高斯消元法(完整)

1、高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学 模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也 不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解 不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组(3.1)玄11乂1a 21 xa 22 X2a1 n Xnb1a2nXnb2am1X1am2X2a m nXnbm其中系数aj，常数bj都是已知数，Xj是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b1b2,bm不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b1

2、= b2 =bm = 0时，即a1a1nXn0a 21 Xa?2 X2a2nXn0(3.2)am1X1am2 X2amn Xn0称为齐次线性方程组。由n个数ki, k2,kn组成的一个有序数组（ki, k2,kn ），如果将它 们依次代入方程组（3.1）中的Xi, X2,Xn后，（3.1 ）中的每个方程都变成恒 等式，则称这个有序数组（k1, k2,kn ）为方程组（3.1）的一个解。显然由X1=0, X2=0,Xn =0组成的有序数组（0, 0,0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解， 称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为 零时，称之为非零解。（利用矩阵

3、来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。 因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中a12a1nX1bia21a22a2nX2A =，X =，B =am1am2amnxnbn称A为方程组（3.1）的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵 A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵a11a12a1nb1A B=a21a22a2nb2am1am2amnbm称为方程组（3.1）的增广矩阵。齐次线性方程组（3.2）的矩阵表示形式为：AX =O二、高斯消元法（下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方 程

4、组的解呢？我们先看一个定理。）定理3.1 若用初等行变换将增广矩阵A B化为C D，则AX = B与CX = D是同解方程组。证 由定理3.1可知，存在初等矩阵R, P2,Pk，使Pk P2 Pi（A B） = （C D）记Pk卩2 P = P,则P可逆，即P 1存在。设Xi为方程组A X = B的解，即A X1 = B在上式两边左乘P，得P AX1 = PB即C X1 = D说明X1也是方程组C X = D的解。反之，设X2为方程组C X = D的解，即C X2= D在上式两边左乘P 1，得P 1CX2= P 1D即A X2 = B说明X2也是方程组AX = B的解。因此，方程组A X =

5、B与C X = D的解相同，即它们是同解方程组。（证毕）（由定理3.1可知，求方程组（3.1）的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵 A B化简。又有第二章定理2.10可知，通过初等行变换可以将A B化成阶梯 形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（3.1）的一般方法：）用初等行变换将方程组（3.1）的增广矩阵A B化成阶梯形矩阵，再写出该 阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，求出方程组的解。因为它们为同解方程 组，所以也就得到了原方程组（3.1）的解。这种方法被称为 高斯消元法，（下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。）11211（1）11211A B=13531202（3）20

6、0411114477522111043311121111211（1）041111(-)0411100666006660022200000例1解线性方程组Xi 5x2 3x3 2x403x1 x2 x3 4x42(3.3)2x1 2x2 x3X4解先写出增广矩阵AB，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩 阵表示的线性方程组为x1 x2 2x3 x44x2 x3 x416X3 6X461将最后一个方程乘-，再将X4项移至等号的右端，得6X3X41将其代入第二个方程，解得X21. 2再将X2 , X3代入第一个方程组，解得X1X4

7、12因此，方程组（3.3）的解为X1X41 2X21 2X3X41其中X4可以任意取值。(3.4)1 1-，X2-，X30， X41 ），称之为方程组由于未知量X4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可 知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未 知量X4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程 组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量X4取定一个值（如X4=1），得到 方程组（3.3）的一个解（如x1（3.3）的特解。注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将X3取作自由未知量如果将表示式

8、（3.4）中的自由未知量X4取一任意常数k,即令x4= k,那么方程组（3.3）的一般解为X1k12X212X3k1X4k用矩阵形式表示为X1kX212X3kX4k,其中k为任意常数1 2 11 201 2=kr（3.5）1 1110其中k为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代 的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化, 使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出” 方程组的解。例如

9、，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，将此方程组中含X4的项移到等号的右端，就得到原方程组（X4121.2X413.3）的一般解,XiX2X3(3.4)11211-1101162041110400200666001110000000000110011 2一4（1）01001 20011100000上述矩阵对应的方程组为X1X412X212X3X41其中X4可以任意取值。例2解线性方程组X12x23x342x13x25X374x13x29X392x15x28X38解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵47983121721012A B =421000100023353598100021002100

10、4121A21511000001010000100B化成阶梯阵,313221003210再求解。即0010417031104110般解为阶梯形矩阵的第三行“ 0, 0, 0, -2”所表示的方程为：程可知，无论右，X2，X3取何值，都不能满足这个方程。因此，原方程组无解。0x10x2 0x32，由该方X1X2X31例3解线性方程组x1 2x2 4x322X1 5x2 X33解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A B化成阶梯阵,11111111A B=1242033 3再求解。即21303315X1X2X3三、线性方程组的解的判定前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组

11、 的解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。从求解过程可以看出，方程组（3.1） 是否有解，关键在于增广矩阵A B化成阶梯非零行的行数与系数矩阵 A化成阶 梯形矩阵后非零行的行数是否相等。因此，线性方程组是否有解，就可以用其系 数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。定理3.9 线性方程组(3.1)有解的充分必要是 r(A) = r(A B)。证 设系数矩阵A的秩为r，即r(A)= r。利用初等行变换将增广矩阵A B 化成阶梯阵：cii*C2k*GsC2sGnC2ndid200AB初等行变换0000crscrndr=C000000dr 10000000D 故AX = B与CX = D是同解方程组，因此A

12、X = B 有解dr != 0 r(C D)=r(C) = r即 r(A B) = r( A) = r。(证毕)推论1线性方程组有唯一解的充分必要条件是 r(A) = r(A B)= n。 推论2线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 r(A) = r(A B) n。(将上述结论应用到齐次线性方程组(3.2) 上,则总有r(A) = r(A B)。因此 齐次线性方程组一定有解。并且有)例4判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？x1 2x23x311X12X23x311(1)X1X2X37(2)X1X22X372x1 3x2X362x13x2X363x1 x22x343x1X2

13、2X35x1 2x23x311X1 X22x1 3x2X376X33x1 X22X35解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即1231112311A B =111701242316077283124077291 23110 1240 0700 001因为r(A B) = 4,r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即12311123111A B =1270 1 1423160 0 0031250 0 00因为r(A B) = r(A)=2n(=3)，所以方程组有无穷多解。用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即12311123111A B =1170 1

14、2423160 07031250 0 00因为r(A B) = r(A) = 3 = n，所以方程组有唯一解。例5判别下列齐次方程组是否有非零解？(机动)3x27x38X402x15x24x34x403x17x22x33x40X14x212x316x40解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即137813782544011820A =37230223271412160158137813780118200118 20001313001313001312000 1因为r(A) = 4 = n,所以齐次方程组只有零解向量组的相关性在实际问题有许多研究的对象要用 n元有序数组来表示。如总结某五年计划

15、 各年某产品产量的数据资料，某工程一年 12个月份的用料情况等，就分别要用到 5元和12元有序数组。一、n维向量的定义定义3.2把有顺序的n个数a1, a2, , an称为一个n维向量，记作aia2an其中a1 (i1,2,n)称为n维向量的第i个分量。1213例如，矩阵 A = 1344中每列都可以看作二维向量:253712131，3，4，42537称为矩阵A的列向量。A中的每一行都可以看作四维向量：1213，1 344，2 53 7称为矩阵A的行向量。规定：n维向量相等、相加、数乘与列矩阵对应相等。二、n维向量组的线性相关性 如果把方程组x12x2x33x13x24x34（3.6）2x15

16、x23x37用向量相等、向量运算关系来表示：1213x1 1 +x2 3+ x34 =42537那么方程组求解问题就变成了求一组使上式列向量存在某种的数x1,x2,x3了。下面给出向量之间这种关系的定义。定义3.3对于向量，1, 2, m，如果有一组数k1,k2, ,km，使得=k1 1 k2 2km m则称 是1, 2, , m的线性组合，或称 由1, 2, , m线性表出，且称这组数 k,k2，,km为组合系数。例1二维向量组ei1 , e20 ,称为二维单位向量组。任意一个二维向0 1a1量a2都可以由勺（2线性表出:不是向量的线性组合,因为对于任意一组数k1,k2，k11+ k2 02

17、k k?0例3表出：向量组m中的任一向量i （1m）都能由这个向量组线性如果用列向量分别把方程组（3.6）的系数矩阵第j列和常数列表示为12131 1 ， 23，34，42537那么方程组（3.6）可以用向量形式表示为X1 1x2 2x3 31i = 00 m0 i 11 i 0 i 1若方程组（3.6）有解Xj ki （i 1,2,3），则有k11 k22 k33即向量 可以由向量组1, 2, 3线性表出。反之，若存在数k1, k2 , k3使得上式成立, 则Xiki （i 1,2,3）就是方程组（3.6）的一组解。命题1向量 可以由向量组1, 2, m线性表出的充分必要条件是：以m为系数列

18、向量，以 为常数列向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数1122例4设11 ， 22，33，32361判断向量 能否由向量组1, 2, 3线性表出，若能够，写出它的一种表达式 解设X 1 X2 2 X3 3，由此可得x1 x2 2x32x1 2x2 3x332x1 3x2 6x31因为11221122A B=1233011523610125101710070115010500100010方程组的解为x17, x25,x30。所以715 20定义3.3对于向量组1, 2， , m，若存在m个不全为零的数k1,k2, ,km , 使得k1 1 k2 2km m 0（3

19、.7）则称向量组1, 2, , m线性相关；否则称向量组 1, 2, , m线性无关。例5式证单位向量组10000100e1，e2_，e3e400100001是线性无关的。证 设 k1e1k2e2k3e3kqeq0。即1000001000k1一+ k2+ k3+ k402 03 14 0000010由上式得唯一解k1Q k20, k30,k40。所以，e1,e2,e3,e4线性无关。可以证明，n维单位向量组e1 ,e2, ,en是线性无关的100n维单位向量组e10，e210，en001如果把定义3.3中的（3.7）式看作以1, 2, , m为系数列向量，以ki,k2, ,km 为未知量的齐次

20、线性方程组，那么定理3.2 对于向量组1, 2, m，若齐次线性方程组kiei k2e2kmem 0（ 3.8）有非零解，则向量组1, 2, , m线性相关；若齐次线性方程组（3.8）只有零解，则向量组1 , 2,m线性无关。定理3.3 关于向量组1，2，m，设矩阵A 1，2， m若r(A) m,则向量组1, 2, m线性无关；若r(A) m，则向量组1, 2线性相关。推论 任意n+1个n维向量一定线性相关。例6判断下列向量组的相关性:1112，202 1，3111 ；1 1 0 1 221 1243235 10 ；(3)11 3 2，212 1，365 4548 76解(1)因为1011 0

21、1101A = 1210 220222110 11002r(A) 3m，所以向量组1,2,3线性无关。因为112112112013013013B =1250130002410026000r(B) 2m，所以向量组1,2,3线性相关。(3)由推论知道，四个三维向量一定是线性相关的F面再介绍一个揭示同组向上面介绍了利用定理3.3来判断向量组的相关性, 量之间具有某种相关性的特点。定理3.4 向量组1, 2, m，(m 2)线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。(证明请参阅教材)推论 向量组1, 2, m，(m 2)线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向

22、量线性表出。例7试证：若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组也线性相关。 证 不妨设向量组1, 2, m中的部分向量组 1, 2, s (s m)线性相关，则存在不全为零的数k1,k2, ,ks，使得k1 1 k 2 2ks s 0从而有k1 1 k2 2ks s 0 s 10 m 0其中k1,k2, ,ks,0, ,0不全为零，所以向量组1, 2， ，m线性相关。可以证明：若一个向量组线性无关，它的任意一个部分向量组也线性无关例8设向量组1, 2，m线性无关，而向量组1, 2，m， 线性相关， 证明一定可以由1，2，, m线性表出。证 因为向量组1, 2, , m，线性相关，即存在不

23、全为零的数k1,k2, ,km 和k，使得k1 1 k2 2km m k 0若k 0，则上式为k 1 k2 2km m 0，且k, k2, ,km不全为零，得1, 2,m线性相关，与条件矛盾。因此k0，且k11kmk即可以由1, 2m线性表出三、向量组的秩(下面简单地介绍向量组的秩的概念及计算方法，首先向量组的极大无关组 的定义)定义3.4 若向量组S中的部分向量组S0满足： So线性无关；(2) S中的每一个向量都是S。中向量的线性组合，则称部分向量组 S。为向量 组S的极大无关组。可以证明：对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量个数都相同。因此向量组的秩定义如下：定义3.5 对于向量组S

24、,其极大无关组所含向量个数称为 向量组S的秩。利用定义求向量组的秩是比较困难的。但是，我们可以利用矩阵与列向量组 之间的关系，把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩序。这是因为定理3.7 矩阵A的秩二矩阵A列向量组的秩二矩阵A行向量组的秩。例9设向量组110121141小，2，3，401120111求向量组的秩及其一个极大无关组。解 作矩阵A= 1234，用初等行变换求A的秩，即110111011101211401120112A=011201120003011100030000所以 r( 1, 2， 3, 4)=3,且1， 2，4为其中的一个极大无关组。线性方程组解的结构前两讲介绍了方程组的有关

25、概念，方程组的解的几种情况及判定，向量组的 相关性。这一讲主要介绍方程组解的结构。一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组 的矩阵形式为：AX = Oa1 xa1nXn0a 21 Xa?2 X2a2nXn0(3.2)am1X1am2 X2amn Xn0解的情况可以归纳为:1 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 r(A)= n。2. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 r(A) n。 注意：当A为n阶方阵时也可利用矩阵行列式 A判断。3. 当r(A) = r n时，方程组AX = O有n-r个自由未知量。齐次线性方程组AX = O解的性质：性质1若X1和X2为齐次线性方程组AX = O的

26、解，则X1 + X2亦为AX = O 的解。证 因为X1和X2为方程组AX = O的两个解，故有AX1 = 0，AX2= OA ( X1 + X2) = AX1 + AX2 = O 所以，X1 +X2亦为AX = O的解。性质2若X1为齐次线性方程组AX = 0的解，则kX1亦为AX = 0的解，其 中k为任意常数。证因为X1为方程组AX = 0的解，故有A ( kX1) = k (A X1) = O所以，kX1亦为AX = O的解。由性质1, 2可知，若X1 , X2 ,，Xs为方程组AX = O的解，则k1X1 +k2X2 + ksXs亦为AX = O的解，其中k1,k2, ,ks为任意常

27、数。若X1，X2，Xs线性无关，且方程组AX = O的任何一个解X都可以被X1， X2，Xs线性表出，则AX = O的全部解就是k1X1 + k2X 2 + ksX s其中k1,k2, ks为任意常数。定义3.6齐次线性方程组AX = O满足下列两个条件的一组解向量，称为 AX =O的基础解系。(1) 线性无关；(2) 方程组AX = O的任何一个解都可以用它们线性表出。(由定义3.6可知)方程组AX = O的基础解系就是其全部解向量的一个极大 无关组。当r(A)= n时，方程组AX = O只有零解，故不存在基础解系；而当r(A)= r(<n) 时，方程组AX = O有非零解，故存在基础

28、解系，且基础解系中所含解向量的个数 是n-r。由此可得如下结论：4当r(A) = r<n时，方程组AX = O 一定有基础解系，且每个基础解系中含有 n-r个解向量。若X1， X2，Xn r为基础解系，则AX = O的全部解为k1 X1 + k2X2 + kn rXn r(3.9)其中k1,k2, ,ks为任意常数。(3.9)式称为AX = O的通解。如何求方程组AX = O的基础解系呢？(1) 把齐次线性方程组的系数写成矩阵 A;(2) 用初等行变换把A化为阶梯阵；(3) 把阶梯阵中非主元列所对应的变量作为自由未知量(4) 分别令自由未知量中一个为1其余全部为0的办法，求出n-r个解向

29、量， 这n- r个解向量构成了基础解系。例1设齐次线性方程组X1X2X3X4X503x12x2X3X43x50X23x32x46x505x14x23x33x4X50求其基础解系和通解。解先写出系数矩阵A,再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即11111111113 A =2113(3)(5)012260132601326543310122611111(1)012260010000000再进一步化简，得1101110015(1)201026(1)0102600100001000000000000由此可知X4,X5为自由未知量。12 令X4 1 , X5 0 ,得解向量Xi0 ;1056 令X4

30、 0, X5 1，得解向量X20 ；01于是X1 , X2为方程组的基础解系。通解为 k1X1 + k2X2 其中kk2为任意常数。二、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组 的矩阵表示形式为：AX = Ba1 Xa2 X2a1n Xnb1a?1 Xa?2 X2a2n Xnb2am1 X1am2X2amnXnbm非齐次线性方程组AX = B的解的情况可以归纳为：1. 方程组AX = B有解的充分必要条件是rA B = r(A)。2. 若rA B=r(A)= n时，方程组 AX = B有唯一解。3. 若rA B=r(A)= r n时，方程组AX = B有无穷多解，且有n-r个自由未知量。在非齐

31、次线性方程组 AX = B中，令B = 0,得到相应的齐次方程组 AX = 0。 方程组AX = B与相应的AX = 0之间有密切的关系，满足如下性质：性质3若X1和X2为非齐次线性方程组 AX = B的解，则X1- X2必为AX = 0 的解。证 因为X1和X2为方程组AX = B的两个解，故有AX1 = B， AX2= BA ( Xi - X 2) = A Xi - A X 2 = B-B = O所以，X1- X2为AX = O的解。性质4若Xo为非齐次线性方程组 AX = B的解，X为相应的方程组AX = 0 的解，则X0 + )必为AX = B的解。证 因为Xo为方程组AX = B的解

32、，文为方程组AX = 0的解，故有AX0= B， AJ = 0 A( Xo +交)=AXo +A)=B+O= B 所以，Xo + f为AX = B的解。XiX2 2x3X41例1解线性方程组x15x2 3x32x4023x1X2 X34x42x12x2 X3X41解先写出增广矩阵A(3.3)B，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即11211(1)11211A B=13531202(3)200411114477522111043311121111211一 1(1)04111(3)0411100666006660022200000上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广

33、矩阵表示的线性方程组为x1 x2 2x3 x414x2 X3 X416X3 6X46将其代入第二个方程，解得X21/2再将X2 , X3代入第一个方程组，解得X!x4 12因此，方程组（3.3）的解为捲x4 1 2X2 1 2（3.4）X3X4 1其中x4可以任意取值。由于未知量X4的取值是任意实数，故方程组（3.3）的解有无穷多个。由此可 知，表示式（3.4）表示了方程组（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等号右端的未 知量X4称为自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）称为方程 组（3.3）的一般解，当表示式（3.4）中的未知量X4取定一个值（如X4=1），得到1 1方程

34、组（3.3）的一个解（如X1， x2， x3 0， x4 1 ），称之为方程组（3.3）的特解。注意，自由未知量的选取不是唯一的，如例1也可以将X3取作自由未知量如果将表示式（3.4）中的自由未知量X4取一任意常数k,即令X4= k,那么方程组（3.3）的一般解为为kX212X3kx4k用矩阵形式表示为X1X2X3X4121 ，其中k为任意常数k 1 211 21 2 0 1 2=kk 111k10(3.5)其中k为任意常数。称表示式（3.5）为方程组（3.3）的全部解。（用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如

35、果用矩阵将回代 的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化, 使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出” 方程组的解。例如，）对例1中的阶梯形矩阵进一步化简，11211-6211011041110400200666001110000000000厂、110011 2一4（1）01001 20011100000上述矩阵对应的方程组为X1X41 2X2 12X3x41将此方程组中含X4的项移到等号的右端，就得到原方程组（3.3）的一般解,XiX2X3X41212x41(3.4)般解为其中X4可以任意取值。X12x23x342x13x25X374x13x29X392x15x28X38将方程组的增广矩阵AB化成阶梯阵,12341234235701114399053725880120123412340111011100220011001100