 9=-32, (2) (-4) 2=42, (3) 25=5：(4) (-3) 2=32,所以都可运用 =a (a>0) ?去 化简.解：(

7、1)、=疗=3(2) J(4)2="=4(3) 725 =<52 =5(4)4(-3)2 =再=3文档实用标准文案例8.填空：当 a0时,77=；当a<0时, 点=, ?并根据这一性质答复以下问题.(1)假设"=a,那么a可以是什么数？(2)假设j/=-a,那么a可以是什么数？(3)亚洛 那么a可以是什么数？分析：:77=2 (aA0), .要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“ ()2中的数是 正数,由于,当 aW0时,77 = 丫,7才,那么-an0.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析,逆向思想；(3)根据(1)、(2)可

8、知笳二| a | ,而| a |要大 于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.解：(1)由于 好=a,所以a>0;(2)由于石2 =-a ,所以aW0;(3)由于当an.时后=a,要使次>a,即使a>a所以a 不存在；当 a<0时,Ta2 =-a ,要使v'a2 >a,即使-a>a , a<0 综上,a<0例 9.当 x>2 ,化简,(x-2)2 - J(1 -2x)2 .例10.先化简再求值：当 a=9时,求a+J'1-2a + a2的值, 甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+J(1-a)2 =a+ (1-a)

9、=1;乙的解答为：原式 =a+J(1 -a)2 =a+ (a-1 ) =2a-1=17 .两种解答中, 的解答是错误的,错误的原因是文档实用标准文案变式题 1 .假设 | 1995-a | +Ja2000 =a,求 a-19952的值.(提示：先由 a-2000 A0,判断1995-a?的值是正数还 是负数,去掉绝对值)变式题2.假设-3 < X< 2 时,试化简 | X-2 | +J(x+3)2 +&-10x+25.(答案:10-x)例11.计算(1) J5 x /(2) & x 巫(3)的 x 727(4)4 X而分析：直接利用Ta , Vb = Jab (a&

10、gt; 0, b> 0)计算即可.解：(1) <5 X 77=335(2) j x、,1© = J x 9 = V3 . 33(3),5 x 踮=,9父27 =内2-3=9几(4)J * V6 = &6 = 73例12 .化简(1) J9M16(2) J16M 81(3) J81M100(4)柢寸 (5) <54分析：利用Vab = aa , 7b (aA0, bA0)直接化筒即可.解：(1) J9M16 =内>< 任=3X4=12文档实用标准文案(2) 716x81 =<16 X v,81 =4X 9=36(3) 81 100 = :81

11、 x .100=9 x 10=90(4) J9x2y2 =#x 7x2y2=V32 x G x=3xy(5) 54= 9-6= ,32 x 6=3,6例13 .判断以下各式是否正确,不正确的请予以改正：(1)(依(19) 二 .一4 一9(2) J4 x %/25=4x 匕 x V25 =4.1 x 725=412=873 .25. 25. 25解：(1)不正确.改正：Jt)m(-9)= J4雨=6 x 的=2 x 3=6(2)不正确.改正：；4 x 屈=陛 X 岳=JU2J5 =Vi = j16M 7 =4 J7 ,25. 25. 25变式题1:假设直角三角形两条直角边的边长分别为而cm和阮

12、cm, ?那么此直角三角形斜边长是().变式题2:化简a门的结果是().变式题 3: J而4=. ,169X6变式题4: 一个底面为30cmx 30cm长方体玻璃容器中装满水,？现将一局部水例入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了 20cm,铁桶 的底面边长是多少厘米？设：底面正方形铁桶的底面边长为x,文档实用标准文案贝U x2x 10=30X 30X 20, x2=30X 30X2,X=,30 m 30 X 应=30 版.变式题5:探究过程：观察以下各式及其验证过程.(1) 22 2验证：2_2 =、.223222 -2(22 -) 22 -23 -2

13、222212 I(2)3_3 3验证:3333-3 332 -13(32 -1) 332 -13 33(32 -1)332 -132 -1同理可得：4415524通过上述探究你能猜想生:aa2 -130)并验证你的结论.a2 -1文档验证：aa3.aaa2 -1a23 a -aa22a -1 a -13 aa2 -1a a2 -1八2aa-1) . aa2 -1实用标准文案例14.计算:(1).128(3)分析:上面4小题利用亘=b(a>0, b>0)便可直接得生答案.解：(1)二21(2)282 83_. 1 - =J'父 8 = J3M 4 = V3 x =2 V3(3

14、) J：1= J：x16 =、万=24 161 J(4)64留=.8=2、288416例15.化简:(1)64(2)64b29a264y2(4)5x169y2分析:直接利用j=| (a>0, b>0)就可以到达化简之目的.解:(1)3648文档(2)(3)(4)64b2 _ 64b2 8b9a2. 9a23a169y2169y213y实用标准文案例16后二转,且x为偶数,求(1+x)2x -5x 4x2 -1的值.分析:只有b>0时才能成立.因此得到9-x A0且x-6>0 ,即6<x<9,又由于x为偶数,所以x=8.解：由题意得?-x-0,即！X"

15、;9x-6 0 x 6,6<x< 9(1+x) x-4)(x-.1.(x 1)(x -1)x 4,x 1“ 4 = (1 x)(x - 4)(x 1),x=8,原式=(1+x)=(1+x)二当x=8时,原式的值=6k=6.变式题1.计算也得久的结果是(变式题2.阅读以下运算过程：1 _ M2 _ 2辰 2反.33 ,33 ',5. 555“分母有理数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作化,那么,化简文档实用标准文案变式题3.x=3, y=4, z=5,那么中二对的最后结 果是.变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形, 且矩形的长 与宽之比为73: 1, ?现用直径为365c

16、m的一种圆木做原料 加工这种房梁,那么加工后的房染的最大截面积是多少？解：设：矩形房梁的宽为 x (cm),那么长为、Qxcm,依题意,得：屈x> 2+x2= 3屈2, 4x2=9x 15, x=| VT5 cm,V3x - x=氢 x2=135 >/3 cm. 4变式题5.计算1工三,-工仁+二m>Q n>0 m 1 2m3m , m32 m3-3万- 1再居3.)解：(1)原式=n n42 m3m2 2 m5n32乌. n2 V F-inm I m m m m原式*;Tn m'm-2；步- / 例17.把它们化成最简二次根式：3 12 ； (2)x2y4 x

17、4y2 ； (3),8x2y3点评：二次根式有如下两个特点:文档实用标准文案1 .被开方数不含分母；2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.例 18.如图,在 RtAABC, / C=90 , AC=2.5cm, BC=6cm 求AB的长.AC解：由于aBaC+bC所以AB心广6 =楞=嘤*=6.5 (cm)因此AB的长为6.5cm.例19.观察以下各式,通过分母有理数,把不是最简二 次根式的化成最简二次根式：1=1M(V2-1)V2-1 ,/2 12 1(,2 1)(.2 -1)2 -1.1_1(、.3-、2)32( .3. 2)( -

18、13 2)同理可得： 1=4-73, 4 . 31.2002,2001)(J2002+1)的从计算结果中我由规律,并利用这一规律计算1 +1+1.2 13,2、4,3值.文档实用标准文案分析：由题意可知,此题所给的是一组分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以到达化简的目的.解：原式=a-1+V3-V2+V4-V3+J2002- J2001 x.2002+1=V2002-I 72002+I=2002-1=2001练习:、选择题/y>0是二次根式,那么,化为最简二次根式是A . 3y>0B .迎y>0 C . 返y>0yyD.以上都不对.把a-1 J-Ja -1中根号外

19、的a-1移入根号内得.7a -1B . a C . - Ja-1D . - j1 a.在以下各式中,化简正确的选项是A.5=3 诬 B一2C. a4b =a . b Dx3 - x2 =X . x -1文档A . - B . -2普D T实用标准文案二、填空题1 .化简 Jx4+x2y2 =. (X>0)2 . aj号化简二次根式号后的结果是 . 三、综合提升题1 .a为实数,化简： 仁3-a 门,阅读下面的解答过程,请判断是否正确？假设不正确,？请写由正确的解答过程：牛： a-a -a J=aja-a . Ja=(a-1 ) aa aa2 .假设 x、y 为实数,且 y= J,-Ii2

20、+1,求 kg x 2的值.答案：一、1. C 2 . D 3.C 4.C1 . x . x2 y2 2 . - . -a-1三、1.不正确,正确解答：工a3 0 由于1 1,所以a<0,.a原式=V-a_a2-a J-2 ="-a J a2-a , =-a V-a + f-a =(1-a) V-a a. a222. .yx 4 0x-4=0 ,x=±2,但. x+2K0,x=2,4 - x -0文档实用标准文案y= 4 Jx + y Jxy = Jx2 _y2163164例20.计算(1)、回+屈 (2) '傣+、领分析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最

21、简二次 根式；第二步,将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)m+糜=2&+3、泛=(2+3) 42=52(2) J16x +,64x =4 & +8豉=(4+8) 4= =12VX点评：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二 次根式,？再将被开方数相同的二次根式进行合并.例21.计算(1) 3.48-9 , 1+3 .12(2) (V48+而)+ (后-75)解：(1) 3 V48 -9 ! +3<12=12-3 73+673= (12-3+6) 3=15 3(3) (V48+V20) + (屈-、后)=闻+720+阮-75=4.3+2 .5+2 .3- 5=6.3

22、 + .5例 22. 4x2+y2-4x-6y+10=0分析：此题首先将等式进行变形,把它配成完全平文档实用标准文案方式,得2x-1 2+ y-3 2=0,即 x=g , y=3.其次,根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,？再合并同类二次根式,最后代入求值.解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y 2-6y+9=0,2x-1 2+ y-3 2=0 .x", y=3 2原式=葭或+y2 43-x2. 1+5x7 3y3, x . x=2x. x + xy -x、x +5 xy=x x+6 xy当 x=1, y=3 时,原式=1 X 1 +6 3 =言3式

23、练习：、选择题1.以下二次根式：而；后；楮；历中,与V3是同类二次根式的是A .和 B .和 C .和 D .和2 .以下各式：3 73 +3=6向；1 6 =1 ；m2 + V6=而=2 V2 ； d=2行,其中错误的有A .3个 B.2个 C.1个 D.0个文档实用标准文案二、填空题1.在面、1775、2隔、Vi25马卮、3辰、-2口中,33a; 8与乔a是同类二次根式的有 .2.计算二次根式5五-3氐-7鱼+9氏的最后结果是实用标准文案C分析：设x秒后APBO!的面积为35平方厘米,那么PB=x, BQ=2x, ?根据三角形面积公式就可以求生x的值.解：设x后PBQ的面积为35平方厘米.

24、贝U有 PB=x, BQ=2x依题意,得：1x , 2x=352x 2=35x= , 35所以 屈秒后 PBQ的面积为35平方厘米.PQ= . PB2 BQ2= x2 4x2 = 5x2 =5 35 =5.7答：屈秒后 PBQ的面积为35平方厘米,PQ的距离为5方厘米.例23.要焊接如下图的钢架,大约需要多少米钢材精 确到0.1m ?分析：此框架是由 AR BC BD AC组成,所以要求钢 架的钢材,？只需知道这四段的长度.文档实用标准文案解：由勾股定理,得AB= . AD2 BD2 = 42 22 = 20 =2 5BC= BD2 CD2 = .221 2 = ,5所需钢材长度为AB+BC+

25、AC+BD=2.5+、5+5+2=3.5+7= 3X2.24+7=13.7 (nj)答：要焊接一个如下图的钢架,大约需要13.7m的钢材.例24.假设最简根式3a强"与根式J2ab2-b3+6b2是同类 二次根式,求a、b的值.(?同类二次根式就是被开方数相 同的最简二次根式)分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根 式后,被开方数相同；？事实上,根式式ab2-b3+6b2不是最简 二次根式,因此把 ,2ab2 -b3 +6b2化简成|b| M'2a-b + 6 ,才由 同类二次根式的定义得3a-? b=? 2, 2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式J2ab2-b

26、3+6b2化为最简二次根式：J2ab2 -b3 +6b2 = Jb2(2a-1+6) =|b| . 72a-b + 6由题意得4a 3b " 63a -b =2.2a 4b =6 , 3a -b =2文档实用标准文案.a=1, b=1 练习：一、选择题1 .直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为.？结果用最简二次根式A . 5点 B .痴 C . 2氐 D .以上都 不对2 .小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框,？为了增加其稳定性,他沿长方形的对角线又 钉上了一根木条,木条的长应为米.结果同最简二次根式表示A .137100B . vT30

27、0 C . 10713D . 5713二、填空题1 .某地有一长方形鱼塘,鱼塘的长是宽的2倍,它的面积是1600nt ?鱼塘的宽是 m.结果用最简二次根式2 .等腰直角三角形的直角边的边长为、无,?那么这个等腰直角三角形的周长是 .结果用 最简二次根式三、综合提升题1.假设最简二次根式 2扃三与 七;牛而是同类二次根3式,求m n的值.文档实用标准文案2 .同学们,我们以前学过完全平方公式 a (1) J3 +2亚=J(a+1)2 =超+1(2) .4 2,3= . ( 3 1)2 = ,、3 + 1文档±2ab+b2=(a± b) 2,你一定熟练掌握了吧！现在,我们又学习

28、了二次根式,那么所有的正数(包括 0)都可以看作是一个数的平方,如 3=(妻)2, 5= (75) 2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察:(、,Q-1) 2=(衣)2-2 1 &+12=2-2 企+1=3-2 点2反N, 3-2 72=2-2 72+1=(&-1 )3-2 72= ( 72-1 ).二.3-2 ；2 = 2-1求：(1),3十2北；(2) J4+2a/3 ;(3)你会算乒辰吗？(,3-1)(4)假设,a ±2而=Jm±«,那么m» n与a、b的关系是什么？并说明理由.答案:2+2 2Im2 = 8n2 =3二、1.依题

29、意,得3m2 -2 =4m2 -10：2 ,n2 -1 =2m - 2 ; 2m - -2 ' 2所以 ? 厂或 ? 广n = . 3 n = . 3或m = 2(或|=一2n-.3 n-13实用标准文案(3) 14_屈=?42 1=同)2 =73-1(4)1十n=a理由：两边平方得 a±2Vb=m+n±2闹 mn = b所以25 nb = mn例25.计算：(1)(而+挖)x n(2) (4屈-3 72) +2企分析：刚刚已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,？所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(甚 + 屈)x 73 = 76 x 73+企 x ,3=.1

30、8+ 24 =3 ,2 +2 6解：(4粕-3&)+ 2亚=4君+ 2&-3行+ 2质=23-32例26.计算(1)(指+6) (3-V5)(2)(屈 + 方)(国-分析：刚刚已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运 算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1) (75+6) (3-75)=3 芯.(75) 2+18-6 <5=13-35(2)(斤+ ")(无-后)=(V10) 2-(彼)2= 10-7=3例27. 0=2-3,其中a、b是实数,且a+b+0,文档实用标准文案化简存心+归速,并求值. .x 1 ,'xx 1 f .'x分析：由于(Vx+r

31、+<x) ( Vx+i- x) =1,因此对代数式 的化简,可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元 一次方程得到x的值,代入化简得结果即可.解： 原式= _ (八十1-“)：+(7x1+或)2(.x 1. x)( x 1 - . x) ( ,' x 1 - / x)( x 1. x)=(-x 1 - . x)2 + ( .x 1, x)2(x 1) -x (x 1) -x=(x+1 ) +x-2 Jx(x + 1) +x+2 Jx(x+1)=4x+2x -b=2-x -ab (x-b ) =2ab-a(x-a ) bx-b 2=2ab-ax+a2(a+b) x=a2+2ab

32、+b22. ( a+b) x= ( a+b)a+bw 0x=a+b.原式=4x+2=4 (a+b) +2练习：一、选择题1 .(疝-3屈+2?阿)X亚的值是().A . 20 73-3 J30 B . 3«0-2 V333文档实用标准文案233022 .计算Jx + Jx1 &- Jx_1的值是.A . 2 B . 3 C . 4 D . 1二、填空题1 .-1+宇.当x=4时,求x+1+左+k1一三的值.结果, 2 -1x 1 f：x2 x x 1 , x2 x 用最简二次根式表示的计算结果用最简根式表示是.2 . 1-2 73 1+273 - 2V3-1 2 的计算结果用

33、最简 二次根式表刁、是 .3 .假设 x=T2-1 ,贝U x2+2x+1=.4 . a=3+2 22 , b=3-2 22 ,贝U a2b-ab 2=. 三、综合提升题1 ,化简-一,即.10 -.14 .15 、, 21实用标准文案2 .互为有理化因式：？互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b) (a-b) =a2-b：同时它们的积是有理数,不含有二次根式：如 x+1- 斤为与X+1 + Jx2 +2x就是互为有理化因式；x x与J也是互为有理化 x因式.练习：+<3的有理化因式是;x- 的有理化因式是.- 斤1-向1的有理化因式是.3 .分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式,到达化去分母中的根号的目 的.练习：把以下各式的分母有理化(1) 4；(2)(3) -7； (4) 32g .:5 -11 2.3. 6 - .'23.3-424 .其它材料：如果n是任意正整数,那么,后工 =n、F.n2 -1n2-1理由:练习：填空区=；品=；犍= 答案