2012高考理科数学试题精校版新课标全国卷

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6 C8 D102将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种3下面是关于复数的四个命题：p1：|z|2，p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i，p4：z的虚部为1，其

2、中的真命题为()Ap2，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p44设F1，F2是椭圆E：(ab0)的左、右焦点，P为直线上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A B C D5已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D76如果执行下边的程序框图，输入正整数N(N2)和实数a1，a2，aN，输出A，B，则()AAB为a1，a2，aN的和B为a1，a2，aN的算术平均数CA和B分别是a1，a2，aN中最大的数和最小的数DA和B分别是a1，a2，aN中最小的数和最大的数7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何

3、体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D188等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，则C的实轴长为()A B C4 D89已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()A B C(0， D(0,210已知函数，则yf(x)的图像大致为()11已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A B C D12设点P在曲线上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln2 B(1ln2)C1ln2 D(1ln2)第卷本卷包括必

4、考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量a，b夹角为45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_14设x，y满足约束条件，则zx2y的取值范围为_15(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_16列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_三、解答

5、题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c18某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天

6、购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由19如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小20设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90°，ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值21已

7、知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)xx2(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)x2axb，求(a1)b的最大值22选修41：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD23选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2

8、|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围24选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|x2|(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围1D由xA，yA得xyA，则(x，y)可取如下：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，故集合B中所含元素的个数为10个2 A将4名学生均分为2个小组共有种分法，将2个小组的同学分给两名教师带有种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有种分法，故不同的安排方案共有3×2×212种3C，故，p1错误；z2

9、(1i)2(1i)22i，p2正确；z的共轭复数为1i，p3错误；p4正确4C设直线与x轴交于点M，则PF2M60°，在RtPF2M中，PF2F1F22c，故，解得，故离心率5Dan为等比数列，a5a6a4a78，联立，可解得或当时，故a1a10a7q37；当时，q32，同理，有a1a1076C随着k的取值不同，x可以取遍实数a1，a2，aN，依次与A，B比较，A始终取较大的那个数，B始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A，B分别是这N个数中的最大数与最小数7B由三视图可推知，几何体的直观图如下图所示，可知AB6，CD3，PC3，CD垂直平分AB，且PC平面ACB，故所求

10、几何体的体积为8 C设双曲线的方程为，抛物线的准线为x4，且，故可得A(4，)，B(4，)，将点A坐标代入双曲线方程得a24，故a2，故实轴长为49 A结合ysinx的图像可知ysinx在上单调递减，而ysin(x)sin(x)，故由ysinx的图像向左平移个单位之后可得ysin(x)的图像，故ysin(x)在上单调递减，故应有(，)，解得10 B当x1时，排除A项；当x0时，y不存在，排除D项；，因定义中要求x1，故当1x0时，f(x)0，故yf(x)在(1,0)上单调递减，故选B项11 ASC是球O的直径，CASCBS90°BABCAB1，SO2，ASBS取AB的中点D，显然AB

11、CD，ABCS，AB平面CDS在CDS中，SC2，利用余弦定理可得，故，VVBCDSVACDS·SCDS·BDSCDS·ADSCDS·BA12B由题意知函数与yln(2x)互为反函数，其图像关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与最小距离的2倍，设上点(x0，y0)处的切线与yx平行，有，x0ln2，y01，yx与的最小距离是 (1ln2)，|PQ|的最小值为(1ln2)×2(1ln2)13答案：解析：a，b的夹角为45°，|a|1，a·b|a|×|b|cos45°|b|，|2ab|244&#

12、215;|b|b|210，14答案：3,3解析：作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线l0：x2y=0，在可行域内平移知过点A时，z=x2y取得最大值，过点B时，z=x2y取最小值由得B点坐标为(1,2)，由得A点坐标为(3,0)zmax=32×0=3，zmin=12×2=3z3,315答案：解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C)，该部件的使用寿命超过1000的事件为该部件的使用寿命超过1000小时的概率为16答案：1830解析：an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69

13、a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)10264223417解：(1)由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0由于sinC0，所以又0A，故(2)ABC的面积，故bc4而a2b2c22bccosA，故b2c28解得bc218解：(1)当日需求量n16时，利润y80当日需求量n16时，利润y10n8

14、0所以y关于n的函数解析式为 (2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为EX60×0.170×0.280×0.776X的方差为DX(6076)2×0.1(7076)2×0.2(8076)2×0.744答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY55×0.165×

15、0.275×0.1685×0.5476.4Y的方差为DY(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY55×0.165×0.27

16、5×0.1685×0.5476.4由以上的计算结果可以看出，EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花19解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1又，可得DC12DC2CC12，所以DC1DC而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCDBC平面BCD，故DC1BC(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)

17、，D(1,0,1)，C1(0,0,2)则，设n=(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则，即可取n(1,1,0)同理，设m是平面C1BD的法向量，可取m(1，2，1).故二面角A1BDC1的大小为30°20解：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径.由抛物线定义可知A到l的距离.因为ABD的面积为，所以，即，解得p2(舍去)，p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90°.由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30°，m的斜率为或.当m的斜率为时

18、，由已知可设n：yxb，代入x22py，得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得.因为m的截距，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.21解：(1)由已知得f(x)f(1)ex1f(0)x.所以f(1)f(1)f(0)1，即f(0)1.又f(0)f(1)e1，所以f(1)e.从而f(x)exxx2.由于f(x)ex1x，故当x(，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.从而，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由已知条件得ex(a1)xb.()若a10，则对任意常数b，当x0，且时，可得ex(a1)xb，因此式不成立()若a10，则(a1)b0.()若a10，设g(x)ex(a1)x，则g(x)ex(a1)当x(，ln(a1)时，g(x)0；当x(ln(a1)，)时，g(x)0.从而g(x)在(，ln(a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增故g(x)有最小值g(ln(a1)a1(a1)ln(a1)所以f(x)x2axb等价于ba1(a1)ln(a1)因此(a1)b(a1)2(a1)2l